A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

24.12.07

De um só golpe, cortar dois quadrados em partes iguais

Com uma só recta, cortar os dois quadrados da figura em duas partes equivalentes e de tal modo que cada um dos quadrados fica dividido em duas parte geometricamente iguais.
Atenção! Neste exercício interactivo, o alvo não fica visível.



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21.12.07

Uma demonstração para variar

O resultado surpreendente que apresentámos na entrada anterior tem relação com resultados sobre triângulos já abordados por aqui há muito tempo. Para boicotar o trabalho do índice, que tarda em ser feito para melhorar a consulta deste blog, Aurélio Fernandes achou por bem defender a apresentação de uma demonstração desse resultado: O baricentro dos incentro e ex-incentros de um triângulo é o seu circuncentro. (problema 58. do Éxércices de Géométrie - Compléments de Th. Caronnet). Aqui fica. Na construção que se segue pode acompanhar a demonstração e, usando o compasso, ir verificando as afirmações sobre igualdade de segmentos...



O baricentro dos 4 pontos I, J, K e L pode ser obtido como ponto médio dos pontos médios de [IJ] e [KL].
Para vermos a localização desse baricentro, tomemos AB para eixo das abcissas e A para origem das coordenadas. E tomemos as projecções de I, J, K, L.
Na série Despertar dos Geómetras, pela mão da Mariana, aparecem os resultados:
  • |AJ'|=|BK'|=p, em que p é o semiperímetro de [ABC]: (|AB|+|BC|+|AC|)/2

  • |AI'|=|BL'|=p-c ou |BI'|=|AL'| =p-b

  • |I'J'|=|BC|=a

  • |AI'|=p-a


  • O ponto, M, médio de [IJ] tem abcissa (|AI'|+|AJ'|)/2 e o ponto, N, médio de [KL] tem abcissa (|AK'|+|AL'|)/2. O baricentro dos quatro pontos ou ponto médio de [MN] tem abcissa ((|AI'|+|AJ'|)/2+(|AL'|-|AK'|)/2)/2 = (|AI'|+|AJ'|+|AL'|-|AK'|)/4, e, por ser |AK'|=p-c e |AL'|= p-b, a abcissa do baricentro é afinal
    (p-a+p+p-b-(p-c) )/4= (2p-a-b+c)/4=c/2
    que garante que este está sobre a mediatriz de [AB].
    De igual modo, se prova que está sobre as mediatrizes de [AC] e de [BC].

    O baricentro dos incentro e ex-incentros de um triângulo é o circuncentro do triângulo.

    11.12.07

    Baricentro de 4 pontos - outro resultado surpreendente!

    Determine o baricentro dos quatro pontos I, J, K e L que são o incentro e os ex-incentros de um triângulo [ABC].




    O baricentro dos pontos I, J, K e L é o circuncentro do triângulo[ABC]. Verifique. Não é interessante?

    Baricentro de 3 pontos - outro resultado interessante!

    Sejam os pontos A, B e C e os comprimentos a=|BC|, b=|AC| e c=|AB|. Determine o baricentro (G, a+b-c) dos três pares (A,a), (B,b) e (C,-c), em que a, b e -c são tomados como massas associadas aos pontos A, B e C, respectivamente.



    E verifique que este ponto G coincide com um ex-incentro de [ABC]

    Baricentro de 3 pontos - nota interessante!

    Sejam os pontos A, B e C e os comprimentos a=|BC|, b=|AC| e c=|AB|. Determine o baricentro (G, a+b+c) dos três pares (A,a), (B,b) e (C,c), em que a, b e c são tomados como massas associadas aos pontos A, B e C, respectivamente.



    E verifique que este ponto G coincide com o incentro de [ABC]

    10.12.07

    Baricentro de placas homogéneas.

    Considerada uma placa triangular homogénea, a sua massa é proporcional à sua área. Nestas condições, podemos substituir uma placa pelo ponto de encontro das medianas com massa igual à sua área - baricentro.

    Uma placa quadrangular homogénea pode ser dividida, por uma das suas diagonais, em duas placas triangulares homogéneas. Podemos determinar o seu baricentro - (G, aq) - a partir dos baricentros (G1, at1) e (G2, att2). Como a diagonal é base comum dos dois triângulos, podemos tomar como massas dos seus baricentros as alturas dos triângulos relativas a essa base, proporcionais às respectivas áreas.

    Baricentro de barras homogéneas.

    Cada barra homogénea de comprimento a tem massa proporcional ao seu comprimento e, por isso, pode ser substituída pelo seu ponto médio com massa a. A barra a é substiituída pelo seu baricentro (Ma, a).
    Assim, podemos falar de baricentro de três barras a, b e c articuladas, como baricentro de três pontos (Ma, a), (Mb, b) e (Mc, c) que designamos por (G, a+b+c).

    Este conceito e respectivo procedimento pode ser generalizado.

    6.12.07

    Baricentro de 4 pontos pesados

    Determine o baricentro (G, mG) dos quatro pontos (A, mA) , (B, mB) , (C, mC) e (D, mD) .

    3.12.07

    Baricentro de 5 pontos

    Determine o baricentro (ou centro de massa) de cinco pontos A, B,C, D e E

    Baricentro de 4 pontos

    Determine o baricentro (ou centro de massa) dos quatro pontos A, B, C e D



    Quando não referimos massas associadas a pontos, isso quer dizer que todos têm a mesma massa.

    29.11.07

    Baricentro de três pontos

    Consideremos 3 pontos e respectivas massas (A, mA), (B, mB) e (C, mC). O seu baricentro pode ser determinado substituindo A e B pelo seu baricentro (G1, mA+ mB) e calculando depois, do mesmo modo, o baricentro G dos 3 pontos que não é mais que o baricentro dos pontos (G1, mA+ mB) e (C, mC).

    Apresentamos, de seguida, o exercício interactivo de determinação do baricentro de 3 pontos dados A, B, C com as respectivas massas. Após a sua resolução, com solução reconhecida automaticamente, pode fazer variar as massas e a localização dos pontos para confirmar a estabilidade da sua construção dinâmica.

    25.11.07

    Equilíbrios. Baricentro.

    As últimas entradas referem-se praticamente todas à divisão de triângulos em triângulos equivalentes. A maior parte dos exercícios propostos resolvem-se com recurso a pontos médios e a medianas. O ponto médio de um segmento ou de uma barra homogénea é o seu ponto de equilíbrio. Um triângulo homogéneo é dividido em duas partes equivalentes por qualquer das suas medianas... O ponto de encontro das medianas de um triângulo homogéneo é um seu ponto de equilíbrio.

    Apresentamos, de seguida, a construção geométrica relativa ao baricentro (G, mA+mB) de dois pontos (A, mA) e (B, mB). Quando mA=mB, G é o ponto médio de [AB]. As distâncias GA e GB são inversamente proporcionais a mA e mB. Na construção que se segue pode fazer variar os valores mA e mB, bem como as direcções das rectas auxiliares da aplicação do teorema de Thales.




    Mariana Sacchetti recomenda vivamente a leitura das notas de Nestor Aguilera El baricentro y la divisón en dos partes de igual área.

    2014
    EUCLIDES
    Instrumentos e métodos

    de resolução de problemas de construção