A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

2.3.07

Elipse: Tangente por um ponto exterior





No 2º volume da GEOMETRIA MÉTRICA, já referenciada neste lugar algumas vezes, Puig Adam apresenta a determinação da tangente por um ponto, P, exterior a uma elipse de que se conhecem os focos e o eixo maior. Esta construção não exige a determinação de qualquer outro elemento da elipse. É elegante e simples.
Com centro num dos focos, por exemplo F1, trace-se a circunferência directora (ou focal). A circunferência centrada em P e que passa por F2 corta a anterior em dois pontos S1 e S2. As tangentes à eipse tiradas por P são as mediatrizes dos segmentos [ F2 S1] e [ F2 S2]. Para além do mais os pontos de trangência ficam determinados como intersecções dessas mediatrizes (tangentes) com os segmentos [ F1 S1] e [ F1 S2].

1.3.07

Elipse: Tangentes

1. Tangente num ponto da elipse

Obtemos a tangente no ponto P da elipse pelo processo já referido para a parábola: a tangente no ponto P é a bissectriz externa do ângulo F1PF2.





2. Tangente por um ponto exterior à elipse

Traçam-se duas circunferências: uma de centro P e raio PF2; outra de centro F2 e raio 2a = [V1V2]. Sejam R e s os seus pontos de intersecção; as rectas F1R e F1S intersectam a elipse nos pontos de tangência.



3. Tangentes paralelas a uma direcção r

Traçamos uma recta r' paralela a r; sejam A e B os seus pontos de intersecção com a elipse. A recta definida pelo centro O e pelo ponto M (ponto médio do segmento) determina sobre a elipse os pontos de tangência



(Fonte: "Desenho Técnico" de Luís Veiga Cunha)

Note-se que apenas conseguimos ter os pontos de tangência se tivermos a elipse desenhada. Será possível determinar os pontos de tangência sem ter a elipse?

4. Uma habilidade especial: obter os pontos de tangência sem ter a elipse!

Recordemos, antes de mais, que:
- se chama excentricidade ao quociente e = c/a;
- as directrizes são rectas perpendiculares ao eixo maior e cujas abcissas são x = - a/e e x = a/e; a razão das distâncias de cada ponto da elipse a um foco e à directriz correspondente é constante e igual à excentricidade e.

Uma elipse está definida pelo ponto F, pela excentricidade e e pela directriz d. Determinar a(s) tangente(s) à elipse tirada(s) pelo ponto P, exterior, e o(s) respectivo(s) ponto(s) de contacto.

Seja C o pé da perpendicular baixada de P para d. Tracemos a circunferência de centro P e raio PC.e. Por F tracemos uma tangente a essa circunferência que intersecta d em D: a recta DP é a tangente t à elipse. Por F tiremos uma perpendicular a FD: o pé da perpendicular é o ponto T de tangência.

+


Claro que, sendo o ponto P exterior à elipse, haverá outra tangente à circunferência tirada por F, logo haverá outra solução,

(Fonte "Géometrie" , Th Caronnet)

26.2.07

Elipse: dos foco, tangente e círculo director -> outro foco

De uma elipse, conhecemos um foco e respectivo círculo director, uma tangente e a direcção do eixo maior. Propomos que determine o outro foco.

Exercício interactivo:


Elipse: determinação de pontos

Os vértices do eixo maior e os focos de uma elipse definem univocamente todos os seus pontos. Em desenho geométrico é sempre apresentado o seguinte processo de determinação de pontos:




Tomado um ponto X qualquer de [V1V2], são pontos da elipse os pontos de intersecção da circunferência de centro em F1 e raio |XV1| com a circunferência de centro em F2 e raio |XV2|.

Há outras formas de determinar pontos da elipse já apresentados neste lugar geométrico. Um dos mais interessantes, recorre às duas circunferências cujos diâmetros são os eixos da elipse. Tomado um raio que corte em Y o círculo menor e em X o círculo maior é ponto da elipse aquele que tem ordenada (?) de Y e abcissa(?) de X.

Pode ver ilustração destas construções de pontos em duplo andamento

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23.2.07

Elipse: dos focos e da tangente aos vertices

De uma elipse, conhecemos os focos e uma tangente. Propomos que determine os vértices do eixo menor.

Exercício interactivo:



22.2.07

Elipse: um ponto, um vértice e um foco -> outro foco

De uma elipse, conhecemos um ponto, um vértice do eixo menor e um foco. Propomos que determine o outro foco.

Exercício interactivo:


Elipse: de uma tangente e vértices aos focos

De uma elipse, conhecemos os vértices do eixo menor e uma tangente. Propomos que determine os focos.

Exercício interactivo:



15.2.07

Elipse: de uma tangente e vértices aos focos

De uma elipse, conhecemos os dois vértices do eixo maior e uma tangente. Propomos que determine os focos.

Exercício interactivo



13.2.07

Elipse: de uma tangente ao foco que falta

De uma elipse, conhecemos um dos vértices, um dos focos e uma tangente. Propomos que determine o outro foco.

Exercício interactivo:



Elipse: dos vértices à tangente

De uma elipse, conhecemos os quatro vértices e um ponto M. Propomos que determine a tangente à elipse em M.

Exercício interactivo:



9.2.07

Algumas propriedades da elipse

  • Tome-se a normal e a tangente num ponto M da elipse. A circunferência circunscrita ao triângulo formado por M e pelas intersecções T da tangente e N da normal com a recta que contém o eixo menor passa pelos focos.





  • Se o vértice de um ângulo recto percorre o círculo principal mantendo~se um dos lados a passar por um foco, o outro lado é envolvente da elipse.





  • Ilustramos, a seguir, as duas propriedades:
  • Os pés das perpendiculares às tangentes tiradas pelos focos são pontos do círculo principal.


  • Para uma dada elipse, o lugar geométrico dos simétricos F' de um foco F1, relativamente às tangentes, é uma circunferência centrada no outro foco F2 e cujo raio é o eixo maior (círculo director) (Dualmente: As perpendiculares a uma tangente da elipse tiradas por pontos do círculo director passam pelos focos.)


  • Pode clicar sobre o ponto P ou T para animar a contrução.



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