25.1.07

A parábola de outros tempos, aqui

Antes de dar por finda esta sucessão de referências a parábolas, convém lembrar que animações e problemas com parábolas foram aparecendo ao longo dos tempos neste lugar geométrico. Recuperamos aqui algumas das referências ao passado, para que possam ser visitadas em romagem:

  • Parábola simples (animação; cinderella)

  • Parábola como envolvente (animação; cinderella)

  • Parábola como lugar geométrico dos pontos (x,x2)

  • Parábola como lugar geomético dos pontos (x, √x) e sua inversa

  • Parábola exinscrita a um triângulo
  • 22.1.07

    Uma propriedade magnífica

    Cada trio de tangentes a uma parábola de foco F forma um triângulo cujo círculo circunscrito passa por F. Os três pés das perpendiculares tiradas por F a essas tangentes à parábola estão sobre a tangente à parábola no seu vértice. O que significa que para qualquer trio de tangentes, os pés das perpendiculares tiradas por F estão sobre a tangente ao vértice
    Os pontos médios das diagonais de cada um dos quadriláteros de tangentes estão sobre uma paralela ao eixo da parábola - recta de Newton.



    17.1.07

    A parábola das duas tangentes

    Se tivermos duas tangentes - t1 e t2 - a uma parábola e conhecermos os respectivos pontos de tangência - T1 e T2 - podemos determinar o foco F e a tangente à parábola tirada pelo seu vértice.
    É o que lhe propomos que faça no exercício interactivo que se segue:
    0


    16.1.07

    Triângulo de tangentes da parábola

    Se tivermos duas tangentes t1 e t2 a uma parábola, a circunferência que passa pelo ponto T de tangência de t1 e é tangente a t2 no ponto A de intersecção de t1 com t2 contém o foco F. A animação seguinte ilustra essa propriedade.



    E estamos em boas condições de resolver o problema seguinte:

    De uma parábola de que se conhecem três tangentes - AB, BC e CA - e o ponto T de tangência de BC, determinar o foco e a tangente no seu vértice.




    12.1.07

    Parábolas definidas por tangentes

    Propomos um novo problema sobre parábolas definidas por tangentes. Antes, porém, lembramos algumas propriedades:

    1. O lugar geométrico dos simétricos do foco relativamente às tangentes da parábola é a sua directriz.
    2. O lugar geométrico dos pés das perpendiculares às tangentes tiradas pelo foco é a tangente no vértice.



    3. O lugar geométrico dos focos das parábolas tangentes a três rectas dadas é o círculo circunscrito definido pelos três pontos de intersecção das rectas.



    Problema: Determinar o foco e a tangente no vértice de uma parábola tangente a quatro rectas dadas: t1, t2, t3 e t4.



    4.1.07

    De dois pontos da parábola ao foco

    Consideremos uma parábola em que d é a directriz, V é o vértice e F é o foco; sejam A e B pontos da parábola e designemos por p o parâmetro da parábola (p - distância da directriz ao foco). Chamemos T ao ponto de intersecção da tangente em A com o eixo da parábola.

    Demonstra-se que:

    (a) Se M é o ponto médio de [AB], os pés das perpendiculares tiradas por M a AB e ao eixo da parábola distam p.
    (b) Se A1 é o pé da perpendicular baixada de A para o eixo, um ponto do eixo que diste p de A1, está sobre a normal à parábola em A; a perpendicular à normal é a tangente em A.
    (c) O ponto médio do segmento TA1 é o vértice V.

    que o ajuda a resolver um problema de enunciado simples e atraente:

    Determinar o foco de uma parábola de que são dados o eixo e dois pontos, A e B.


    O que se pode tirar de dois pontos de uma parábola

    A animação seguinte ilustra uma propriedade da parábola muito interessante que permite determinar a distância p do foco à directriz se conhecermos o eixo e dois dos seus pontos.



    Tomados dois pontos A e B da parábola, consideremos o ponto M médio de [AB]. As perpendiculares tiradas por M a AB e ao eixo da parábola intersectam o eixo em dois pontos P e Q tais que |PQ|=p que é a distância de F a d.

    2014
    EUCLIDES
    Instrumentos e métodos

    de resolução de problemas de construção