22.1.07

Uma propriedade magnífica

Cada trio de tangentes a uma parábola de foco F forma um triângulo cujo círculo circunscrito passa por F. Os três pés das perpendiculares tiradas por F a essas tangentes à parábola estão sobre a tangente à parábola no seu vértice. O que significa que para qualquer trio de tangentes, os pés das perpendiculares tiradas por F estão sobre a tangente ao vértice
Os pontos médios das diagonais de cada um dos quadriláteros de tangentes estão sobre uma paralela ao eixo da parábola - recta de Newton.



17.1.07

A parábola das duas tangentes

Se tivermos duas tangentes - t1 e t2 - a uma parábola e conhecermos os respectivos pontos de tangência - T1 e T2 - podemos determinar o foco F e a tangente à parábola tirada pelo seu vértice.
É o que lhe propomos que faça no exercício interactivo que se segue:
0


16.1.07

Triângulo de tangentes da parábola

Se tivermos duas tangentes t1 e t2 a uma parábola, a circunferência que passa pelo ponto T de tangência de t1 e é tangente a t2 no ponto A de intersecção de t1 com t2 contém o foco F. A animação seguinte ilustra essa propriedade.



E estamos em boas condições de resolver o problema seguinte:

De uma parábola de que se conhecem três tangentes - AB, BC e CA - e o ponto T de tangência de BC, determinar o foco e a tangente no seu vértice.




12.1.07

Parábolas definidas por tangentes

Propomos um novo problema sobre parábolas definidas por tangentes. Antes, porém, lembramos algumas propriedades:

1. O lugar geométrico dos simétricos do foco relativamente às tangentes da parábola é a sua directriz.
2. O lugar geométrico dos pés das perpendiculares às tangentes tiradas pelo foco é a tangente no vértice.



3. O lugar geométrico dos focos das parábolas tangentes a três rectas dadas é o círculo circunscrito definido pelos três pontos de intersecção das rectas.



Problema: Determinar o foco e a tangente no vértice de uma parábola tangente a quatro rectas dadas: t1, t2, t3 e t4.



4.1.07

De dois pontos da parábola ao foco

Consideremos uma parábola em que d é a directriz, V é o vértice e F é o foco; sejam A e B pontos da parábola e designemos por p o parâmetro da parábola (p - distância da directriz ao foco). Chamemos T ao ponto de intersecção da tangente em A com o eixo da parábola.

Demonstra-se que:

(a) Se M é o ponto médio de [AB], os pés das perpendiculares tiradas por M a AB e ao eixo da parábola distam p.
(b) Se A1 é o pé da perpendicular baixada de A para o eixo, um ponto do eixo que diste p de A1, está sobre a normal à parábola em A; a perpendicular à normal é a tangente em A.
(c) O ponto médio do segmento TA1 é o vértice V.

que o ajuda a resolver um problema de enunciado simples e atraente:

Determinar o foco de uma parábola de que são dados o eixo e dois pontos, A e B.


O que se pode tirar de dois pontos de uma parábola

A animação seguinte ilustra uma propriedade da parábola muito interessante que permite determinar a distância p do foco à directriz se conhecermos o eixo e dois dos seus pontos.



Tomados dois pontos A e B da parábola, consideremos o ponto M médio de [AB]. As perpendiculares tiradas por M a AB e ao eixo da parábola intersectam o eixo em dois pontos P e Q tais que |PQ|=p que é a distância de F a d.

29.12.06

As parábolas do ano que finda...

António Aurélio Fernandes continuou a propor exercícios sobre parábolas. Sempre foi misturando as suas propostas com algumas propriedades da parábola (relações entre elementos da parábola). Tudo para justificar ter falado em tempos numa vaga de problemas de parábolas. Não sabemos se deste ano sobrará tempo para preparar todos os exercícios interactivos que ele propõe.
Pelo sim, pelo não, aqui ficam para que possa pensar ainda este ano sobre essas propriedades e exercícios.
Duas propriedades...
Propriedade: O simétrico F' do foco F em relação a uma tangente à parábola está sobre a directriz.
Propriedade: (Dualmente) A simétrica da directriz relativamente a uma tangente passa pelo Foco.
... para dois exercícios (que pode resolver aqui mesmo):
Exercício: Determinar a directriz d de uma parábola de que são dadoso foco F e duas tangentes, t e t'.



Exercício: Determinar o foco F de uma parábola de que são dados a directriz d e duas tangentes, t e t'.


26.12.06

O foco na parábola

António Aurélio enviou mais um problema de parábolas, este para determinar o foco. A saber:
Determinar o foco F de uma parábola que passa pelo ponto M, tem por directriz a recta d e é tangente à recta t .

No seu cartão de Natal, dizia ele, a respeito destes problemas de parábolas: Nunca é demais lembrar, para a resolução da presente "vaga" de exercícios sobre parábola que se trata do lugar dos pontos equidistantes do foco e da directriz. Acompanho a lembrança com uma ilustração tirada de uma animação que fiz mesmo agora.

Parábola de Natal

O idoso professor andava tão feliz quanto infeliz por não compreender o que se tinha passado com o seu estojo de régua e compasso. Por mais que tentasse, não conseguia mostrar nenhum dos seus exercícios feitos com o novo estojo. Irrita não compreender, mas é sinal de vitalidade tentar compreender sem descanso as pequenas coisas que estão ao nosso alcance. O seu companheiro, tão idoso como o idoso professor mas com tanto tempo como um reformado professor tem, não se cansava de enviar para publicação os exercícios que, do passado, lhe eram sugeridos pela leitura das páginas de algum dos amarelecidos volumes "Éxércices de Géométrie" que Th. Caronnet publicou na década de 40 do século passado (ainda não tinha nascido a Mariana). Tanta insistência só podia aumentar o desespero do idoso professor. Ou não. Porque se deu o milagre de Natal: com mais tempo e empurrado pela insistência do companheiro construtor, o idoso professor lá conseguiu compreender o que sempre lá tinha estado e fácil de ver.

Posso dar hoje o primeiro exercício interactivo feito com a nova versão (5.1) do "Régua e Compasso" (Zirkel und Lineal). Porposto por António Aurélio Fernandes, aqui vai. Cliquem sobre o enunciado e acedam ao exercício interactivo

Determinar a directriz de uma parábola que tem foco F, passa por M e é tangente à recta t

Se puderem, escrevam a dizer-nos se gostam mais da nova versão.

24.12.06

Directriz de Natal

António Aurélio Fernandes envia este problema para alegrar o Natal dos geómetras:
Determinar a directriz de uma parábola de que são dados o foco F e dois dos seus pontos, A e B
Clique no enunciado para aceder ao exercício interactivo.

eu queria tanto que vissem ...

e sentissem a matemática do natal que não resisti a roubar o "ambigrama" de Eric/Moacyr amalgamar . Cliquem na "mensagem caligráfica" para ir até ao Braisl e ver o movimento que vos quis mostrar e não só o que vos quis dizer.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção