herdar parte de um triângulo

Dois irmãos herdaram um campo triangular, com serventia por um dos lados. Como hão-de dividir o campo de modo a ficarem ambos com a mesma serventia?

Diogo Pacheco de Amorim; Compêndio de Geometria; SPM. Lisboa: Ano Mundial da Matemática

A propósito deste problema, recebemos uma carta de Paulo Correia, de Alcácer do Sal, que nos lembra a proposta (variante mais rica) deste problema por José Paulo Viana, publicada no nº 71 da revista "Educação & Matemática" da Associação Portuguesa de Matemática. Paulo Correia chama ainda a atenção para as resoluções publicadas no nº 73 da mesma revista.

Obrigado, Paulo, pela informação.

quando uma recta encontra uma parábola

Releia o artigo anterior e procure pensar no seguinte problema de construção com régua e compasso:

Dada uma recta r, o foco F e a directriz d de uma parábola, determine os pontos de intersecção dessa recta r com a parábola definida por F e d.

Quando uma recta intersecta a cónica

Os programas de geometria dinâmica permitem-nos determinar cónicas como lugares geométricos de vários modos. Sempre com algumas limitações. Em alguns casos, as cónicas podem aparecer definidas por alguns dos seus pontos. Um problema interessante consiste em determinar pontos que pertençam a uma cónica definida por alguns elementos.
António Aurélio Fernandes propõe, com este pequeno artigo, abordar a
determinação dos pontos de intersecção de uma cónica com uma recta.

Seja a cónica definida pelo foco F, pela directriz d e pela excentricidade e. Determinar o(s) ponto(s) em que a recta intersecta a cónica.
Sabemos que, numa cónica, é constante a razão das distâncias de qualquer seu ponto P ao foco e à directriz, sendo a constante igual à excentricidade e. Nesta propriedade se baseia a construção que vamos apresentar.


Tomemos um ponto qualquer N sobre r e tiremos a perpendicular a d; seja Q o pé da perpendicular. Tracemos a circunferência de centro N e raio |NQ|.e. Seja R um dos pontos de intersecção de circunferência com a recta FS (S é a intersecção de d e r). Por F tiremos uma paralela à recta NR: a intersecção dessa recta com r e´o ponto P da cónica.
De igual modo se obtinha o outro ponto de intersecção, caso existisse.

A cónica poderá ser definida por um dado que não seja a excentricidade. Seja, por exemplo, dado o centro O ou comprimento do semi-eixo maior. Nesses casos é necessário começar por determinar a excentricidade, caso se trate de uma elipse ou uma hipérbole: e = c/a.

Claro que nos problemas que são propostos só aparecem os elementos definidores das cónicas