9.10.06

Outro problema triangular

A Mariana propôs um resultado sobre triângulos e nós ficámos sem saber muito bem o que fazer dele. Sem saber como falar dele sem ser a falar por falar. Mas aqui fica o desafio para pensar.
Determinar o vértice C do triângulo [ABC] de que se conhecem os lados a e c e os raios ra e rb dos círculos ex-inscritos nos ângulos A e B
Clicando sobre o enunciado, tem acesso ao respectivo exercício interactivo.

O que é simples e interessante disto é o que vou propor aos meus alunos do 8º ano na forma do Desafio que saiu no Público, pela mão do J. P. Viana, num dos últimos meses de 1998. Que desafio?

A Mariana garante (e com razão!) que pode dispensar um dos dados - o lado a, por exemplo. Experimente realizar o exercício interactivo sem precisar do lado a.

2.10.06

Animação com triângulo e hipérbole

Até agora não tínhamos conseguido fazer uma animação razoável para mostrar a ligação entre a hipérbole equilátera dos exincentros de um triângulo com a circunferência a ele circunscrita. Os olhos da Mariana que viram a relação entre triângulos dos exincentros e o triãngulo órtico deram conta do recado que aqui entregamos. Clique para ver a animação.
Toda a hipérbole equilátera que passa pelos exincentros Ia, Ib, Ic e pelo incentro I de um triângulo [ABC] tem o centro Oh sobre o círculo circunscrito ao triângulo.

25.9.06

Parábola exinscrita a um triângulo

No artigo anterior, apresentámos mais uma propriedade dos triângulos

Cada parábola exinscrita no triângulo tem a directriz a passar por H e o foco no círculo circunscrito.

em lista de espera de uma construção interactiva que a esclarecesse
Se clicar sobre a ilustração que se segue, tem acesso a uma animação em Zirkel - ReC:



Se a parábola de foco F e directriz d for tangente aos três lados de um triângulo [ABC], tem a directriz d a passar pelo ortocentro H e o foco F sobre a circunferência circunscrita ao triângulo.

15.9.06

Triângulos, cónicas e Cinderella

António Aurélio Fernandes, do mundo dos triângulos, tem insistido em publicar mais resultados sobre triângulos e respectivas construções (ou ilustrações, quando não conseguirmos mais). Os resultados relativos a cónicas sempre nos lembraram as limitações do software que usamos. Descobrimos hoje, ao tentar construções com cónicas, que a última versão do Cinderella não tem as limitações das anteriores e não resistimos a publicar uma animação que ilustra bem que

Toda a hipérbole equilátera circunscrita a um triângulo passa pelo seu ortocentro H.


Nunca esqueremos a eternidade que fomos deixando passar enquanto tentávamos noutros tempos algumas construções tão fora do seu tempo. Sabemos que Cinderella está muito mais forte e bela. A verdade seja escrita



Em fila de espera descansam por mais uns momentos:

    Toda a hipérbole equilátera que passa pelos exincentros e pelo incentro de um triângulo tem o centro sobre o seu círculo circunscrito.

    Cada parábola inscrita no triângulo tem a directriz a passar por H e o foco no círculo circunscrito.

14.9.06

Despertar para a demonstração

Em fins de Julho, publicámos um conjunto de resultados interessantes sobre triângulos integrados na série Despertares . Não tínhamos, na altura, a ideia de apresentarmos as demonstrações. Temos vindo a ser confrontados com a necessidade de apresentar algumas demonstrações exemplares em simplicidade. Podemos por isso falar neste artigo como mais um "despertar para a demonstração".

O que se aprende sobre Geometria, em particular sobre triângulos, é, em geral, tão pouco que, contando só com isso, a maioria dos problemas propostos ficaria sem solução. Quem imaginaria, por exemplo, que a área de um triângulo é dada pelo produto do semi-perímetro p pelo raio r do círculo inscrito?!
E afinal até é fácil demonstrá-lo:
Unamos I a A, a B, a C. A área do triângulo [ABC] é a soma das áreas dos três triângulos [IAB], [IAC] e [IBC]:
(1/2)a.r + (1/2)b.r + (1/2) c.r = (1/2)(a + b + c).r = p r.



Do mesmo modo se demonstra que a área de um triângulo [ABC] também é dada por:
(p - a).ra ou (p - b).rb ou (p - c).rc
em que p é o semiperímetro, a,b e c lados do triângulo e ra, rb e rc raios das exinscritas

De facto, área[ABC] = área[ABIa]+área[ACIa]-área[BCIa], todos triângulos de altura ra e bases, respectivamente c, b e a.
Logo, área[ABC]=(c.ra+b.ra-a.ra)/2 =[(1/2)[(a+b+c)] -a].ra=(p-a).ra

Aurélio Fernandes ainda lembrou que, designando por I' e I'a os pés das perpendiculares a AB tiradas por I e por Ia (projecções sobre AB de I e Ia, ou pontos de tangência de AB com as circunferências inscrita e exinscrita...), é verdade que
|AI'a|=p
|AI'| =p-a.

13.9.06

Um velho problema de Puig Adam

Em 3 de Janeiro de 2005, entre os problemas de Puig Adam apareceu o seguinte:

Demonstrar que a recta que une o vértice A de um triângulo [ABC] com o incentro I corta a circunferência circunscrita (centrada em O) num ponto P equidistante de B, de I e de C.


No último mês, recebemos uma proposta de demonstração que agradecemos. Estudamos todas as contribuições à medida do que sabemos e das nossas disponibilidade, mas só publicamos o que achamos correcto. Algumas vezes enganamo-nos ou publicamos contributos mesmo sem concordar com a escrita quando isso serve para clarificar uma ou outra abordagem e o que é correcto e mais elegante pode ficar evidenciado na controvérsia que possa estabelecer-se.
No caso presente, pareceu-nos mais acertado submeter à apreciação pública uma demonstração feita pela casa






Por ser AP a bissectriz do ângulo BÂC, os arcos BP e PC são iguais (duplos de ângulos inscritos iguasi) e as correspondentes cordas BP e CP têm comprimento igual: |BP|=|PC|.

O ângulo PBI (inscrito na circunferência de centro O) é metade do arco PCK(= arco PC+arco CK).
O ângulo PÎB (com vértice no interior da mesma circunferência) é metade da soma dos arcos BP e AK.
Como AP é bissectriz do ângulo BAC, o arco BP é igual ao arco PC. E por BI ser bissectriz do ângulo ABC o arco AK é igual ao arco CK. Assim: arco PK=arco PC +arco CK = arco BP +arco AK e logo os ângulos PBI e PIB são iguais.
No triângulo [PBI], isósceles, aos ângulos iguais (PBI=PIB) opõem-se lados iguais (|PI|=|BP|).

|PI|=|BP|=|PC|.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção