8.6.06

Terceiro despertar dos geómetras.

Para obtermos o incentro de um triângulo [ABC] temos de traçar, como é sabido, as bissectrizes dos ângulos internos do triângulo: obtemos um ponto, habitualmente designado por I - incentro, que tem esta propriedade de ser equidistante dos três lados. Desenhamos assim uma circunferência de (in-)raio r - círculo inscrito - tangente aos três lados do triângulo.
Pois bem, é possível desenhar mais três circunferências tangentes aos três lados, agora externamente ao triângulo - círculos exinscritos. Para obter, por exemplo, o círculo exinscrito no ângulo de vértice A, basta traçar as bissectrizes externas dos ângulos com vértices em B e C. Designaremos por Ia, Ib, Ic os centros das três circunferências exinscritas.
Notas: A bissectriz interna do ângulo em A passa por I e por Ia, a bissectriz interna do ângulo em B passa por I e por Ib, a bissectriz interna do ângulo em C passa por I e por Ic. As bissectrizes interna e externa de um ângulo são perpendiculares.


Propriedades.

  • A área de um triângulo é dada pelo produto do semi-perímetro pelo raio r do círculo inscrito.


  • As circunferências BCIa, CAIb, ABIc intersectam-se em I.


  • Os pontos Ia, Ib, Ic formam um triângulo que tem por alturas as bissectrizes dos ângulos internos.


  • Os pontos médios dos segmentos que unem cada exincentro ao incentro pertencem ao círculo circunscrito.


  • ra + rb + rc= r + 4 R (r: in-raio; I: incentro; R: circum-raio; O: circuncentro; ra: exin-raio, etc)


  • |OMa| + |OMb| + |OMc|= r+R


  • |OI|2 = R (R -2 r)


  • |OIi|2= R (R + 2ri), em que i = a, b, c.


  • A potência do incentro em relação ao círculo circunscrito é dada por 2rR.


  • A potência de cada exincentro em relação ao círculo circunscrito é dada por 2ri R, com i = a, b, c.


  • Seja T1 o ponto de tangência do círculo inscrito com AB e T2 o ponto de tangência do círculo exinscrito no ângulo de vértice A com AB e seja p o semi-perímetro do triângulo. Demonstra-se que:
    |AT2| = p,    |AT1| = p - |BC| e |T1T2| = |BC|.


  • B e C estão sobre a circunferência de diâmetro [IIa]




    António Aurélio Fernandes informa:
    Estas notas ajudam a resolver os exercícios 213, 214, 279, 373, 385 do Geometriagon

  • 24.5.06

    Divisões

    Problemas de construção que apresentaremos na forma de exercícios interactivos (ou não):

    1.     Dividir um trapézio em três partes equivalentes por rectas que intersectam as bases.

    2.     Dividir um dado círculo em três partes de áreas proporcionais a três comprimentos (m, n, p) dados, com recurso a circunferências concêntricas ao círculo.

    3.     Dividir um triângulo em duas partes equivalentes por uma perpendicular a um dos lados.

    4.     Dividir um triângulo em duas partes equivalentes por uma paralela a um dos lados.

    5.      Dividir um quadrilátero em duas partes equivalentes por uma recta passando por um vértice.

    19.5.06

    Segundo despertar dos geómetras.

    Prosseguimos a nossa intenção já anunciada em 5 de Abril: fornecer aos jovens, apanhados pelo vírus da Geometria, instrumentos essenciais para a resolução de problemas; são, como já dissemos, questões não tratadas n a escola básica ou secundária.
    Apresentamos hoje quatro proposições de frequente aplicação; não as demonstramos, mas prometemos publicar qualquer demonstração que nos seja enviada.

    Recta de Euler: Num triângulo, o baricentro G, o ortocentro H e o circuncentro O são colineares e de tal modo que |GH| = 2 |GO|.


    Para aceder à construção, clique sobre a ilustração
    .

    Este resultado é útil em todos os problemas de construção em que se afigure necessário obter um destes pontos notáveis conhecidos que sejam os outros.

    Dos vértices aos pés das alturas: A circunferência que tem como diâmetro o lado de um triângulo, passa pelos pés das alturas referentes aos outros dois lados.



    Para aceder à construção, clique sobre a ilustração
    .


    Uma bissectriz, duas simetrias: Consideremos um triângulo e o seu círculo circunscrito. O ângulo formado pela altura e diâmetro referentes ao vértice A tem como bissectriz a bissectriz do ângulo BÂC.




    Outros pontos da circunferência dos vértices:

    1 A bissectriz de um ângulo e o diâmetro perpendicular ao lado oposto de um triângulo intersectam-se num ponto da sua circunferência circunscrita.



    2 O simétrico do ortocentro H relativamente a cada lado tem o seu simétrico sobre a circunferência circunscrita.






    O próximo Despertar será dedicado a círculos ex-inscritos e suas relações com outros elementos do triângulo.


    Falam, falam, falam... Mas, quem cumpre, quem obriga a cumprir? Quem? :-)
    © Aurélio Fernandes!
    que mais manda que aos interessados se informe que estes "despertares" apoiam a resolução de problemas do tipo dos designados pelos números
    119, 123, 127, 129 e 133 na extensa lista do   GEOMETRIAGON.

    2014
    EUCLIDES
    Instrumentos e métodos

    de resolução de problemas de construção