A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

24.5.06

Divisões

Problemas de construção que apresentaremos na forma de exercícios interactivos (ou não):

1.     Dividir um trapézio em três partes equivalentes por rectas que intersectam as bases.

2.     Dividir um dado círculo em três partes de áreas proporcionais a três comprimentos (m, n, p) dados, com recurso a circunferências concêntricas ao círculo.

3.     Dividir um triângulo em duas partes equivalentes por uma perpendicular a um dos lados.

4.     Dividir um triângulo em duas partes equivalentes por uma paralela a um dos lados.

5.      Dividir um quadrilátero em duas partes equivalentes por uma recta passando por um vértice.

19.5.06

Segundo despertar dos geómetras.

Prosseguimos a nossa intenção já anunciada em 5 de Abril: fornecer aos jovens, apanhados pelo vírus da Geometria, instrumentos essenciais para a resolução de problemas; são, como já dissemos, questões não tratadas n a escola básica ou secundária.
Apresentamos hoje quatro proposições de frequente aplicação; não as demonstramos, mas prometemos publicar qualquer demonstração que nos seja enviada.

Recta de Euler: Num triângulo, o baricentro G, o ortocentro H e o circuncentro O são colineares e de tal modo que |GH| = 2 |GO|.


Para aceder à construção, clique sobre a ilustração
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Este resultado é útil em todos os problemas de construção em que se afigure necessário obter um destes pontos notáveis conhecidos que sejam os outros.

Dos vértices aos pés das alturas: A circunferência que tem como diâmetro o lado de um triângulo, passa pelos pés das alturas referentes aos outros dois lados.



Para aceder à construção, clique sobre a ilustração
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Uma bissectriz, duas simetrias: Consideremos um triângulo e o seu círculo circunscrito. O ângulo formado pela altura e diâmetro referentes ao vértice A tem como bissectriz a bissectriz do ângulo BÂC.




Outros pontos da circunferência dos vértices:

1 A bissectriz de um ângulo e o diâmetro perpendicular ao lado oposto de um triângulo intersectam-se num ponto da sua circunferência circunscrita.



2 O simétrico do ortocentro H relativamente a cada lado tem o seu simétrico sobre a circunferência circunscrita.






O próximo Despertar será dedicado a círculos ex-inscritos e suas relações com outros elementos do triângulo.


Falam, falam, falam... Mas, quem cumpre, quem obriga a cumprir? Quem? :-)
© Aurélio Fernandes!
que mais manda que aos interessados se informe que estes "despertares" apoiam a resolução de problemas do tipo dos designados pelos números
119, 123, 127, 129 e 133 na extensa lista do   GEOMETRIAGON.

8.5.06

Triângulo de perímetro mínimo.

No interior do ângulo  Â  toma-se um ponto P. Por P passa uma infinidade de rectas que cortam os lados do ângulo  Â. Cada uma dessas rectas tirada por P define um triângulo. Vasculhemos o mundo desses triângulos, até encontrarmos o de perímetro mínimo.


Para aceder ao exercício interactivo, clique sobre a ilustração
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Triângulo equilátero num quadrado.

No Curso de Geometria de Paulo Ventura Araújo, que foi publicado pela Gradiva em 1998, há muitas propostas de trabalho (teoremas mais ou menos clássicos - demonstrações e construções; e demonstrações que sugerem construções com régua e compasso) que podem ser transformadas em belos exercícios interactivos. Aqui deixamos uma sugestão de exercício interactivo:

Sobre os lados de um quadrado [ABC], determinar os vértices Y e Z de um triângulo [XYZ] equilátero, do qual é dado o vértice X em [AB]


Para aceder ao exercício interactivo, clique sobre a ilustração
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2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção