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10.12.06

Quando uma recta intersecta a cónica

Os programas de geometria dinâmica permitem-nos determinar cónicas como lugares geométricos de vários modos. Sempre com algumas limitações. Em alguns casos, as cónicas podem aparecer definidas por alguns dos seus pontos. Um problema interessante consiste em determinar pontos que pertençam a uma cónica definida por alguns elementos.
António Aurélio Fernandes propõe, com este pequeno artigo, abordar a
determinação dos pontos de intersecção de uma cónica com uma recta.


Seja a cónica definida pelo foco F, pela directriz d e pela excentricidade e. Determinar o(s) ponto(s) em que a recta intersecta a cónica.
Sabemos que, numa cónica, é constante a razão das distâncias de qualquer seu ponto P ao foco e à directriz, sendo a constante igual à excentricidade e. Nesta propriedade se baseia a construção que vamos apresentar.


Tomemos um ponto qualquer N sobre r e tiremos a perpendicular a d; seja Q o pé da perpendicular. Tracemos a circunferência de centro N e raio |NQ|.e. Seja R um dos pontos de intersecção de circunferência com a recta FS (S é a intersecção de d e r). Por F tiremos uma paralela à recta NR: a intersecção dessa recta com r e´o ponto P da cónica.
De igual modo se obtinha o outro ponto de intersecção, caso existisse.

A cónica poderá ser definida por um dado que não seja a excentricidade. Seja, por exemplo, dado o centro O ou comprimento do semi-eixo maior. Nesses casos é necessário começar por determinar a excentricidade, caso se trate de uma elipse ou uma hipérbole: e = c/a.

Claro que nos problemas que são propostos só aparecem os elementos definidores das cónicas

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