13.9.06

Um velho problema de Puig Adam

Em 3 de Janeiro de 2005, entre os problemas de Puig Adam apareceu o seguinte:

Demonstrar que a recta que une o vértice A de um triângulo [ABC] com o incentro I corta a circunferência circunscrita (centrada em O) num ponto P equidistante de B, de I e de C.


No último mês, recebemos uma proposta de demonstração que agradecemos. Estudamos todas as contribuições à medida do que sabemos e das nossas disponibilidade, mas só publicamos o que achamos correcto. Algumas vezes enganamo-nos ou publicamos contributos mesmo sem concordar com a escrita quando isso serve para clarificar uma ou outra abordagem e o que é correcto e mais elegante pode ficar evidenciado na controvérsia que possa estabelecer-se.
No caso presente, pareceu-nos mais acertado submeter à apreciação pública uma demonstração feita pela casa






Por ser AP a bissectriz do ângulo BÂC, os arcos BP e PC são iguais (duplos de ângulos inscritos iguasi) e as correspondentes cordas BP e CP têm comprimento igual: |BP|=|PC|.

O ângulo PBI (inscrito na circunferência de centro O) é metade do arco PCK(= arco PC+arco CK).
O ângulo PÎB (com vértice no interior da mesma circunferência) é metade da soma dos arcos BP e AK.
Como AP é bissectriz do ângulo BAC, o arco BP é igual ao arco PC. E por BI ser bissectriz do ângulo ABC o arco AK é igual ao arco CK. Assim: arco PK=arco PC +arco CK = arco BP +arco AK e logo os ângulos PBI e PIB são iguais.
No triângulo [PBI], isósceles, aos ângulos iguais (PBI=PIB) opõem-se lados iguais (|PI|=|BP|).

|PI|=|BP|=|PC|.

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