4.5.06

Trapézios circunscritíveis

No último número da "Educação e Matemática", José Paulo Viana propôs o problema - Uma circunferência no trapézio - com o seguinte enunciado:

Uma circunferência é tangente aos quatro lados de um trapézio isósceles. As bases do trapézio medem 4 e 16 cm. Qual é a medida do raio da circunferência? Investigação suplementar para os mais entusiastas: Que aconteceria se o trapézio não fosse isósceles?



E, no rasto dessa proposta, Mariana Sacchetti propôs ao Geometriagon um problema de construção de trapézio circunscritível.
A primeira pergunta que nos vem à cabeça tem a ver com as qualidades que um polígono, neste caso um quadrilátero, deve ter para merecer que haja uma circunferência tangente a todos os seus lados. O Aurélio não deixou de garantir imediatamente que trapézio que não seja isósceles não é trapézio que possa ser circunscritível. Será assim? O problema proposto pela Mariana e que aqui fica também como exercício interactivo é da construção de um trapézio isósceles e da circunferência nele inscrita a partir de uma das bases do trapézio e do comprimento da outra.

Esta pequena discussão trouxe-me à memória um artigo que tinha lido em tempos e que voltei a procurar: "Circumscribable Quadrilaterals: A Journey in Honors Geometry. Charles Worrall. Mathematics Teacher (NCTM) October 2004, Volume 98, Issue 3, Page 192". Tinha gostado muito da introdução que começava de uma forma inspiradora: If we want to inspire a young writer to be a poet, we do not start with a grammar book. Instead, inspiration and love literature come from reading complex works of art like Hamlet or Catcher in the Rye. Promoting a similar idea, Einstein wrote "the misterious... is the source of true art and science" (Ulam 1976, p. 289). To be more specific, one way to develope urgency and curiosity in mathematics students is to encourage them to wrestle with complex mathematical objects, ones whose dep and misterious realationschips are waiting to be found


Tinha gostado muito das primeiras palavras e foram elas em primeiro lugar que me vieram à memória. Mas não resisto a acrescentar aqui o primeiro problema posto por Worrall nesse artigo:

Se um quadrilátero tem três lados consecutivos a medir 12, 15 e 17 unidades e circunscreve um círculo, quanto mede o seu quarto lado?



Coloquei este problema aos alunos do 9º ano. O que é que nele é difícil? O mais óbvio.... depois de saber. Como sempre, aliás.

5 Commentários:

Anonymous Anónimo escreveu...

a mdida do outro la do e 14

11:28 da manhã  
Blogger vinicius escreveu...

Por Pitot:
O outro lado mede 14.

9:38 da manhã  
Blogger Laura Rodrigues escreveu...

primeira pergunta, o raio é igual a 5?

3:52 da tarde  
Anonymous Anónimo escreveu...

Primeira pergunta:
O diâmetro da circunferência inscrita é a distância entre as duas bases. Para a conhecermos precisamos de conhecer a medida dos lados não paralelos e depois será só aplicar o Teorema de Pitágoras.
Ora há uma propriedade que diz que num quadrilátero convexo que admite uma circunferência inscrita a soma dos comprimentos dos lados opostos são iguais. Logo os dois lados não paralelos somam 4+16=20. Então cada um mede 10.
Aplicando o Teorema de Pitágoras
10^2-6^2=diâmetro^2

Mariana Sacchetti

12:09 da manhã  
Anonymous Anónimo escreveu...

Raio da circunferência dará 4.

Como a Mariana já começou no desenvolvimento ai, é só concluir.
100-36 = diametro^2
64 = d^2
diametro = 8.
como diametro = 2*raio ; o raio da circunferência será 4

11:54 da tarde  

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