A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

29.8.05

(B-EI) Soma de comprimentos

Estamos a preparar um grande conjunto de exercícios interactivos básicos para serem usados livremente na escola. Aqui fica a experiência de um deles para ver como funciona. Todos os exercícios interactivos deste projecto serão identificados por um símbolo. de que apresentamos uma primeira sugestão : e(lectronica e interactiva) JE :-)
Vamos indo e vendo. Dizemos nós,
Arsélio & Aurélio
que andamos à procura de parceiros, como sempre.



Básico
Exercício Interactivo
Transferência de comprimentos

24.8.05

Voar no trapézio

Continuámos a falar de trapézios. Seguindo um conselho de Puig Adam, Aurélio tinha proposto que construíssemos um trapézio [ABCD] de que eram dadas as bases: - |AB|=a, |CD|=b| - e as diagonais: - |AC|=e, |BD|=f. Consideremos o trapézio desenhado, para que possamos ver o que é importante: [ABO] e [CDO] são triângulos semelhantes. O problema construtivo está em encontrar o centro O da homotetia que transforma [AOB] em [COD]. Terá de ser |AB|/|CD|=|AO|/|CO|=|BO|/|OD|. A construção feita (com recursos ao Teorema de Thales) a partir da recta AB em que |AB|= a, |BT|=b, |AP|=e, |AR|=f, permite-nos calcular |AO|=|AQ| e |BO|=|AS|. E está tudo resolvido, já que podemos desenhar o triângulo [ABO].

Não caí porque estava a trabalhar no trapézio com um parceiro de confiança. E não caímos sem deixarmos o trapézio bem construído. Na nossa construção interactiva sempre pode alterar os tamanhos das bases e das diagonais.



Para aceder à nossa construção interactiva
basta clicar sobre a ilustração.




Depois da construção, demos atenção a várias propriedades interessantes do trapézio. Por exemplo a recta que passa pelos pontos médios das bases também passa pela intersecção das diagonais e dos lados... Provável é que haja outras formas (e mais elegantes) de realizar esta construção. Há?

18.8.05

No Trapézio, sempre!

Aurélio Fernandes, numa das suas traquinices e no seguimento da minha tolice interpretativa do problema do quadrilátero completo, depois de prever um voo rasante (ele disse golpe de asa) que demonstrasse o velho problema, mandou que me distraísse a construir um trapézio de que se conhecessem as bases e as diagonais. Assim fiz.
E aqui deixo, como exercício interactivo, a construção de um trapézio de que se conhecem as bases e uma diagonal.
Exactamente, construí um exercício em que se obtém um trapézio [ABCD], sendo dados |AB|, |CD|=|BC|, AB//CD e |AC|.



Para aceder ao exercício interactivo,
basta clicar sobre a ilustração.

14.8.05

Outra demonstração ilustrada


Demonstre que os quatro lados de um quadrilátero completo determinam
dois a dois quatro triângulos cujas circunferências circunscritas
passam por um mesmo ponto G.


Aurélio Fernandes descobriu o verdadeiro enunciado (de Puig Adam) do tal problema 3 que tem vindo a ser referido que eu tinha modificado. Aqui fica a minha intrerpretação e a demonstração ilustrada que fica para a discussão em aberto.
E Aurélio Fernandes acrescentou noutra mensagem a definição de quadrilátero completo (esta palavra completo tinha sido retirada para abrir o problema). Aí vai a definição de Puig Adam: Chama-se "quadrilátero completo" à figura formada por quatro rectas secantes entre si duas a duas, sem que três delas passem por um ponto. Essas quatro rectas são os "lados" do quadrilátero e os seus pontos de intersecção são os "vértices". As "diagonais" do quadrilátero são as rectas que unem os vértices não situados no mesmo lado.

A seguir à definição vem esta pergunta: Quantas diagonais e quantos vértices tem o "quadrilátero completo"?

8.8.05

Sobre a demonstração


Demonstrar que as paralelas a dois lados de um triângulo que passem pelo baricentro dividem o terceiro lado em três partes iguais.


Antes de nos embrenharmos no mês de Agosto, a respeito de vários dos problemas que deixámos para as férias, ao de leve, ainda discutimos - Arsélio & Aurélio - o papel das construções e do Cinderella como prova (ou como demonstração) desta ou daquela afirmação. Na ilustração que aqui publico, os vértices do triângulo ABC são aqueles como podem ser outros (bastando movê-los, livres e ansiosos por um pé de dança), G é obviamente o centro de gravidade, MK paralela a BC e HL paralela a AC. H e K não dividem o lado [AB] em três partes iguais?
Para termos uma prova boa, precisaremos de acrescentar alguma informação à construção, acompanhada do Texto da construção (geometria analítica) e conteúdo da Janela de informação?
Este problema é um dos que já foi apresentado duas vezes, sem que alguém o tenha amado tanto quanto um problema merece. Aqui fica um novo pedido de atenção. Pensamos que são fáceis. Mas, por exemplo, o 3º da lista republicada no artigo - Construçaõ de um triângulo dados os pontos médios dos lados - levanta-nos problemas graves de leitura do enunciado. Quem pode ajudar-nos a ler Puig Adam? Adaptámos bem?

1.8.05

Tangente a um círculo - só com régua

Mariana Sacchetti resolveu o problema de tirar por um ponto P as tangentes a um círculo dado (tal como tinha sido proposto no Geometriagon , só com régua). Ao tentar recriar a sua construção como exercício interactivo para publicar aqui, apareceram-nos vários problemas com que não contávamos. Mas aqui fica uma versão do exercício. As ferramentas disponíveis são: a primeira para permitir mover os elementos desenhados, a segunda para marcar livres ou sujeitos a pertencer a rectas ou círculo, a terceira para traçar rectas por um ponto, a quarta para marcar o ponto de intersecção de duas rectas seleccionadas, a quinta para voltar atrás, a quinta para pedir ajuda e uma sexta para voltar ao princípio de tudo). Pode acontecer que alguma das ferramentas precise de insistência. No caso desta versão de exercício, aconteceu-nos muitas vezes que cada recta que deesenhamos como secante ao círculo não fica logo na posição que queremos. Isso só nos obriga a usar a primeira ferramenta e deslocar a recta para onde queremos. A Mariana teve o cuidado de nos enviar as justificações todas sobre as suas construções. Pedimos desculpa à Mariana pelos atrasos e pela nossa insistência em experimentar transformar a sua resolução em exercício interactivo.

Clique em "uma versão do exercício" para ter acesso ao exercício interactivo que lhe propomos.
Clique em "justificações todas sobre as suas construções"(.pdf) para descarregar o texto da Mariana.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção