Construção de um triângulo dados os pontos médios dos lados

Andreia Figueiredo escreveu-nos uma mensagem com propostas de construções. Escreve ela:
(...)foi-nos possibilitada a exploração de algumas das enumeras potencialidades do programa de geometria dinâmica de nome Cinderella. Após algumas experiências, apercebemo-nos logo do seu elevado valor como instrumento auxiliar no ensino da geometria a alunos do ensino básico e secundário. Deste modo, foi-nos apresentado o vosso Blog de Geometria, que nos desafia a resolver, com o Cinderella, alguns problemas de geometria, com o objectivo de nos pôr a praticar.
Assim, queria apresentar a minha resolução para dois exercícios propostos no vosso blog. Os exercícios que resolvi são da autoria de Puig Adam e encontram-se expostos na secção intitulada Pontos e rectas notáveis de um triângulo. Seguidamente, apresento os seus enunciados, bem como, o processo que proponho para a sua resolução explicado passo a passo.
EXERCÍCIO 1:
Construir um triângulo do qual se conhecem os pontos médios dos seus lados.

Da lição de Puig Adam, referida por Andreia, então escolhemos 8 exercícios para propor aos leitores. Eram eles:

1. Demonstrar que as paralelas a dois lados de um triângulo que passem pelo baricentro dividem o terceiro lado em três partes iguais.
2.Demonstrar que a recta que une o vértice A de um triângulo [ABC] com o incentro I corta a circunferência circunscrita num ponto P equidistante de B, de I e de C.
3. Em que circunstâncias é que os quatro lados de um quadrilátero determinam dois a dois quatro triângulos dos quais as circunferências circunscritas passam por um mesmo ponto M? Enunciar e demonstrar o resultado.
4. Demonstrar que os circuncentros dos quatro triângulos em que um quadrilátero convexo fica dividido pelas suas diagonais são vértices de um paralelogramo.
5. Construir um triângulo de que se conhece um lado e duas medianas
6. Demonstrar que o triângulo dos exincentros é sempre acutângulo.
7. Demonstrar que a recta de Simson relativa ao ponto P está a igual distância de P e do ortocentro H.
8. Construir um triângulo de que se conhece os pontos médios dos seus lados. E um pentágono? E um heptágono? O que se passa se o polígono tiver um número par de lados?

Aqui ficam de novo para despertar o apetite.

A proposta de exercício de Andreia Figueiredo reporta-se a parte do exercício 8 desta lista. Que aqui fica proposto como exercício interactivo. Para fazer o trabalho clique aqui.

a quadratura do rectângulo

Quando se fazem índices, descobrem-se os desafios que não tiveram resposta. Apareceram muitos. Hoje decidi lembrar os que foram apresentados no artigo Quadratura de Polígonos a partir de um artigo de Carmen Galván, publicado no primeiro número da Unión - Revista Iberoamericana de Educación Matemática. E começamos por apresentar a resolução do mais simples: Construir o quadrado equivalente a um rectângulo dado.

Para ver a construção interactiva, clique sobre a ilustração.