antero'keeffe

Em busca de uma curva, Antero Neves chegou a outra.
Uma curva inesperada merece ser mostrada.
Aqui fica.

Houve quem pensasse em borboletas.
Eu pensei em Georgia O'Keeffe.
Para ver a animação,
clique sobre a ilustração.

Golpe de asa

A asa envolvente.

Para ver a animação relativa à asa envolvente,
clique sobre a ilustração.

Tangentes exteriores a dois círculos

Quando aqui colocámos os primeiros problemas sobre circunferências e tangentes, deixámos para trás os problemas mais simples. A preocupação de então era apresentar problemas que interessassem estudiosos para recebermos retorno. Não nos podemos queixar. Só agora começámos a dar por algumas faltas nas publicações. Algumas construções tinham sido feitas para anteriores experiências mais ou menos falhadas.
Em artigo anterior, colocámos exercícios interactivos para a construção da tangente a uma circunferência tirada por um ponto exterior.
Hoje o problema é outro.

Problema:
Temos duas circunferências de raios r e R e determinamos (com régua e compasso) rectas tangentes comuns às duas"
Processo de construção:

Se quer ver a construção proposta por Aurélio Fernandes,
basta clicar aqui ou sobre a ilustração.

Nota prévia: na resolução em Cinderella, as linhas referentes aos dados estão a azul, as linhas referentes a construções estão a verde.
Há duas tangentes externas e duas tangentes internas.
Temos duas circunferências de centros A (raio r) e B (raio R).
Em construção à parte, determinamos a diferença R-r.
Com centro em B, traçamos a circunf. de raio R-r.
Traçamos a tangente a esta circunferência a partir de A: recta c; ponto de tangência: H.
Seja H' o ponto de intersecção de BH com a circunferência de centro B e raio R.
Por A tiramos a perpendicular a c; seja L o ponto de intersecção de AL com a circunferência de centro A e raio r.
A recta LH' (a preto) é uma das quatro tangentes pedidas.

E fica por resolver a determinação das tangentes interiores. Essa é a proposta.

Carta de Brigite Silva

Arsélio
(...) foi-nos apresentado o vosso Blog de Geometria, pelo que nos propusemos a pensar, discutir e resolver alguns dos problemas apresentados.
Deste modo, estou a enviar-lhe (...) a minha proposta de resolução para um dos problemas que se encontra no vosso blog de geometria.
Em anexo envio os ficheiros onde se encontra o enunciado do problema e o meu processo de construção.
Para qualquer crítica, dúvida ou sugestão poderão contactar-me:
Brigite Simões da Silva
(III) Rectas e Circunferências

Problema:
Traçar uma circunferência de raio r dado que seja tangente a duas rectas concorrentes dadas.
Processo de construção:

Se quer ver a construção proposta por Brigite Silva,
basta clicar aqui ou sobre a ilustração.

Pretendemos encontrar a circunferência tangente a duas rectas concorrentes, dado o seu raio.
São dadas duas rectas concorrentes a e b e o raio da circunferência r, que corresponde ao comprimento de [BE], construído para auxiliar a construção.
A circunferência que procuramos deve ter o seu centro a uma mesma distância das duas rectas, pelo que deverá pertencer à bissectriz do ângulo formado pelas rectas concorrentes no ponto A.
Sabemos que o centro C da circunferência terá que pertencer à bissectriz mas não sabemos a sua posição. Então comecemos por traçar a circunferência de centro A e raio r. De seguida tracemos uma recta perpendicular a a (ou a b) que passe por A, que designaremos por d. Seja D o ponto de intersecção da recta d com a circunferência traçada.
Como a distância entre quaisquer duas rectas paralelas é constante, traçando uma recta (denotada por e) paralela a a e que passe por D, asseguramos que a distância entre as duas é igual ao raio da circunferência que pretendemos traçar.
O centro C da circunferência que procuramos será a intersecção da recta e com a bissectriz do ângulo formado pelas rectas concorrentes.
Para determinar o ponto de tangência da circunferência procurada com a recta a, tracemos uma recta perpendicular a a que passe por C. O ponto de tangência será F.
Neste momento dispomos dos dados necessários para traçar a circunferência tão desejada, será ela a circunferência de centro C que passe por F.

Comente a construção de Brigite Silva.