Tangente a um círculo tirada por um ponto

A Proposição XVII dos Elementos de Euclides "Tirar por um ponto uma tangente a uma circunferência" é aqui proposta em dois exercícios interactivos.

Se quer um exercício interactivo seguindo um procedimento clássico, basta clicar aqui ou sobre a ilustração.

Se quer um exercício interactivo seguindo as sugestões de Aurélio Fernandes (Puig Adam ou alguém antes dele - diz ele) clique antes sobre esta grande frase.

Em Geometriagon , na lista de 100 exercícios interactivos (construção com régua e compasso) que Giorgio Attico propôe, este é o segundo. Mas só com régua. Fica convidado a espreitar, a participar, a viciar-se neste jogo. E fica a conhecer mais um instrumento para fazer geometria.

Ao mesmo tempo que nós, só com régua, tente construir as tangentes a um círculo (nem o centro é dado, mas pode tomar três pontos) que passam por um ponto dado que lhe é exterior.

Cada problema é outro problema

Para nós, o melhor é mesmo apareceram muitas soluções para o mesmo problema de construção. Cada construção que se fizer para um mesmo exercício é sempre um útil luxo. Há quem diga que pensar noutras construções depois de ter uma é luxo inútil ou lixo. Nós pensamos o contrário. Com cada nova construção aprendemos outras maneiras de olhar e de pensar e ... aprendemos mesmo.
Para mim, a construção de um triângulo dados um lado a=|BC| e a soma dos outros dois b+c = |AC|+|AB| (para além de um ângulo) devia sempre passar pela construção de uma elipse de focos B e C. Para isso, bastava-me considerar um ponto P a mover-se num segmento de comprimento b+c e duas circunferências de centros em B e em C... Não me cansei das minhas experiências e ainda não dei a minha via por inútil. O Aurélio defende uma bela solução que procura explicações em simples triângulos e um paralelogramo. A Cláudia Sofia apresentou uma outra que publicámos e que, por ter algumas dificuldades comentadas, lhe mereceu a preocupação e a promessa de apresentar uma nova mais discutida e testada. Estamos à espera do envio da Cláudia Sofia.
O que pode ser melhor para a Geometria que queremos aprender e ensinar?
Vamos ilustrar a proposta do Aurélio:

Tomamos A e duas semirectas - de A para Q e de A para R - definindo o ângulo A (que podemos modificar. movendo R verde). Com centro em A, desenhamos as circunferências de raios a e b+c dados. E marcamos D e F sobre as rectas do ângulo A, à distância b+c de A. O triângulo ADF é isósceles de lado b+c. Se tomarmos E em DF e à distância a de A, basta-nos desenhar uma paralela a AD passando por E para obtermos C e uma paralela a AE por C para obtermos B. [ECF] é isósceles já que é semelhante a [DAF]. |EC|=|CF|=|AB|=c. |AC|=b=|AF|-|CF| e|AE|=|CB|=a.
Ora vejam lá se não é! Parece tão simples.