Triangularidades

Conversamos sobre um ou outro aspecto de cada problema,sobre a forma de os apresentar, o tempo certo para publicar resoluções de problemas já propostos ou para quando a publicação de novas propostas. As conversas brandas com o Aurélio sobre os problemas e sobre aspectos das apresentações deixam o ar impregnado de detalhes - o melhor disto são mesmo os detalhes sobre os quais nos focamos para melhor focar o mundo.

Temos uma proposta de resolução de António Silva para um dos problemas de triângulos, mas vamos adiar por mais algum tempo a publicação na esperança de ver aparecer várias soluções. Nessa resolução, apareceu uma discussão sobre como fazer o transporte de ângulos. Usando a ferramenta de paralelas do Cinderella ou usando régua e compasso? (Mais formativa esta última, até porque permite lembrar resultados pelo seu uso - numa circunferência ou em circunferências iguais a cordas iguais correspondem iguais arcos (ou ângulos ao centro), por exemplo - até porque o compasso só transfere comprimentos de segmentos). Há um trabalho muito elaborado de Mariana Sacchetti, em resposta à nossa pergunta sobre a razoabilidade da construção que apresentámos para a rectificação aproximada de uma circunferência (Dia do π). Publicar-se-ão nos artigos a que se referem. Não perdem por esperar.
Propostas de novas curvas feitas por Antero Neves talvez venham a merecer artigos novos caso haja algum trabalho sobre elas, possamos descobrir que desafio elas nos colocam e possa ser resolvido por nós ou por quem acompanha.

As conversas brandas obrigaram-me a pensar nos problemas sobre triângulos que foram propostos por Aurélio Fernandes fora deste lugar e nos têm dividido quanto à oportunidade de os colocar.
Decidi apresentar três deles para ocupar mais gente.

O primeiro deles vai antecipado de perguntas que talvez ajudem (e que vou fazer a alunos do 8º ano):

Determine os lados de um triângulo que tenha por alturas segmentos de 2, 3 e 4 cm.
Haverá algum triângulo que tenha por alturas segmentos de 1, 3 e 4 cm?
E o problema de construção :
Construir (com régua e compasso?) um triângulo de que se conheçam só as três alturas

O segundo:

Construir um triângulo de que se conhece um ângulo A, um lado a e a soma b+c dos lados restantes.

O terceiro:

Construir um triângulo equilátero com um vértice sobre cada uma de três paralelas dadas.

Aguardamos novas participações. Há mais do que uma forma para os resolver. Deve haver.
Podemos passar a vida a olhar sem descanso para triângulos. Há sempre alguma coisa de que não nos demos conta. Triangularidades!

Com mais ou menos variações, estes exercícios propostos pelo Aurélio e o último pelo Veloso, podem ser vistos e achados em livros clássicos de geometria, por exemplo, em
Th. Caronnet; Exércices de Géométrie. Compléments. Librairie Vuibeert. Paris: 1946
Claro que Caronnet (ou Puig Adam, na sua Geometria Métrica já recenseada em artigos anteriores) consideram os exercícios para ilustrar um aspecto, muitas vezes insuspeito, da geometria. Nem sempre concordamos com isso. E procuramos explicações para a nossa discordância. Publicamos sobre a discordância, claro.