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5.6.05

Simetria com compasso

"Usar o compasso e nada mais para determinar o simétrico de um ponto P relativamente a um eixo definido por dois pontos A e B"



Se quer fazer o exercício interactivo, clique aqui ou sobre a ilustração
e, depois de esperar um pouco, tente construir o simétrico de P.
Pode mover os pontos do exercício.
E pode, por exemplo, ver em que condições é que P é alinhado com A e B.
Pode começar a pensar como determinar (com compasso)
o simétrico de P relativamente a B, por exemplo.


Em IV. Construções geométricas (II) , Eduardo Veloso propôe esta construção entre outros exercícios. São perguntas publicadas em 1998, no âmbito do projecto Inovação no Ensino da Geometria on line que continua disponível no site da APM.
Transcrevo o texto de Eduardo Veloso, apelando a que (com o SketchPad, com o Cabri, com o CeR, com o Cinderella ou com a régua, o compasso, o lápis sobre papel) procurem resolver os problemas que ele coloca.

No fim do século XVIII - em 1797 - o matemático italiano Lorenzo Mascheroni, da Universidade de Pavia, publicou um tratado chamado A Geometria do Compasso, em que demonstrou o seguinte teorema:
Todos os problemas de construções geométricas resolúveis por meio de uma régua não graduada e de um compasso podem também ser resolvidas apenas com um compasso.
Evidentemente isto não quer dizer que se possam traçar rectas com um compasso. Nas construções feitas apenas com um compasso, considera-se determinada uma recta quando forem determinados dois dos seus pontos.
Até 1928 Mascheroni ficou com a honra de ter sido o primeiro a demonstrar este teorema. Nesse ano, no entanto, percebeu-se que tinha sido publicado em 1672, em Amsterdão, um livro - O Euclides Dinamarquês - em que G. Mohr demonstrava precisamente o mesmo resultado. Assim, com uma diferença de mais de um século, dois matemáticos tinham chegado independentemente a este mesmo resultado.
Utilize o Sketchpad para resolver, apenas com o auxílio do compasso, os problemas de construções geométricas que se seguem. Note que uma recta é dada, ou determinada, dando ou determinando dois dos seus pontos.


1. Construir o simétrico de um dado ponto relativamente a uma dada recta.
2. Dados os pontos A, B e C, verificar se o ponto C pertence à recta AB.
3. Dada uma recta definida por dois pontos, encontrar outros pontos sobre a mesma recta.
4. Dado um segmento AB, encontrar um segmento AC com o dobro do comprimento de AB. E encontrar um segmento com n vezes o comprimento de AB, com n natural.
5. Construir a intersecção de uma circunferência com uma recta.
6. Dada uma recta AB, determinar a perpendicular à recta AB passando por A.


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