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20.5.05

Triângulos de Catarina Cruz


(...] resolvi dois dos problemas apresentados na página de Geometria.
Os problemas sobre os quais me "debrucei" referem-se à construção de triângulos. Os enunciados assim como as minhas propostas de resolução encontram-se nos ficeiros que envio em anexo.
Qualquer crítica ou sugestão serão bem-vindas.
Grata pela sua atenção
Catarina Cruz


Problema:
Construir um triângulo [ABC] do qual se conhecem o lado [BC], o ângulo B e o comprimento da altura tirada a partir de A.

Sugestão para uma possível construção:



[Para ver a construção dinâmica de Catarina Cruz,
basta clicar sobre esta ilustração]

Traçamos o segmento [BC] de medida a (dada inicialmente);
Pelo ponto B fazemos passar uma recta f tal que a amplitude do ângulo dirigido de [BC] para f seja igual à amplitude dada para o ângulo B;
Por um ponto qualquer da recta BC tiramos-lhe uma perpendicular que designaremos por g. Seja D o ponto resultante da intersecção das rectas BC e g;
Determinamos sobre um segmento de extremidade D e comprimento h' (comprimento da altura tirada a partir de A). Obtemos o segmento [DE];
Pelo ponto E traçamos uma perpendicular a g, designamo-la por i;
Da intersecção de i com f resulta A, o terceiro vértice do triângulo. Unindo os pontos A, B e C obtemos o triângulo pretendido.

Observações à construção
Foram introduzidas na construção "ferramentas" que permitem variar os valores dos elementos dados inicialmente:
Movendo o ponto C' obtemos medidas diferentes para a, medida do segmento [BC];
Movendo o ponto P obtemos medidas diferentes para a amplitude do ângulo B;
Movendo E' obtemos medidas diferentes para o comprimento da altura tirada a partir de A.

Apenas são movíveis os pontos assinalados a vermelho.



Comente a construção de Catarina Cruz.

6 Commentários:

Anonymous Anónimo escreveu...

Caro Arsélio

Quando acedi à página de Geometria constatei que tinha publicado as construções que lhe enviei.
No entanto verifiquei que as construções publicadas se apresentam incompletas pois em ambas não se encontra presente a recta auxiliar usada na aplicação da informação referente ao comprimento da altura tirada a partir do vértice A. Também no segundo problema publicado não se encontra presente a recta auxiliar usada na aplicação da informação referente à amplitude do ângulo C.Verifiquei ainda que os pontos e as rectas não se encontram identificados pelos respectivos nomes.
Penso que as construções como estão apresentadas poderão trazer algumas dificuldades à compreensão das resoluções.

Grata pela sua atenção

Catarina Cruz

9:54 da manhã  
Blogger Arselio Martins escreveu...

Podemos mudar as construções, tornando visíveis as rectas que se não vêem e os rótulos de todas elas. Não me parecem muito necesssário, já que o texto que acompanha a construção não é para ser desligado da ilustração e da construção e tem todas as indicações. Poderia ser melhor apresentar a construção sob a forma de exercício interactivo e então ou teríamos a iniciativa matemática de quem visitasse o exercício ou os passos da nossa construção com poucas palavras e todos os desenhos auxiliares para que fosse seguido.

Há ainda uma outra discussão que eu e o Aurélio sempre travamos. Não seria mais formativo para quem estuda geometria, exigirmos sempre todos os trabalhos de transferência (com régua e compasso) de comprimentos e amplitudes em vez de sugerirmos o recurso à perpendicularidade e ao paralelismo do "cinderella"? Noutros lugares do mundo virtual e noutros países insiste-se muito na geometria da régua e do compasso. Nós compramos já feito sempre.

Bem que gostávamos de discutir isto. De forma alargada.

AM

10:04 da manhã  
Blogger Jaime escreveu...

Estivemos a discutir na aula de mestrado a questão que coloca: "Não seria mais formativo para quem estuda geometria, exigirmos sempre todos os trabalhos de transferência (com régua e compasso) de comprimentos e amplitudes em vez de sugerirmos o recurso à perpendicularidade e ao paralelismo do "cinderella"?"
Uma aluna disse que assim não tirávamos partido das funcionalidades do "cinderella" ficando mais limitados. Outro disse que assim estávamos a imitar a construção "à mão" com régua e compasso. Não será mais importante o raciocínio geométrico? Uma aluna não parece perceber as vantagens de tal "limitação". Seria bom esclarecer primeiro talvez porquê a limitação à régua e compasso. Como tiraremos então partido das vantagens enormes do software de geometria dinâmica?

8:00 da tarde  
Blogger Arselio Martins escreveu...

Uma aluna disse que assim não tirávamos partido das funcionalidades do "cinderella" ficando mais limitados.

Se eu quiser (ensinar ou) aprender geometria e quiser verificar o que é que eu sei de passos básicos de uma demonstração ou de uma construção (à Euclides) eu devo usar as tremendas funcionalidades do CInderella que são a régua e o compasso ( e até aquela funcionalidade que consiste em esconder para os exercícios interactivos as ferramentas que estão a mais).

Outro disse que assim estávamos a imitar a construção "à mão" com régua e compasso. Não será mais importante o raciocínio geométrico?

O que é o raciocínio geométrico? Se me disserem para demonstrar um teorema dos primeiros livros dos Elementos não estou a desenvolver raciocínios geométricos? Sim, muitas vezes para a geometria do plano para que o raciocínio geométrico exista limito as coisas à régua e compasso.

Uma aluna não parece perceber as vantagens de tal "limitação". Seria bom esclarecer primeiro talvez porquê a limitação à régua e compasso.

Eu vejo com bons olhos todas as ferramentas e há problemas para os quais o que deve utilizar-se é a definição de lugar geométrico ou a animação. No caso do problema dos triângulos (para o 7º ano, para o básico) o que está em causa é a régua e o compasso. Porquê usar transferências de ângulos por rectas paralelas se eu posso fazer melhor do que isso, transferindo de modo muito mais geral com régua e compasso? Se no problema isso fosse um detalhe num grande conjunto de raciocínios que para serem feitos garantiam a existência do maejo automático da régua e compasso... aceitaria. Não era o caso, convenhamos!

Como tiraremos então partido das vantagens enormes do software de geometria dinâmica?

O Cinderella tem ferramentas simples e complexas. Para caçar elefantes talvez seja legítimo não usar mil milhões de pequeninas redes cada uma delas própria para caçar formigas. Mas para caçar formigas, usar uma rede própria para elefantes?

Eu penso que cada problema e cada nível deve usar a ferrramenta adequada.

Só isso.

E aqui, por estes lados, há artigos que vão explicitando esses pontos de vista. E continuamos a discutir. O Aurélio e o António Silva também acharam que, na construção de triângulos dados os ângulos, era menos confuso passar paralelas. A culpa foi minha que devia ter dado os ângulos e ter pedido a construção sobre um lado determinado que não era paralelo a qualquer dos lados dos ângulos dados. Damos liberdade (a mão) e eles pegam e levam logo o braço.

:-)

8:31 da tarde  
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11:17 da tarde  

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