24.4.05

Um triângulo nas paralelas

No artigo   Triangularidades   propusemos como desafio a construção de um triângulo equilátero que tivesse cada um dos seus vértices sobre uma de três paralelas dadas.
A nossa proposta de construção (a clássica, aquela que estava na cabeça de quem deu a sugestão - Eduardo Veloso ou Caronnet) utiliza rotações de rectas em torno de um ponto. Pode tentar fazê-la (ou vê-la, usando a ferramenta de perguntar que não ofende) clicando sobre a ilustração que se segue:





Ora, tal como noutros desafios, esperar soluções diferentes é saudável, procurar soluções diferentes é o mais belo exercício e encontrá-las é uma alegria. Assim tinha acontecido com o problema do triângulo pelas alturas (de que entrevimos três construções diferentes) e assim aconteceu neste problema. No problema do triãngulo pelas alturas, não deixámos de gabar as nossas soluções (ainda não publicadas!). Pois! A vingança não havia de tardar! Agora vejam o que escreveram os Sacchettis:
Talvez seja pretensão nossa mas esta solução é melhor que a tua!.. Ela está intimamente ligada à distância entre as paralelas sendo que a inclinação das mesmas é irrelevante.

E, em documento anexo, esclareciam:


Problema:
«Construir um triângulo equilátero com um vértice sobre cada uma de três paralelas dadas.»

Constatámos:
1- Que o que define as três paralelas é a distância entre elas; a inclinação das mesmas é irrelevante.
2- Que as dimensões do triângulo (o comprimento do seu lado) dependem essencialmente da distância das rectas exteriores; mas mesmo quando estas se mantêm fixas, o lado do triângulo oscila entre um máximo e um mínimo, consoante a posição da recta interior. É mínimo quando esta está a meia distância entre as outras (e neste caso o lado do triângulo é igual à distância entre as rectas exteriores) e é máximo na posição limite em que a recta interior se sobrepõe a uma das exteriores (e neste caso o lado do triângulo é igual ao lado do hexágono circunscrito à circunferência com centro num ponto situado numa das rectas exteriores e raio igual à distância entre elas.
3- Quando se fixa um dos vértices do triângulo equilátero sobre uma das paralelas exteriores o triângulo terá os outros seus dois vértices sobre os lados do hexágono definido no ponto anterior (o raio da circunferência inscrita ao hexágono é o apótema deste, pelo que os lados do triângulo equilátero oscilam entre o apótema e o lado do hexágono circunscrito; este hexágono é o lugar geométrico dos dois vértices do triângulo equilátero, cujo terceiro vértice está no centro)

Construção:
1- Dadas as três rectas paralelas fixa-se um ponto A numa das rectas exteriores.
2- Por esse ponto tira-se uma perpendicular às outras duas rectas; seja B a intersecção dessa perpendicular com a segunda recta exterior.
3- Considere-se |AB| o lado dum triângulo equilátero; determine-se o vértice C.
4- Por C trace-se uma perpendicular a |AC| que intersecta a paralela interior em D
5- |AD| é o lado do triângulo equilátero pedido; é fácil determinar o outro vértice E e traçar os lados |AE| e |ED|.
6- Isto porque |AC| é um apótema do hexágono circunscrito e a perpendicular contem um lado desse hexágono, lugar geométrico dos outros vértices do triângulo equilátero.

Aveiro, 24 de Abril de 2005
Mariana e Casimiro Sacchetti



E a construção dos Sacchettis pode ser vista clicando sobre a ilustração que se segue, feita a partir da construção que nos enviaram.




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