Onde é que a recta corta a elipse?

Exercício Interactivo
Determinar os pontos P e Q de intersecção de uma recta r dada com a elipse de que se mostram os eixos.

Aplicação da afinidade

Aplicação à determinação dos pontos de intersecção de uma recta e uma elipse definida por um par de diâmetros conjugados

Seja a elipse definida pelos diâmetros conjugados [AB] e [CD]; determinar os pontos de intersecção com a recta r (supondo que não temos a elipse traçada).





Traçámos a circunferência de diâmetro [AB] e o diâmetro perpendicular [OC'] . Definimos a afinidade de eixo AB que transforma C em C' (a direcção da afinidade é, pois, a recta CC'). Nessa afinidade:
- determinámos a imagem r' de r (L, por pertencer ao eixo, é elemento de r'; K é transformado em K');
- determinámos as intersecções P' e Q' de r' com a circunferência.
Os originais P e Q de P' e Q' são as intersecções de r e a elipse.

Eixos da elipse afim de uma circunferência

Determinar os eixos de uma elipse afim de uma dada circunferência é caso particular da construção apresentada em artigo anterior. Teremos de procurar o par de diâmetros perpendiculares da circunferência que se transforma, por afinidade, no único par de diâmetros conjugados perpendiculares da elipse afim. Para isso, basta traçar a circunferência de centro sobre o eixo de afinidade que tem o segmento [OO'] como corda - o centro é a intersecção do eixo com a mediatriz do segmento [OO'].

Exercício Interactivo

Dada uma afinidade definida pelo seu eixo e por um par de pontos homólogos O e O', determinar os eixos da elipse afim de uma dada circunferência de centro O.

Diâmetros conjugados e afinidade

Para obter a elipse afim de uma circunferência, podemos determinar as imagens de diâmetros perpendiculares da circunferência que se transformam em diâmetros conjugados da elipse.

Exercício Interactivo

Seja uma afinidade definida pelo seu eixo; é dada uma circunferência de centro O cuja imagem é O'. Pretende-se que determine o par de diâmetros conjugados da elipse afim da circunferência, em que o ponto A da circunferência se transforma num extremo de um desses diâmetros.

Transformada afim de uma circunferência

Tendo presente que na transformação afim não existe recta limite, concluimos que o transformado de uma circunferência é uma cónica sem pontos impróprios, portanto uma elipse.

Exercício Interactivo

Numa afinidade de eixo e, o transformado do ponto A da circunferência de centro O é o ponto A'. Determine a transformada da circunferência.



Pode fazer variar a circunferência. Verificará que o afim de uma circunferência, quando existe, é uma elipse.

Homologias: os casos da homotetia, simetria axial e translação.

Homotetia

Trata-se de uma homologia de eixo impróprio e centro próprio. Cada par de pontos homólogos (AA') verifica a relação OA/OA' = OB/O'B' = k, sendo k um número real (razão de homotetia).
No caso particular de ser k = -1, a homotetia é uma simetria central



Simetria axial.

É um caso particular da homologia afim: os pontos homólogos são simétricos em relação ao eixo, obliquamente ou ortogonalmente.




Translação

É uma homologia de centro impróprio e eixo impróprio.

Homologias: o caso da afinidade.

Homologia afim ou afinidade

Trata-se de uma homologia de eixo próprio e centro impróprio. Ou seja, as rectas definidas por pontos homólogos são paralelas. Assim, uma afinidade fica definida dando o eixo (eixo de afinidade) e um par de pontos homólogos (direcção de afinidade).
As construções de imagens afins de uma figura dada são análogas às utilizadas na homologia, tendo, porém em conta que não existem rectas limite.




Exercício interactivo

Dado o quadrilátero [ABCD], determine os vértices do seu transformado na afinidade definida pelo eixo e e que a A faz corresponder A'.

Homologia e parábola

Exercício interactivo
Numa dada homologia de centro O, recta limite l e eixo e, uma dada circunferência tem por imagem uma parábola. Determine o vértice dessa parábola.

Parábola e homologia

Uma homologia está definida pelo centro O, pela recta limite l e pelo eixo e. Determinar, nessa homologia, a cónica transformada da circunferência dada, tangente a l no ponto T.





O ponto T de tangência entre a circunferência e a recta limite l vai ter como homólogo o ponto do infinito da cónica que, por consequência, será uma parábola. A direcção do eixo da parábola é, portanto, a recta OT.

Sabemos que a tangente à parábola no seu vértice é perpendicular ao eixo. Logo, a recta OL, perpendicular a OT dá a direcção da tangente no vértice. Se por L traçarmos a tangente à circunferência, o ponto V de tangência tem como homólogo o ponto V´, vértice da parábola.

Para definir a parábola basta obter os transformados de dois pontos da circunferência; determinados esses dois pontos e os seus simétricos em relação ao eixo, ficamos com cinco pontos.

Focos da hipérbole homológica de uma circunferência

Exercício interactivo

Dada uma homologia centro O, eixo e e recta limite l, determinar os focos da hipérbole homológica da circunferência dada.

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Ver artigos precedentes.