A, B, C, D -> AB e CD. Usando só circunferências e pontos, determinar a posição do ponto comum a AB e CD.

Voltamos a dar algum relevo a um problema (que usa compassos ou circunferências - (centro, raio); (centro, ponto), (ponto, ponto, ponto) - e inversões) que pudemos restaurar a partir de uma entrada de 20 de Junho de 2013. Aqui fica problema deste tempo recorrendo ao geogebra.
Na entrada do dia 5 de Junho, propomos que, com compasso e ponto a ponto, para quatro pontos A, B, C e D dados, determine o ponto de interseção das retas AB e CD.
Ilustram-se a seguir as etapas da resolução desse problema:




Para determinar a intersecção da reta (A,B) com a reta (C,D) recorrendo exclusivamente à circunferência, precisamos transformar, por inversão, essas retas em circunferências.

1. Para definir uma inversão, basta tomar, como auxiliares, um ponto P e uma circunferência nele centrada.
2. Por inversão, relativamente a P e à circunferência nele centrada, determinamos
   • A' e B'
   • a circunferência que passa por A', B', P é o transformado de AB pela inversão
   • C' e D'
   • a circunferência que passa por C', D', P é o transformado de CD pela inversão
   • as circunferências (A',B',P) e (C',D', P) intersetam-se em P e em I' sendo este a imagem, pela inversão definida, do ponto de intersecção I de (A,B) com (C,D)
3. Determinar I é feito usando a mesma inversão auxiliar, relativamente à qual determinamos o correspondente de I'

Este processo pode ser utilizado para determinar a intersecção de duas figuras — retas com circunferências, circunferências com circunferências, etc.