18.3.15

Um primeiro exemplo de proposição de álgebra geométrica, usando áreas (o corta e cola)


No Livro II de "Os Elementos", apresentam-se resultados que estabelecem aparentes relações algébricas (álgebra geométrica), recorrendo somente à noção de igualdade (equivalência) de áreas (conteúdos) e às operações de que já descrevemos a base axiomática e a que chamamos de "corta e cola" (acrescentar ou remover figuras a outras figuras). Para além dos exemplos do Livro I, - Prop. XXXV, XXXVII, XLVII, XLVIII - já abordados (enunciados e demonstrações transcritas) incluindo construções dinâmicas de apoio a partir das originais, vamos agora tomar um ou outro exemplo do Livro II para serem usados mais adiante em construções exemplares da forma genial como Euclides elaborou o seu pensamento geométrico. Vamos passar a usar expressões algébricas, como poderíamos ter usado no Teorema de Pitágoras das últimas entradas, $$\;BC^2= AC^2 + AB^2\;$$ em vez de escrever que, de um triângulo $\;ABC\;$ retângulo em $\;A\;$, o quadrado de lado $\;BC\;$ (oposto a $\;Â\;$) é equivalente à soma dos quadrados de lados $\;AB\;$ e $\;AC\;$.

PROP. V. TEOR. Livro II

Se $\;AB\;$ for dividido em duas partes iguais por $\;C\;$ e em duas partes desiguais por $\;D\;$, o retângulo de lados $\;AD, BD\;$ acrescentado ao quadrado de lado $\;CD\;$ e igual ao quadrado de lado $\;BC\;$ - metade de $\;AB\;$.
$$AD\times BD + CD^2 = BC^2$$


© geometrias. 18 de Março 2015, Criado com GeoGebra

Se precisar, clique nos botões "□ -mostar/ocultar" para ver realce de figuras importantes na demonstração

Passos da construção e demonstração:
  1. Usando a PROP. XLVI PROB. do Livro I (36.1), construímos o quadrado de lado $\;BC\;$ - $\;[BCEF]\;$
  2. Usando o Postulado I, tiramos a reta $\;BE\;$
  3. Usando (31.1),
    • por $\;D\;$ tiramos uma paralela a $\;CE\;$ (ou a $\;BF\;$) que interseta $\;BE\;$ em $\;H\;$ e $\;EF\;$ em $\;G\;$;
    • por $\;H\;$ tiramos uma paralela a $\;CB\;$ (ou $\;EF\;$) que interseta $\;CE\;$ em $\;L\;$ e $\;BF\;$ em $\;M\;$;
    • por $\;A\;$ tiramos uma paralela a $\;CL\;$ (ou a $\;BM\;$ que interseta a reta $\;LM\;$ em $\;K\;$
  4. Por (43.1), Os paralelogramos $\;[DCLH],\; [MHGF]\;$ são iguais em conteúdo (ou área) por serem complementos no paralelogramo quadrado $\;[BCEF]\;$ dos dois paralelogramos (quadrados) $\;[BDHM], \; [CHLE]\;$ que existem ao longo da diagonal $\;BE\;$
  5. Se acrescentarmos a cada um dos complementos $\;[DCLH],\; [MHGF]\;$ iguais em área, o mesmo $\;[DHMB]\;$ obtemos dois retângulos $\;[BCLM], \;[BDGF]\;$ iguais em área
  6. Por (36.1), os paralelogramos (retângulos) $\;[CAKL]\;$ e $\;[BCLM]\;$ que têm bases iguais - $\;AC=CB|, \;$ por hipótese - e estão entre as mesmas paralelas - $\;AB \parallel KM. \;$ por construção, - são iguais em conteúdo (em área);
  7. Sendo $\;[AKLC],\; [CLMB]\;$ iguais em área e, como antes tínhamos visto, $\; [CLMB]\;$ é igual em área a $\;[BDGF],\;$ então temos $\;[AKLC],\;[BDGF]\;$ iguais em área.
  8. Podemos concluir que o quadrado de lado $\;BC,\; \;[BCEF]\;$ é igual em área ao gnomon (ver definição 2.2 abaixo) $\;[CMG] = [BCLHGFM]\;$ acrescentado de $\;[HLEG],\;$ quadrado de lado igual a $\;CD\;$
    ou ao retângulo $\;[AKHD]\;$ acrescentado do mesmo quadrado de lado $\;CD\;$, já que o gnomon referido é $\;[GDGFB]\;$ (ou $\;[AKHD]\;$ igual em área) acrescentado de $\;[CLHD]\;$ □

$$AD \times DB +CD^2 = CB^2$$

Livro I
PROP. XLVI. PROB.
Sôbre uma linha reta dada descrever um quadado
PROP. XXXI. PROB.
De um ponto dado conduzir uma linha reta paralela a outra linha reta dada
PROP. XXXVI. TEOR.
Os paralelogramos, que estão postos sôbre bases iguais, e entre as mesmas paralelas, são iguais
PROP. XLIII. TEOR.
Em qualquer paralelogramo os complementos dos paralelogramos, que existem ao redor da diagonal, são iguais entre si
PROP. XLI. TEOR.
Se um paralelogramo e um triângulo estiverem sôbre a mesma base, e entre as mesmas paralelas, o paralelogramo será o dôbro do triângulo
................................
Livro II
DEFINIÇÕES:
I
Todo o paralelogramo retângulo se considera compreendido por duas linhas retas, que formam o ângulo reto.
II
Em todo o paralelogramo $\;[BCEF]\;$ a figura $\;[BCLHGFB],\;$ que resulta de um paralelogramo daqueles (por exemplo, o de diagonal $\;BH\;$), que existem na diagonal $\;BE\;$ do paralelogramo maior, juntamente com os dois complementos (de diagonais $\;CH\;$ e $\;HF\;$, chama-se gnômon. Dêste modo o paralelogramo $\;HB ,\;$ juntamente com os complementos, $\;CH, \;HF\;$ fazem o gnômon que por brevidade, nota-se com as letras $\;CMG,\;$ ou $\;LDC,\;$ que estão postas nos vértices dos ângulos opostos dos paralelogramos, que formam o gnômon.


  1. Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
  2. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000

5.3.15

Elementos: O recíproco do Teorema de Pitágoras (por Euclides)


Transcrevemos ainda de "Os Elementos" o enunciado e demonstração do recíproco do Teorema de Pitágoras, última proposição do Livro I. Muitas discussões sobre a introdução (ou não) em aulas do ensino básico acabaram sempre (ou quase) em derrotas de quem tal defendia. A derrota sente-se logo ao apresentar oralmente a demonstração que naturalmente utiliza vários resultados anteriormente provados, incluíndo o mais próximo teorema da sequência (o próprio teorema de Pitágoras).

RECÍPROCO DO TEOREMA DE PITÁGORAS
PROP. XLVIII. TEOR.

Se o quadrado feito sôbre um lado de um triângulo fôr igual aos quadrados dos outros dois lados, o ângulo compreendido por êstes dois lados será reto .


© geometrias. 5 de Março 2015, Criado com GeoGebra

Fazendo variar o valor de $\;n\;$ (no selector no centro ao fundo da janela de construção) verá o desenvolvimento da figura relativa à demonstração.

Seja o quadrado feito sôbre o lado BC do triângulo ABC igual aos quadrados feitos sôbre os lados BA, AC. Digo que o ângulo BAC é reto.

Levante-se do ponto A sôbre AC a perpendicular AD (*Pr. 11.1.), e ponha- se AD = BA, e tire-se DC. Sendo DA = AB, será o quadrado sôbre DA igual ao quadrado sôbre AB. Ajunte_se-lhes o quadrado de AC. Os quadrados de DA, AC serão iguais aos quadrados de BA, AC. Mas o quadrado de DC é igual aos quadrados de DA, AC, por ser o ângulo DAC reto (**Pr. 47.1. ), e o quadrado de BC se supõe igual aos quadrados de BA, AC. Logo, o quadrado de DC será igual ao quadrado de BC. Logo, será DC = CB. Sendo pois DA = AB, e AC comum, as duas DA, AC serão iguais às duas BA, AC. Mas é a base DC = BC outra base. Logo, será o ângulo DAC = BAC (***Pr. 8.1.). Mas o ângulo DAC é reto. Logo, também o ângulo BAC será reto. □

*PROP. XI. PROB.
De um ponto dado em uma linha reta dada levantar uma perpendicular sôbre a mesma reta dada.
**PROP. XLVII. TEOR.
Em todo o triângulo retângulo o quadrado feito sôbre o lado oposto ao ângulo reto, é igual aos quadrados formados sôbre os outros lados, que fazem o mesmo ângulo reto
***PROP. VIII. TEOR.
Se dois triângulos tiverem dois lados iguais a dois lados, cada um a cada um, e as bases também são iguais; os ângulos, compreendidos pelos lados iguais, serão também iguais


  1. Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
  2. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000