4.11.13

Circunferências de Apolónio - uma propriedade

Circunferências de Apolónio - uma propriedade

Seja ABC um triângulo. Designando os lados por a=BC, b=AC e c=AB, tiramos as bissetrizes internas e externas dos ângulos do triângulo e chamamos A' e A'' aos pés em a das bissetrizes do ângulo A; B' e B'' aos pés sobre b das bissetrizes de B; C' e C'' aos pés das bissetrizes sobre c do ângulo C. Cada uma das circunferências de diâmetros A'A'', B'B'' e C'C'' (chamadas circunferências de Apolónio) corta cada uma das outras num ângulo de 120 graus.

Este resultado é obtido de forma simples recorrendo à inversão; os ângulos de duas circunferências são os ângulos formados pelas tangentes em ponto de interseção das duas que são preservado por inversão.





Debrucemo-nos sobre um par destas circunferências, de diâmetros B'B'' e C'C'', por exemplo. Para os outros pares, o resultado pode ser obtido de forma inteiramente análoga.

A circunferência de diâmetro B'B' passa por B, porque BB' e BB'' são perpendiculares (bissetrizes interna e externa de B). Do mesmo modo, a circunferência de diâmetro C'C'' passa por C.
Tomamos para circunferência de inversão uma circunferência centrada em A e raio qualquer. Invertemos as circunferências de diâmetros B'B'' e C'C'' e os pontos B1; e C1 inversos de B e C, são os pontos médios dos inversos de C'C'' e de B'B'' respetivamente ( notar que (B',B'';A,C)=-1 e que (C',C''; A, B)=-1). Ou seja, B1 é o centro da a circunferência inversa da circunferência de diâmetro C'C'' e C1 é centro da circunferência inversa da circunferência de diâmetro B'B''.
Porque a circunferência de diâmetro B'B'' passa por B, a sua inversa passa por B1 e, do mesmo modo, a inversa da circunferência de diâmetro C'C'' passa por C1. Cada uma destas circunferências passa pelo centro da outra, cortando-se em dois pontos, M1 e M2. Nas condições descritas, o triângulo M1B1C1 é equilátero e as tangentes a estas duas circunferências são perpendiculares aos dois lados M1B1, raio da circunferência centrada em B1, e a M1C1, raio da circunferência centrada em C1, que, sendo lados de um triângulo equilátero fazem um ângulo de 60 graus. As tangentes uma a cada circunferência, perpendiculares a retas que formam ângulo de 60 graus, formam entre si um ângulo de 120 graus que preservado por inversão, é o ângulo que fazem as circunferências de diâmetros B'B'' e C'C'' (inversas das circunferências (B1) e (C1)).

© geometrias, 3 de Novembro 2013, Criado com GeoGebra

2.11.13

Mais uma aplicação da inversão

Caso particular do problema de Apolónio

Determinar uma circunferência tangente a três dadas circunferências concorrentes mas não co-axiais. (usando a Inversão)





Pode seguir os passos da construção, descrita a seguir, clicando no botão de navegação (>>) ao fundo da janela de visualização.

Na construção partimos das circunferências (Ci), de centro Ci, que se intersetam num só ponto O. Se tormarmos uma circunferência (O) de raio qualquer para circunferência de inversão, como as circunferências (Ci) passam pelo centro de inversão O, as suas inversas (Ci)' são retas, precisamente as retas definidas pelas interseções de cada (Ci) com (O). A cirucnferência (I) inscrita no trilátero (C1)', (C2)', (Ci)' é tangente a essas retas e, por isso, usando a mesma inversão de centro O, obtemos uma corrrespondente (I)', circunferência que é tangente às três (Ci).

Claro que há mais 3 soluções, já que para além da inscrita (I), há 3 ex-inscritas tangentes às (Ci)' que se invertem em 3 circunferências cada uma delas tangente às 3 (Ci) dadas.


© geometrias, 2 de Novembro 2013, Criado com GeoGebra