Teorema de Feuerbach (nota sobre a circunferência de 9 pontos)

A circunferência de nove pontos (ou de Feuerbach) foi referida neste "lugar geométrico" muitas vezes. Antes da demonstração propriamente dita do chamado Teorema de Feuerbach (usando a inversão geométrica), estudamos a existência e unicidade (?) de tal circunferência para cada trângulo.

Circunferência de 9 pontos, Euler ou Feuerbach Para um triângulo qualquer, de vértices $A_i$ tomam-se os seguintes pontos: $M_i$,médios dos lados; $H_i$, pés das alturas; $E_i$, pontos médios dos segmentos das alturas entre o ortocentro e cada vértice. Prova-se que estes 9 pontos estão sobre uma circunferência de raio igual a metade do circunraio e centro no ponto médio entre circuncentro e ortocentro. A.Martins, 10 outubro 2013, Criado com GeoGebra

Demonstração.:

1. • Porque o triângulo $ A_2 H_3 S_3 $ é retângulo em $H_3$ e $A_2 H_1 A_1$ é retângulo em $H_1$, são iguais os ângulos $\angle A_2 A_3 S_3$ e $\angle A_2 A_1 S_1$ por serem complementares de $A_1A_2A_3$. E, por estarem inscritos no mesmo arco $A_2 S_1$, são iguais os ângulos $\angle A_1 A_2 S_1$ e $\angle A_2 A_3 S_1$ : $$\angle A_2 A_3 S_3 =\angle A_2 A_1 S_1= \angle A_2 A_3 S_1$$
   • Assim, são congruentes os triângulos retângulos em $H_1$ $H H_1 A_3$ e $S_1 H_1 A_3$ e, em consequência, $H_1$ é o ponto médio de $H S_1$
   • Do mesmo modo, se pode concluir que $H_2$ é o ponto médio de $H S_2$ e $H_3$ é o ponto médio de $H S_3$
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2. • Consideremos agora o circundiâmetro $A_1 T_1$: $T_1 A_3 \parallel A_2 H $ porque são ambas perpendiculares a $A_1 A_3$ e $A_3 H \parallel T_1 A_2$ porque são ambas perpendiculares a $A_1 A_2$.
   • Por isso, $H A_2 T_1 A_3$ é um paralelogramo cujas diagonais $HT_1$ e $A_2 A_3$ se bissetam. E o ponto $M_1$, médio de $A_ 2 A_3$, é também o ponto médio de $H T_1$
   • Do mesmo modo, se concluiria que $M_2$, médio de $A_ 1 A_3$, é também o ponto médio de $H T_2$ e que $M_3$, médio de $A_ 1 A_2$, é também o ponto médio de $H T_1$
3. • A homotetia de centro $H$ e razão $1 \over 2$ transforma a circunferência azul na circunferência vermelha, já que a cada um dos 3 pontos $S_i$ corresponde um dos pontos $H_i$ (por 1.) e também a cada um dos pontos $T_i$ corresponde um dos pontos $M_i$ (por 2.)
   • Cada vértice $A_i$ do triãngulo e da circunferência azul circunscrita, pela mesma homotetia, tem correspondente $E_i$ incidente na circunferência vermelha e em $H A_i$. Porque a razão da homotetia é $1 \over 2$, cada $E_i$ é ponto médio de $H A_i$
   • Para concluir: pela mesma homotetia, o centro $O$ é transformado num ponto $N$ (centro da homotética vermelha) incidente em $HO$ e seu ponto médio.

Ficou assim provado que para um triângulo qualquer, há uma circunferência que passa pelos 3 pontos médios dos lados, pelos 3 pés das alturas, e pelos 3 pontos médios dos segmentos das alturas entre o ortocentro e os respetivos vértices.
Esta circunferência é nomeada por circunferência dos 9 pontos (pelos anglófonos :-), de Euler (pelos francófonos :-) ou de Feuerbach (pelos germanófonos :-)

Determinar o lugar geométrico do segundo ponto de interseção das circunferências tangentes a duas, tangentes entre si, e que passam por um ponto do eixo radical destas duas circunferências dadas.

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Levando em conta as duas últimas entradas, vamos determinar o lugar geométrico do segundo ponto de interseção das circunferências tangentes a duas, tangentes entre si, e que passam por um ponto do eixo radical destas duas circunferências dadas.
Na nossa construção, partimos de duas circunferências $(O)$ e $(P)$ tangentes em $T$. Tomamos o eixo radical (a negro) das duas circunferências que, neste caso, é a perpendicular a $OP$ tirada por $T$ que é a única reta tangente às duas circunferências no ponto $T$. E sobre o eixo radical, tomamos um ponto $M$ qualquer. E determinamos, como feito na entrada de 7 de Outubro as circunferências que passam por $M$ e são tangentes às circunferências $(O)$ e $(P)$ dadas.
Como se vê na figura abaixo, essas duas circunferências, determinadas com recurso à inversão $I(T, TM^2)$, em comum têm dois pontos, para além de $M$, $M'$, variando este quando $M$ se desloca sobre o eixo radical.
Vamos determinar o lugar geométrico dos pontos $M'$ quando $M$ percorre o eixo radical.



As duas circunferências que passam por $M$ e são tangentes às circunferências $(O)$ e $(P)$: uma delas (verde) é tangente a $(O)$ em $A$ e tangente a $P$ em $A'$; a outra (azul topázio) é tangente a $(O)$ em $B$ e a $(P)$ em $B'$. Referindo-nos aos resultados da entrada de 7 de Outubro p.p. sobre Inversão e Homotetia, sabemos que $AA'$ e $BB'$ passam pelo centro comum de homotetias várias definidas por pares de circunferências homotéticas tangentes duas a duas: uma (direta) que transforma $(O)$ em $(P)$ e outras, as que transformam $(P)$ na circunferência verde (tangente), ou $(O)$ na circunferência azul topázio (tangente)...
Como vimos então $A$ e $A'$ são tais que $$HA \times HA'= HT^2$$ Pela mesma razão, sendo $M'$ o segundo ponto de interseção de $HM$ com a circunferência verde (ou com a azul topázio), $M$ e $M'$ são tais que $$HM \times HM' = HT^2$$ Assim, uma circunferência que passe por $M$ e $M'$ e seja tangente a uma das $(O)$ ou $(P)$ é tangente à outra. $M'$ é o segundo ponto de interseção das circunferências que passam por $M$ e são tangentes a $(O)$ e a $(P)$.
E de $$HM \times HM' = HT^2$$ também se retira que, pela inversão $I(H, HT^2)$, aos pontos $M$ do eixo radical correspondem os pontos $M'$, ou seja, os pontos $M'$ encontram-se sobre a circunferência inversa do eixo radical das circunferências $(O)$ e $(P)$, que tem como diâmetro $TH$. $\hspace{1cm} \square$

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Th. Caronnet, Éxercices de Géométrie, Vuibert. Paris:1947
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992