Determinar a envolvente de uma família de circuncírculos com recurso à inversão

Nesta entrada, mostramos como a utilização da inversão nos permite determinar um lugar geométrico. A ilustração é muito dinâmica e podia ter-se ficado pela observação dos traçados ou pela apresentação do lugar geométrico que o Cinderella (ou outro programa de geometria dinâmica nos fornece). Mas o recurso à inversão é inestimável para compreender melhor e para desvendar procedimentos de construção e demonstração.
Enunciemos:

Os lados azuis de um ângulo dado de vértice $O$ fixo, em torno do qual rodam, são cortados por uma reta azul em $A$ e $B$. Para cada posição dp ângulo $AÔB$, há um triângulo e a respetiva circunferência circunscrita definida por $A,O, B$. Qual será a envolvente da infinidade das circunferências $OAB$ obtidas quando o ângulo roda em torno do seu vértice $O$?

Na nossa construção, partimos de um ângulo de amplitude fixa, vértice $O$ e lados azuis que cortam a reta $r$ (outro azul) em $A$ e $B$.

em vez da construção *.cdy uma ilustração estática espera ser substituída por uma nova construção interactiva talvez*.ggb
Acompanhe a explicação dos passos dados com a figura original não animada. Claro que pode mover a reta $r$, rodar o ângulo (há um ponto verde para isso). E pode animar a figura usando os botões de animação ao fundo à esquerda.


Para cada reta $r$ e cada posição do ângulo de duas retas (amplitude $\alpha$ ou $\pi-\alpha$) há um triângulo único $OAB$ e logo uma única circunferência circunscrita desenhada a cinza na figura. Quando o ângulo roda em torno de $O$, $A$ e $B$ percorrem a reta $r$ e criando desse modo uma infinidade de circunferências circunscritas. Sera que podemos determinar a envolvente dessa infinidade de circuncírculos?

1. A inversão relativamente a uma circunferência de centro $O$ e raio $OH$, $I(O, OH^2)$, é a ajuda que precisamos para passarmos do circuncírculo $OAB$ para uma reta a passar pelos pontos de interseção do círculo de inversão a vermelho como o circuncírculo. O circuncírculo passa pelo centro de inversão (e a sua imagem é uma reta), passa por $A$ e $B$ (e a sua inversa passa por $A'$ e $B'$.
2. A inversa da reta $r=AB$ que passa por $H$, ponto da circunferência de inversão, é uma circunferência que passa pelo centro $O$ de inversão, por $H=H'$, por $A'$ e por $B'$. O seu centro é o ponto médio de $OH$ Lembremos que, para cada reta $r$, $OH$ é independente da rotação do ângulo em torno de $O$, como o é a circunferência de centro $O$ e raio $OH$.
3. As cordas $A'B'$ da circunferência de centro $O$ e raio $OH$ são iguais por corresponderem a ângulos ao centro e arcos iguais correspondentes ao nosso ângulo $O$ inscrito na circunferência inversa de $r$. Os pontos médios destas cordas na circunferência de diâmetro $AH$ são pontos de uma circunferência concêntrica, desenhada na figura, que é a envolvente destas cordas $A'B'$.
4. Esta circunferência que tem centro no ponto médio de $OH$ e toca a corda a $A'B'$ é a envolvente da inversa do circuncírculo. Assim, a correspondente desta, pela mesma inversão $I(O, OH^2)$, tocará o circuncírculo nos correspondentes aos pontos médios das cordas $A'B'$. E sabemos que a inversa de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão é uma circunferência. Está provado que a envolvente dos circuncírculos é uma circunferência. Que circunferência? Quanto mede o seu raio? Onde está o seu centro?
5. Claro que o centro da envolvente dos circuncírculos estará sobre a reta $OH$. Para o resto, bastará considerar uma tangente à circunferência envolvente de $A'B'$, tirada por $O$, centro de inversão. Chamemos $T$ ao ponto de tangência. Pela inversão $I(O, OH^2)$, a $T$ corresponderá um ponto $T'$ de tangência da circunferência envolvente dos circuncírculos. E $OT \times OT' = OH^2$.
6. $OT$ corta a circunferência inversa de $r$ numa posição de $A'$, que designamos por $P'$, correspondente a uma posição $A$ sobre a reta $r$, que designamos por $P$. Sabemos, por isso, que $OP'= 2.OT$. $$OH^2=OP\times OP' = OP \times 2.OT = OT\times OT'$$ de onde se conclui que $$OT'=2\times OP$$. Podemos assim determinar sobre a reta que passa por $O, T, P´, P$ o ponto $T'$ de tangência da tangente tirada por $O$ à inversa da envolvente de $A'B'$. O centro desta circunferência, envolvente dos circuncírculos, está na interseção da reta $OH$ com a perpendicular a $OT$ tirada por $T'$.
   Ficou assim determinada a envolvente aos circuncírculos $OAB$. $\hspace{1cm} \square$

Para confirmar este resultado, clique no botão da animação em baixo à esquerda.

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Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie Vuibert. Paris:1946
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

A inversão na demonstração de um segundo Teorema de Ptolomeu

Na entrada anterior, demonstrámos com recurso à inversão, o teorema de Ptolomeu que relaciona o produto das diagonais de uma quadrilátero convexo com a soma dos produtos de lados opostos.
Nesta entrada apresentamos uma ilustração e demonstração (recorrendo à inversão) de um segundo Teorema de Ptolomeu que relaciona o quociente das diogonais de um qaudrilátero convexo inscritível com um quociente entre somas de produtos de lados adjacentes.
O enunciado é:
Se um quadrilátero convexo $ABCD$ está inscrito numa circunferência, então $$\frac{AC}{BD} = \frac{AB\times AD + CB\times CD}{BA\times BC+DA \times DC}$$

Na nossa construção, partimos de uma circunferência (a azul) e o quadrilátero convexo $ABCD$ (a negro) nela inscrito.
Pode deslocar os centros das circunferências e os pontos $A, B, C$ e $D$ sobre a circunferência azul.


Queremos demonstrar que, para o quadrilátero convexo $ABCD$ inscrito, se verifica que $$\frac{AC}{BD} = \frac{AB\times AD + CB\times CD}{BA\times BC+DA \times DC}$$

1. Para isso tomamos uma circunferência de inversão com centro num dos vértices do quadrilátero. No caso da nossa construção, tomamos $D$ para centro da inversão e uma circunferência (a vermelho) de raio unitário, por conveniência de escrita ( $r=r^2 = 1$) sem perder generalidade.
   A inversão de centro $D$ e raio $1$ é designada por $I(D,1)$. Por esta inversão, o correspondente de $B$ é um ponto $B'$ tal que $BD\times B'D =1$. Do mesmo modo, $CD \times C'D=1$ e $AD \times A'D=1$. Também sabemos que $$C'B'=\frac{CB}{DB\times DC} \hspace{1cm} B'A'=\frac{BA}{DB\times DA} \hspace{1cm} C'A'=\frac{CA}{DC\times DA}$$ Por $I(D,1)$, a circunferência azul que contém o centro da inversão tem como correspondente uma reta (a azul na figura), sobre a qual estão $A', B', C'$. $$B'C' + B'A' = A'C'$$ Temos um feixe de retas $DC, DB, DA$ cortado por uma reta nos pontos $C', B', A'$
   
2. Antes de continuar, precisamos de relembrar um resultado já ilustrado repetidamente (mas, em muitos computadores, já não visíveis por problemas relacionados com atualizações de "java" que depreciaram "applets") e que aqui retomamos como resultados apicáveis ao feixe das retas da figura e, particularmente, considerando o feixe $\{DA, DB, DC\}$ e a sua secção $\{A', B', C'\}$
3. Na figura temos os triângulos $\Delta DC'B'$, $\Delta DB'A'$ e $\Delta DC'A$.
   Vamos trabalhar com segmentos orientados (vetores). Quando escrevemos $\overrightarrow{AB}$ estamos a referir-nos ao segmento orientado (representando algum vetor) de $A$ para $B$, considerando que $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BA}$ são opostos para adição de vetores ($\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BA}$). Quando escrevemos $\overline{AB}$ ou $AB$ queremos representar o módulo $|\overrightarrow{AB}|$
   Nas expressões, a seguir, entram a adição e multiplicação de vetores de definição e propriedades conhecidas. Muitas vezes pode abusar-se da linguagem e o contexto ditará se $AB$ é o segmento orientado de $A$ para $B$, o comprimento do vetor, a reta ou o segmento de reta, esperando sempre que não haja lugar a confusões. Nos cálculos que se seguem procuraremos não abusar. Lembramos que todos eles remetem para a figura acima, embora sejam gerais os resultados. $$\overrightarrow{DC'}=\overrightarrow{DB'}+\overrightarrow{B'C'} \Longleftrightarrow \overrightarrow{DC'}.\overrightarrow{DC'}=(\overrightarrow{DB'}+\overrightarrow{B'C'}).(\overrightarrow{DB'}+\overrightarrow{B'C'}) \Longleftrightarrow $$ $$\Longleftrightarrow \overline{DB'}^2=\overline{DB'}^2+\overline{B'C'}^2+ 2.\overrightarrow{DB'}.\overrightarrow{B'C'}$$ Designando por $H$ a projeção ortogonal de $D$ sobre $C'B'$ $$DC'^2= DB'^2+B'C'^2 + 2\overrightarrow{HB'}.\overrightarrow{B'C'}$$ e, do mesmo modo, $$DA'^2=DB'^2+B'A'^2+2.\overrightarrow{HB'}.\overrightarrow{B'A'}$$ Multiplicando por $\overrightarrow{B'A'}$ a primeira relação $$DC'^2.\overrightarrow{B'A'}= DB'^2.\overrightarrow{B'A'}+B'C'^2.\overrightarrow{B'A'} + 2\overrightarrow{HB'}.\overrightarrow{B'C'}.\overrightarrow{B'A'}$$ e por $\overrightarrow{B'C'}$ a segunda $$DA'^2.\overrightarrow{B'C'}=DB'^2.\overrightarrow{B'C'}+B'A'^2.\overrightarrow{B'C'}+2.\overrightarrow{HB'}.\overrightarrow{B'C'}.\overrightarrow{B'C'}$$ e subtraindo, membro a membro, estas duas últimas, obtemos: $$DC'^2.\overrightarrow{B'A'}-DA'^2.\overrightarrow{B'C'}= DB'^2.\overrightarrow{B'A'}+B'C'^2.\overrightarrow{B'A'} + 2\overrightarrow{HB'}.\overrightarrow{B'C'}.\overrightarrow{B'A'} - DB'^2.\overrightarrow{B'C'}-B'A'^2.\overrightarrow{B'C'}-2.\overrightarrow{HB'}.\overrightarrow{B'C'}.\overrightarrow{B'C'}$$ que simplificada é $$ DC'^2.\overrightarrow{B'A'}-DA'^2.\overrightarrow{B'C'} = DB'^2.(\overrightarrow{B'A'}-\overrightarrow{B'C'})+ B'C'^2.\overrightarrow{B'A'}-B'C'^2.\overrightarrow{B'A'}$$ ou $$ DC'^2.\overrightarrow{B'A'}-DA'^2.\overrightarrow{B'C'} =DB'^2.\overrightarrow{A'C'} +\overrightarrow{B'C'}.\overrightarrow{B'A'}.(\overrightarrow{B'C'}-\overrightarrow{B'A'})$$ que é o mesmo que $$ DC'^2.\overrightarrow{B'A'} +DB'^2.\overrightarrow{A'C'} + DA'^2. \overrightarrow{C'B'}+ \overrightarrow{B'A'}.\overrightarrow{A'C'}.\overrightarrow{B'C'} =0$$ (resultado conhecido por Teorema de Stewart)
4. Bastará, para finalizar, substituir na igualdade de Stewart os segmentos inversos pelos seus valores em função dos originais. Assim: $$\frac{\overline{BA}}{\overline{DA}.\overline{DB}.DC^2}+\frac{\overline{AC}}{\overline{DA}.DB^2.\overline{DC}} + \frac{\overline{CB}}{DA^2.\overline{DB}. \overline{DC}}+ \frac{\overline{BA}.\overline{AC}.\overline{CB}}{DA^2.DB^2 DC^2}=0$$ Reduzindo as frações a um denominador comum ($DA^2.DB^2.DC^2$), vê-se que a igualdade anterior é equivalente a $$\overline{DA}.\overline{DB}.\overline{BA} + \overline{DA}.\overline{DC}.\overline{AC}+\overline{DB}.\overline{DC}.\overline{CB}+\overline{BA}.\overline{AC}.\overline{CB}=0$$ $$\overline{AC}.\left(\overline{DA}.\overline{DC} + \overline{BA}.\overline{CB}\right) - \overline{BD}. \left(\overline{DA}.\overline{BA}+\overline{DC}.\overline{CB}\right)=0$$ e, finalmente, $$\overline{AC}.\left(\overline{DA}.\overline{DC} + \overline{BA}.\overline{CB}\right) = \overline{BD}. \left(\overline{DA}.\overline{BA}+\overline{DC}.\overline{CB}\right)$$ $$\frac{AC}{BD}=\frac{DA.BA+CB.CD}{DA.DC + BA.BC} \hspace{1cm} \square$$

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Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992