Plano inversivo. A inversão é uma involução do plano inversivo:-)

---

---

De um modo geral, a uma correspondência entre os conjuntos $\cal{A}$ e $\cal{B}$, para a qual distintos elementos de $\cal{A}$ têm como correspondentes distintos elementos de $\cal{B}$, chamamos transformação (ou correspondência um para um) de $\cal{A}$ em $\cal{B}$.
Podemos convencionar que a inversão $I(O,k)$ é uma transformação do conjunto dos pontos do plano, excepto o ponto $O$, em si mesmo. E isso foi e é suficiente para grande parte do nosso estudo.
Mas, de facto, o mais geral é incluirmos $O$ no domínio da inversão e para que seja uma transformação que faz corresponder a cada ponto do plano um e só um ponto, convencionamos acrescentar ao plano um ponto no infinito (ponto ideal), $Z$, que seja inverso de $O$ e tenha como inverso o ponto $O$. Por este ponto ideal (no infinito), passarão todas as retas do plano (como se a reta no infinito, que passa por todos os pontos no infinito das retas do plano, se reduzisse ou concentrasse num só ponto ideal).
Se tomarmos para unidade o raio da circunferência de inversão, com centro em $O$ dado, para a inversão $\;I(O,1)\;$
$\forall P\neq O, \;\;\; P\longmapsto P' : \hspace{1cm} \overline{OP} \times \overline{OP'} =1 \hspace{1cm} \overline{OP'}=\frac{1}{\overline{OP}} \hspace{1cm} \overline{OP} =\frac{1}{\overline{OP'}}$
$P'$ é o inverso de $P$ quando $\overline{OP'}$ é literalmente o inverso de $\overline{OP}$.
$ O\longmapsto Z : \hspace{1cm} \overline{OO} \times \overline{OZ} =1 \hspace{1cm} \overline{OZ} =\frac{1}{\overline{OO}} \;\; \left(\infty = \frac{1}{0} \right) \hspace{1cm} \overline{OO}=\frac{1}{\overline{OZ}} \; \; \left(0 =\frac{1}{\infty} \right)$
A este convencional e conveniente conjunto dos pontos do plano acrescentados do ponto ideal $Z$, chamamos plano inversivo

Uma transformação $\;\cal{T}\;$ é uma involução, quando e só quando $\;\cal{T} \circ \cal{T} =\cal{I}\;$, sendo $\;\cal{I}(x) =x, \forall x$.
Dito de outro modo, $\cal{T}$ é involução sse $\;\cal{T}(x) = \cal{T}^{-1}(x), \forall x$.
E é óbvio que $\;I(O,k)\;$ é uma involução do plano inversivo em si mesmo, que faz corresponder ao interior do círculo de inversão o seu exterior e deixando invariante cada ponto da circunferência de inversão.

---

Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

Notas: noção e notação de inversão e determinação do inverso com recurso ao teorema de Thales

---

Temos vindo a utilizar a inversão em várias ocasiões. Muitas vezes para resolver problemas em que a passagem de circunferências para retas ou viceversa ajuda a encontrar as soluções.De passagem, já nos referimos várias vezes à definição e a propriedades da inversão e a métodos geométricos de encontrar o inverso de ponto, reta ou círcunferência, caso a caso, e, em várias ilustrações, já recorremos ao modo de transformação (ou macros) do Cinderella ou do Geogebra. Não nos preocupámos com o domínio da inversão como transformação, embora tenhamos tido alguns cuidados e referido restrições, em especial, para as construções só com compasso (ou só com circunferências).
Voltemos à definição.
Se $P$ não é o centro $O$ de uma dada circunferência de raio $r$, o inverso de $P$ em, ou relativamente a essa circunferência, é um ponto $P'$ da reta $OP$ tal que $$\overline{OP}\times \overline{OP'}=r^2\; .$$ À circunferência de centro $O$ e raio $r$ chama-se circunferência de inversão, ao ponto $O$ chama-se centro de inversão, a $r$ chama-se raio de inversão e a $r^2$ chama-se potência de inversão. Para a inversão de centro $O$ e potência $k>0$ usamos a notação $I(O,k)$.
Desta definição de $I(O,r)$, decorre que a cada ponto $P$ do plano, distinto de $O$, corresponde um único inverso $P'$ e que, se $P'$ é o inverso de $P$ também $P$ é o inverso de $P'$. Como não há correspondente do centro $O$ de inversão, $I(O,r)$ não é uma transformação do conjunto de todos os pontos do plano em si mesmo.
Também é verdade que fica estabelecida uma correspondência, um a um, entre os pontos do interior da circunferência (distintos de $O$) e os pontos do exterior da circunferência de inversão; que cada ponto da circunferência de inversão é inverso de si mesmo e que o conjunto dos pontos (distintos de $O$) de uma reta que passe por $O$ é imagem de si mesmo (no seu todo e não ponto a ponto, só os pontos da circunferência são inversos de si mesmos).
A construção que se segue, da inversão $I(O,9)$, pretende ilustrar isso mesmo. Pode deslocar $P$, assumindo qualquer posição do plano para acompanhar o que acontece nas diferentes posições.

Nesta construção, determinamos os inversos dos pontos $P$ por $I(O,9)$, com recurso ao teorema de Thales (ou a triângulos semelhantes)

1. Começámos por tomar a reta $OP$ que interseta a circunferência em $A$ — $\overline{OA}=3$
2. Tiramos pelo ponto $O$ uma outra reta qualquer, distinta de $OP$, e chamámos $B$ ao seu ponto sobre a circunferência de inversão — $\overline{OB}=3$
3. Traçada a reta $PB$, por $A$ tirámos uma paralela a $PB$ e chamámos $C$ à interseção desta com $OB$. Resulta, da semelhança dos triângulos $[OPB]$ e $[OAC]$, $$\frac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\frac{\overline{OA}}{\overline{OC}} \;\;\; \mbox{ou}\; \;\; \overline{OP}\times \overline{OC} = \overline{OA} \times \overline{OB}=9$$.
4. $P'$ será o ponto de $OP$ tal que $\overline{OP'}=\overline{OC}$

---

Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992