Usando a inversão para determinar a circunferência que passa por um ponto e é tangente a duas circunferências dadas

Apresentámos exemplos de problemas que se resolvem com recurso à inversão. A construção desta entrada ilustra a
determinação da(s) circunferência(s) tangente(s) a duas circunferências dadas e passa(m) por um ponto dado.
Como se pode ver, pelo caso apresentado, recorrer à inversão torna tudo mais fácil. Se eu quero uma circunferência tangente a outras duas, bastar-me-á passar às imagens por alguma inversão dessas circunferências e qualquer das retas tangentes comuns às duas circunferências imagens será correspondente, pela mesma inversão, a uma circunferência tangente às duas circunferências dadas.Se quero que essa circunferência passe por um dado ponto P, basta-me tomar a circunferência de inversão centrada em P.

1. São dados P e circunferências de centros A e B.
2. Começo por tomar uma circunferência auxiliar centrada em P e, por comodidade, a cortar as duas circunferências originalmente dadas. Se assim fizermos, as imagens por inversão dessas circunferências serão circunferências definidas, para cada uma, por dois pontos de intersecção com a circunferência auxiliar e pelo centro A ou pelo centro B.
3. Definidas essas circunferências (imagens), basta-nos tirar alguma tangente comum às duas. Lembramos que há 4 tangentes comuns às duas (duas interiores e duas exteriores). No caso da nossa construção, determinámos as duas tangentes exteriores.
4. Pela inversão, que definimos inicialmente, a cada reta tangente às imagens das circunferências originalmente dadss corresponde uma circunferência a elas tangentes e a passar por P

Determinar a circunferência que passa por dois pontos e corta uma reta segundo um ângulo dado.

Há um grande número de construções geométricas, de régua e compasso, que são feitas recorrendo à transformação de inversão relativamente a uma circunferência. Vamos apresentar um problema em que se usa a inversão:

Determinar a circunferência que passa por dois pontos — $A$ e $B$ — dados, e corta uma reta — $r$ — dada, segundo um ângulo — $\alpha$ — dado.

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Para ajudar:

Diz-se que uma reta corta uma circunferência segundo um dado ângulo quando a corda determinada pela reta e a tangente em cada um dos seus extremos formam um ângulo igual ao dado. Vale a pena lembrar que a envolvente das retas que cortam uma circunferência segundo um dado ângulo é uma nova circunferência concêntrica da anterior. Isso mesmo está ilustrado na construção ao lado. Esse resultado é importante para resolver o problema proposto. Clique no botão > ao fundo à esquerda para ver a circunferência que é tangente a todas as retas que cortam a circunferência segundo o ângulo dado. Depois, quando quiser obter uma reta que corte a circunferência original obtida num ponto qualquer, basta tirar a tangente por esse ponto à envolvente.

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Sigamos agora as etapas de resolução do problema proposto, acompanhando-as na ilustração abaixo

1. Começamos com os dados iniciais — $\alpha$, $A$, $B$ e $r$ — para construirmos a circunferência que passa por $A$ e $B$ e é cortada por $r$ segundo o ângulo $\alpha$
Vamos criar as condições para determinarmos uma circunferência relacionada com $r$ (por inversão) e uma reta que a corte segundo o ângulo $\alpha$ (isso já sabemos fazer, não é?). Claro que, pela mesma inversão, esta última reta será transformada na circunferência que cortará a reta $r$ segundo $\alpha$.
Para isso, teremos de tomar uma circunferência auxiliar, em relação à qual se façam as inversões. No nosso caso, tomamos, para facilitar, a circunferência de centro em $A$ e que passa por $B$ e que, nas condições da nossa figura, corta a reta $r$ em $F$ e $G$
2. Em relação a esta circunferência auxiliar, a imagem de $r$ é uma circunferência que passa por $F=F'$, $G=G'$ e $A=\infty'_r$. Claro que pode tomar qualquer circunferência para auxiliar e calcular as imagens de quaisquer dois pontos de $r$ que com o centro da circunferência de inversão definem a imagem de $r$.
3. Para determinar uma reta que corta a imagem de $r$ segundo um ângulo $\alpha$,tomamos uma tangente num ponto qualquer da circunferência imagem de $r$, no caso usámos $A$, e marcámos o ângulo $alpha$ em $A$ e a partir dele a circunferência envolvente das retas que cortam a circunferência imagem de $r$ segundo o ângulo $\alpha$.
4. Tirámos, por $B$, a tangente à circunferência envolvente, que corta a circunferência imagem de $r$ segundo $\alpha$
5. Finalmente a imagem desta reta $BN$, pela inversão relativamente à circunferência auxiliar de centro $A$ é a circunferência que passa por $A$, $B$ e $N$ (Tomámos $N=N'$ da reta e da circunferência de inversão) que corta a reta $r$ segundo $\alpha$, como podemos verificar na etapa final da construção.