As construções geométricas com régua e compasso trabalham com dois tipos de figuras: as circunferências (compasso) e as retas (régua). Estas figuras fica determinadas por dois pontos — a reta — e por três pontos —a circunferência. Nas últimas entradas, vimos que, só com compasso, podemos determinar o centro de uma circunferência dada por três pontos e também vimos como determinar, só com compasso, os pontos de intersecção de quaisquer duas dessas figuras definidas unicamente pelos seus pontos. Para isso, usámos a inversão relativamente a uma ou várias circunferências.
Assim demonstrámos que
Todas as construções de régua e compasso podem ser feitas só com recurso a compasso (ou só com circunferências)
Este resultado é conhecido como teorema de Mohr-Mascheroni.
20.6.13
Exercícios interativos: Soluções (VII)
Na entrada do dia 5 de Junho, propomos que, com compasso e ponto a ponto, para quatro pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ dados, determine o ponto de interseção das retas $AB$ e $CD$.
Ilustramos a seguir as etapas da resolução desse problema:
Para determinarmos a intersecção da reta $(A,B)$ com a reta $(C,D)$ recorrendo exclusivamente à circunferência, precisamos transformar, por inversão, essas retas em circunferências.
Ilustramos a seguir as etapas da resolução desse problema:
- Para definir uma inversão, basta tomar, como auxiliares, um ponto $P$ e uma circunferência nele centrada.
- Por inversão, relativamente a $P$ e à circunferência nele centrada, determinamos
- $A'$ e $B'$
- a circunferência que passa por $A', B', P$ é o transformado de $AB$ pela inversão
- $C'$ e $D'$
- a circunferência que passa por $C', D', P$ é o transformado de $CD$ pela inversão
- as circunferências $(A',B',P)$ e $(C',D', P)$ intersetam-se em $P$ e em $I'$ sendo este a imagem, pela inversão definida, do ponto de intersecção $I$ de $(A,B)$ com $(C,D)$
- Determinar $I$ é feito usando a mesma inversão auxiliar, relativamente à qual determinamos o correspondente de $I'$
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