Sobre a ilustração que se segue, pode dizer-se que a cónica em que se inscreve o quadrângulo PQRS interseta a reta g num par de pontos TU da involução definida pela projetividade que permuta SR.g com SQ.g e também RP.g e PQ.g (Pode verificar isso considerando S variável sobre a cónica e P, Q, R, T e U posições de R).
Mas também podemos considerar a polaridade (PQR)(Sg) em que P, Q, R, S são respetivamente polos de QR, PR, PQ, g.
Esta polaridade (PQR)(Sg), em que S não incide em g, induz uma involução de pontos conjugados em g que não é autoconjugada, que é a involução determinada em g pelo quadrângulo PQRS permutando SR.g com SQ.g (e é a mesma involução de Desargues).
E podemos, assim, ler a ilustração que se segue do seguinte modo:
Se dois triângulos PQR e STU têm os seis vértices (distintos) sobre uma cónica, há uma polaridade para a qual esses dois triângulos são auto-polares.
De fato, para aquela polaridade, o triângulo PQR é auto-polar e do mesmo modo STU o é. Como a polar de S é g que passa por T e U, S é conjugado de T e a polar t de T passa por S; e, do mesmo modo, a polar u de U passa por S. As polares de T e U passam por S=t.u e, sendo T e U conjugados ou t passa por U e u passa por T ou S, T e U são colineares, já que quando as polares de vértices de um triângulo não coincidem com os lados opostos, encontram estes em três pontos colineares: g.t, g.u, u.t conforme o teorema de Chasles que enunciámos assim: se ABC e a'b'c' são triângulos distintos e polares um do outro, então são perspetivos. Pode verificar o que se passa na ilustração deslocando o S sobre a construção
Também poderiamos ter usado o teorema de Hesse assim enunciado: Se dois pares de vértices opostos de um quadrilátero completo são pares de pontos conjugados para uma dada polaridade, então o terceiro par de vértices opostos é também um par de pontos conjugados pela mesma polaridade
A construção desta entrada ilustra especialmente o recíproco do resultado que a abre. A saber:
Se dois triângulos, em que nenhum dos vértices de qualquer deles incide em qualquer dos lados do outro, são autopolares para uma dada polaridade, os seus seis vérices incidem sobre uma cónica e os seus seis lados são tangentes a outra
Faz lembrar a segunda construção da entrada Definição projetiva de cónicas, publicada em Setembro, para que, da viagem, na paisagem da chegada, se reconheça a paisagem da partida.
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
