Exercício interativo: projetividade entre feixes

Usando perspetividades para determinar projetividades entre pontuais: permutações

A construção seguinte parte de uma pontual ABC. Toma-se um ponto Q, exterior a ABC, e, por ele, o feixe QA,QB cortado por uma reta arbitrária por C que corta o feixe QA,QB em R e S. Ficamos com os feixes (AQ,AS,AC),(BR,BQ,BC). O ponto P de incidência comum a AS e BR define um novo feixe (PQ,PR,PS). O ponto D, colinear com ABC fica determinado univocamente por construção.
Esta construção é muito interessante para ver que compostas de diferentes perspetividades têm o mesmo efeito e serve ainda para resolver vários problemas de projetividades que definem permutações dos pontos das pontuais ABCD, ABC, etc



Por exemplo:

1. o feixe RA,RB,RC corta ABC e APS e a perspetividade de centro R leva de A para A, B para P e C para S
   e o feixe QA,QB,QC corta APS e ABC e a perspetividade de centro Q leva de A para A, P para D e S para B,
   tendo a sua composta o efeito de levar de ABC para ADB.
   Podemos escrever
   ABC →_R APS →_Q ADB
2. O mesmo efeito obteríamos se, tomássemos os feixes SA,SB,SC e respetivas secções ABC e AQR para a perspetividade de centro S e o feixe PA,PQ, PR e respetivas secções AQR e ADB
   ABC →_S AQR →_P ADB
   
3. Para obter a permutação BAC de ABC, podemos tomar uma perspetividade de centro P, seguida de uma perspetividade de centro Q, abreviadamente
   ABC →_P SRC →_Q BAC