Ponto de Exeter

Foi na Phillips Exeter Academy em 1986 que "nasceu" mais este ponto. Obtem-se do seguinte modo:
- dado o triângulo [ABC], traça-se o seu circuncírculo;
- desenha-se o triângulo [A'B'C'] formado pelas tangentes ao circuncírculo nos pontos A, B, C (triângulo tangencial);
- traçam-se as medianas de [ABC] e sejam A'', B'', C'' as intersecções das medianas com o circuncírculo;
- as rectas A'A'', B'B'', C'C'' intersectam-se no "ponto de Exeter", Ex.



[A.A.F]

Como se verifica na construção, o ponto Ex é o centro de perspectiva dos triângulos [A'B'C'] e [A''B''C''].

Ponto de Spieker

Construamos o triângulo [M_aM_bM_c] cujos vértices são os pontos médios do triângulo dado [ABC]. O ponto Sp de Spieker é o ponto de intersecção das três bissectrizes internas do triângulo [M_aM_bM_c].



[A.A.F.]


Tracemos as circunferências exinscritas no triângulo ABC; sejam E_a, E_b, E_c os seus centros.
Estes três pontos definem uma circunferência. Esta circunferência define, com cada uma das exinscritas, um eixo radical; vamos designá-los por e_a, e_b, e_c.
O triângulo formado pelas rectas e_a, e_b, e_c é homotético do triângulo medial de [ABC]; o centro de homotetia é o ponto de Spiecker.



[A.A.F.]