Numa involução com pontos duplos, M e N, verifica-se que:
|OA|.|OA’| = |OB|.|OB’| = … = |OM|2 = |ON|2 = k
Os elementos duplos de uma involução hiperbólica estão separados harmonicamente por cada par de elementos conjugados:
(MNAA’) = (MNBB’) = …. = -1.
Determinar pontos duplos, caso existam, equivale a determinar as circunferências do feixe que são tangentes à recta.
Suponhamos que a involução está definida por um par (A,A') de elementos conjugados e pelo centro O. Tracemos uma circunferência que contenha A e A'; tracemos uma recta que passe por O e intersecte a circunferência (em K e L). Temos de encontrar, caso seja possível, as circunferências que passam por K e L e são tangentes à recta r.
Onde está o outro ponto duplo?
[Na figura, A e A' estão em involução de centro O. A partir de O determinamos as tangentes OR e OS à circunferência do feixe que passa por A, A´, K e L. |OR|=|OS|=|OT|, em que T está sobre a recta OA. Assim, |OT|2= |OA|*|OA'|= |OK|*|OL| e T é um ponto de tangência da circunferência tangente a OA que passa por K e L. T é um dos pontos duplos da involução considerada.]
Caso existam pontos duplos, claro que serão os pontos de tangência com r das circunferências do feixe KL tangentes a r. É evidente que, nestas condições, existem duas circunferências ou nenhuma . Note-se que, no caso da nossa figura, os pontos K e L se situam ambos do mesmo lado em relação a r. Se K e L se situassem em lados opostos da recta não haveria qualquer ponto duplo - qualquer circunferência intersectaria a recta em dois pontos
