Inscrever um triângulo equilátero num rectângulo dado

O exercício interactivo proposto é: Determinar o triângulo equilátero AEF que tem os vértices E e F sobre os lados BC e CD do rectângulo ABCD.





(Obrigado a Paul Yiu pelo Forum Geometricorum e a René Grothmann pelo Zul - Zirkel und Lineal)

Recta de Simson como lugar geométrico. Parábola como envolvente.

Dadas duas rectas r e s que se intersetam em O, tomem-se quatro pontos: A e M sobre r; B e N sobre s de tal modo que A e B são fixos e AM/BN é constante. Quando M e N se deslocam, os círculos OAB e OMN mantêm um ponto fixo P comum (que não é O). Determinar o lugar geométrico das projeções  de P sobre MN e a envolvente das rectas MN.

com geometria dinâmica,...

Perpendiculares e pontos delas distanciados

Determinar o lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados das distâncias a duas retas perpendiculares é igual a a².

O quarto vértice de um paralelogramo

São dadas duas retas concorrentes X'OX e Y'OY; sobre a primeira, o pontos A e A', sobre a segunda os pontos B e B'. Os pontos A e B estão fixos; os pontos A' e B' percorrem estas retas, mantendo-se do mesmo lado da reta AB e de modo que a razão AA'/BB' se mantenha constantemente igual à razão dada m/n. Determinar o lugar do quarto vértice M do paralelogramo de que dois lados são AA' e A'B'.

Ponto médio de um segmento de extremos sobre concorrentes

São dadas duas retas concorrentes X'OX e Y'OY; sobre a primeira, os pontos A e A', sobre a segunda os pontos B e B'. Os pontos A e B estão fixos; os pontos A' e B' percorrem estas retas, mantendo-se do mesmo lado da reta AB e de modo que a razão AA'/BB' se mantenha constantemente igual à razão dada m/n. Determinar o lugar dos pontos médios dos segmentos A'B'.




Claro que se tomarmos os pontos A' e B' do outro lado de AB, os seus pontos médios estão sobre a outra semirecta.

Pontos proporcionalmente distanciados de duas rectas concorrentes

Determinar o lugar geométrico dos pontos P cuja razão das distâncias a duas retas secantes r e s é igual a p/q.




Há outras duas rectas,claro! Para as duas apresentadas, considerámos p e distância a r e q e distância a s.

Pontos distanciados proporcionalmente de um ponto e de uma circunferência

Determinar o lugar geométrico dos pontos que dividem numa razão dada p/q os segmentos que unem um ponto dado P aos pontos de uma circunferência dada.




Há ainda outras duas circunferências que tentamos colocar visíveis numa construção inteligível para o espaço disponível neste lugar.

Pontos que dividem segmentos paralelos entre secantes numa razão dada

Determinar o lugar dos pontos que dividem numa mesma razão dada p/q os segmentos paralelos a uma reta a dada e limitados por duas retas secantes r e s.




Pode variar p e q para ver como se mantêm iguais as razões.

Pontos distanciados proporcionalmente a duas rectas paralelas

Determinar o lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias a duas retas paralelas r e s é p/q

Ainda outros lugares geométricos

1. Determinar o lugar dos pontos cuja razão das distâncias a duas retas paralelas r e s é p/q.
2. Determinar o lugar dos pontos que dividem numa mesma razão dada p/q os segmentos paralelos a uma reta dada e limitados por duas retas secantes r e s.
3. Determinar o lugar dos pontos que dividem numa razão dada p/q os segmentos que unem um ponto dado P aos pontos de uma circunferência dada.
4. Determinar o lugar dos pontos cuja razão das distâncias a duas retas secantes é igual a m/n.
   
5. São dadas duas retas concorrentes X'OX e Y'OY; sobre a primeira, o pontos A e A', sobre a segunda os pontos B e B'. Os pontos A e B estão fixos; os pontos A' e B' percorrem estas retas, mantendo-se do mesmo lado da reta AB e de modo que a razão AA'/BB' se mantenha constantemente igual à razão dada m/n. Determinar o lugar dos pontos médios dos segmentos A'B'.
6. São dadas duas retas concorrentes X'OX e Y'OY; sobre a primeira, o pontos A e A', sobre a segunda os pontos B e B'. Os pontos A e B estão fixos; os pontos A' e B' percorrem estas retas, mantendo-se do mesmo lado da reta AB e de modo que a razão AA'/BB' se mantenha constantemente igual à razão dada m/n. Determinar o lugar do quarto vértice M do paralelogramo de que dois lados são AA' e A'B'.
7. Determinar o lugar dos pontos cuja soma dos quadrados das distâncias a duas retas perpendiculares é igual a a².

Tirar tangentes a uma circunferência por um ponto exterior

No 9º ano de escolaridade, estudam-se os lugares geométricos: retas e segmentos, circunferências e círculo; inscrição de segmentos, ângulos e polígonos em círculos. No fundo estudam-se as posições relativas de cada uma delas relativamente a cada uma das outras e as propriedades decorrentes. Um ponto P pode estar sobre a circunferência de raio r centrada em O (r=OP), ser exterior (rOP) a ela. ou Uma recta a pode ser exterior a uma circunferência de raio r e centro O (r< d(O,a)), tangente (r=d(O,a)) ou secante (r>d(O,a)). O caso da tangente é o mais estudado já que a consequência imediata de r=d(O,t) é a tangente (t em T) ser perpendicular ao raio OT o que sugere fortemente uma construção com régua e compasso. No 9º ano, insiste-se, e bem, na construção que recorre ao triângulo retângulo OTP (inscrito numa semicircunferência de diâmetro OP, para ser retângulo no vértice do triângulo que é ao mesmo tempo o ponto de tangência seguro). Na ilustração dinâmica que se segue, o primeiro método é esse. Mas não será descabido deixar pistas de outras construções que, para além de tudo o resto, podem ser estudadas (e validadas) usando raciocínios dedutivos. O segundo método usa uma circunferência auxiliar, concêntrica e de raio 2r (cO2r) e, em vez da circunferência de diâmetro OP, usa uma circunferência centrada em P e raio OP.

Ponto de uma recta para ver dois pontos segundo um mesmo ângulo

O problema que agora propomos como exercício interactivo foi sugerido pela entrada anterior.
Temos dois pontos A e B de um mesmo semi-plano determinado por uma recta RS. O problema será determinar o ponto P da recta NS tal que são iguais os ângulo APN e BPS.
Os passos da resolução deste exercício são os mesmos de antigas respostas a outros enunciados.

De onde ver dois círculos sob o mesmo ângulo

Qual é o lugar geométrico dos pontos de que se vêem dois círculos sob o mesmo ângulo?

Há dois pontos que definem o lugar geométrico: os centro das homotetias O e O' que transformam uma circunferência na outra. Repare-se que cada tangente tirada por O (ou O') à circunferência de centro A é também tangente à circunferência de centro B.

Retângulos inscritos num triângulo e interseção das diagonais

Consideremos todos os retângulos inscritos num triângulo dado ABC e tendo um lado sobre BC. Qual é o lugar de interseção das sua diagonais?

Paralelas, secantes por um ponto e lugar da interseção de diagonais

Considere-se duas retas paralelas r e s e um ponto P. Por P traça-se uma secante fixa que encontra r em A e s em B e uma secante de direção variável que encontra r em A' e s em B'. Qual é o lugar dos pontos de interseção das retas AB'e BA'?

Lugar da interseção das diagonais de um trapézio inscrito num triângulo

É dado um triângulo ABC. Traça-se uma paralela qualquer a BC e sejam B' e C' os seus pontos de interseção com os lados AB e AC. Qual é o lugar dos pontos P de interseção das retas BC' e CB'?

Triângulo: Pé da bissectriz de um ângulo com um lado fixo

O triângulo ABC tem os vértices A e B fixos, o vértice C descreve uma circunferência de raio dado e centro A. Qual é o lugar do pé da bissetriz do ângulo A?




O lugar geométrico do pé da bissectriz de A quando C percorre uma circunferência centrada em A e raio dado é uma circunferência. Como determina o seu centro?

Uma circunferência que roda e as tangentes com uma dada direção

Uma circunferência roda em torno de dos seus pontos. Em cada posição traçamos tangentes paralelas a uma reta fixa dada. Qual é o lugar dos pontos de tangência?



A circunferência c roda em torno de P (um dos seus pontos). Para cada posição de c' há duas tangentes (t₁ e t₂) a c' paralelas a r (reta dada) e dois pontos de tangência (T₁ e T₂), cada um deles descrevendo a sua circunferência. Onde estarão os centros destas circunferências?

Trapézio com elementos fixos, lugar geométrico da interseção das diagonais

Determinar o lugar dos pontos de interseção das diagonais de um trapézio em que um dos lados não paralelos é fixo e cujas bases têm comprimentos dados.



A animação da figura é feita de tal modo que se mantém rígido, na sua posição, o lado AD e se mantêm invariantes os comprimentos das bases bem como a sua direção. (Não sugere uma rotação no espaço em torno do lado AD?)
Nessa animação, o ponto de interseção das diagonais percorre uma circunferência. Isso significa que, para além do lado AD, há um ponto fixo (o centro da circunferência). Que ponto é esse e qual a sua posição relativamente aos elementos do trapézio?

Mais lugares geométricos básicos (Th. Caronnet)

1. Determinar o lugar dos pontos de intersecção das diagonais de um trapézio em que um dos lados não paralelos é fixo e cujas bases têm comprimentos dados.
2. Uma circunferência roda em torno de dos seus pontos. Em cada posição traçamos tangentes paralelas a uma reta fixa dada. Qual é o lugar dos pontos de tangência?
3. O triângulo ABC tem os vértices A e B fixos, o vértice C descreve uma circunferência de raio dado e centro A. Qual é o lugar do pé da bissetriz do ângulo A?
4. É dado um triângulo ABC. Traça-se uma paralela qualquer a BC e sejam B' e C' os seus pontos de interseção com os lados AB e AC. Qual é o lugar dos pontos M de interseção das retas BC' e CB'?
5. Considere-se duas retas paralelas r e s e um ponto P. Por P traça-se uma secante fixa que encontra r em A e s em B e uma secante de direção variável que encontra r em A' e s em B'. Qual é o lugar dos pontos de interseção das retas AB´e BA'?
6. Consideremos todos os retângulos inscritos num triângulo dado ABC e tendo um lado sobre BC. Qual é o lugar de interseção das sua diagonais?
7. Seja o trapézio ABCD em que A e B são fixos, os lados paralelos têm comprimentos dados, AD=a e BC=b. Determinar o lugar dos pontos de interseção das diagonais quando o trapézio roda em torno do lado AB.
8. Qual é o lugar dos pontos de que se vêm dois círculos sob o mesmo ângulo?

Lugar dos pontos de tangência em lado variável de ângulo de duas rectas

É dado um ângulo XÔY e um ponto A sobre OX. Seja c uma circunferência tangente a OX em A e a OY em B. Qual é o lugar dos pontos B quando OY roda com O fixo?

Ponto das tangentes a uma circunferência

Num ponto A de uma circunferência c traça-se a tangente à curva. Sobre a tangente tomam-se os pontos M e M' simétricos em relação a A. Qual é o lugar dos pontos M e M' quando A percorre a circunferência?

A circunferência reflectida numa das suas tangentes

São dadas uma circunferência c e a tangente t num ponto T da circunferência. Seja M' o simétrico de M em relação a t. Qual o lugar dos pontos M' quando M percorre a circunferência?

Euclides. Elementos, Livro VI - Proposição XXXIII C

A Mariana trouxe das leituras dos seus "Elementos de Euclides" a útlima proposição do Livro VI. Aqui fica uma construção dinâmica, acompanhada de resultados particulares para a figura (que pode fazer variar) e da demonstração copiada do papelinho que ela apresentou ao Lugar Geométrico.
António Aurélio interessou-se pelo tipo de problema e demonstração e logo apresentou outros resultados. O maquinista ainda disse que não era costume do blog, mas não parece ter comovido nenhum dos sentados no LUGAR. Sem poder vencê-los, junta-se a eles. Por isso, é bem possível que, na senda destes, outros resultados venham a ser publicados acompanhados de demonstrações. O futuro dirá.

Proposição:
Seja um qualquer triângulo, ABC, inscrito numa circunferência de raio r. Chamamos aos lados a=BC, b=AC e c=AB e h_a à altura relativa a a tirada de A. Nestas condições, prova-se que bc=2rh_a.

Circunferências tangentes a retas dadas

Determinar o lugar dos centros das circunferências de raio dado, tangentes a uma reta dada.




O lugar geométrico dos centros das circunferências tangente a uma recta r é uma recta paralela a r distanciada dela o raio dado.


Qual é o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes a duas retas dadas?




Os centros das circunferências tangentes a duas retas r e s são equidistantes de r e s e, por isso, o seu lugar geométrico é a bissetriz do ângulo das duas rectas. Se r e s forme paralelas, o lugar geométrico é uma recta paralela às duas.

O mesmo da última entrada, experimentando com Geogebra

Experimentámos, usando GeoGebra, determinar a recta que passa por A e corta uma circunferência em dois pontos C e D equidistantes do ponto B dado.
Movimentando D sobre a circunferência, pode encontrar a recta que interessa. Explique porque é essa. Faça a sua construção com as ferramentas disponíveis e verifique.

Retas, circunferências e cordas

Um exercício interactivo sobre enunciado da lista de outros lugares geométricos:

São dados os pontos A e B e a circunferência c. Traçar por A uma reta que intersete c nos pontos C e D equidistantes de B.

O quinto básico lugar geométrico

O quinto enunciado da lista de exercícios da lista lugares geométricos básicos é:
São dadas duas circunferências de centros O e O’ e raios r e r’. Traçamos dois raios r e r’ paralelos e com o mesmo sentido. Qual é o lugar geométrico dos pontos médios M dos segmentos AA’ quando A e A’ se deslocam sobre as circunferências?

Aqui fica uma resolução que pode confirmar, com uma resolução autónoma. O que aconteceria se os raios não tivessem o mesmo sentido? Onde estará o centro da circunferência que passa por M?

O sexto básico lugar geométrico da lista

Qual é o lugar geométricos dos pontos M médios das cordas de uma circunferência c que têm um comprimento dado s?

Fazendo pausa na animação e com as ferramentas disponíveis, pode determinar o lugar geométrico pedido e verificando que coincide com o da figura.

Centros da circunferência de raio dado a passar por um ponto

Vamos apresentar uma animação referente ao exercício 1 da lista de lugares geométricos básicos publicada em 11/10/2010.
Seja O o centro de uma circunferência que passa por A e tem raio r.
O conjunto dos pontos O à mesma distância de A é uma circunferência de centro O e raio r.
Reciprocamente, se O' é um ponto qualquer da circunferência de centro A e raio r, O'A = r e O' é centro de uma circunferência com o mesmo raio que passa por A.
O lugar pedido é a circunferência de centro A com o raio r.

Outros lugares geométricos básicos

1. São dados os pontos A e B e a circunferência c. Traçar por A uma reta que intersete c nos pontos C e D equidistantes de B.
2. Determinar o lugar dos centros das circunferências de raio dado, tangentes a uma reta dada.
   Qual o lugar das circunferências tangentes a duas retas dadas?
3. São dadas uma circunferência c e a tangente t num ponto A da circunferência. Seja M' o simétrico de M em relação a t. Qual o lugar dos pontos M' quando M percorre a circunferência?
4. Num ponto A de uma circunferência c traça-se a tangente à curva. Sobre a tangente tomam-se os pontos M e M' simétricos em relação a A. Qual o lugar dos pontos M e M' quando A percorre a circunferência?
5. É dado um ângulo XOY e um ponto A sobre OX. Seja c uma circunferência tangente a OX em A e a OY em B. Qual o lugar dos pontos B quando OY roda com O fixo?

Todos estes enunciados que têm sido e serão publicados são retirados de "Éxércices de Géométrie" de Th. Caronnet (Vuibert, Paris: 1947)

Lugares geométricos básicos - outra solução

O terceiro enunciado da lista de exercícios sobre lugares geométricos básicos é:
São dados uma circunferência c um segmento de reta AA’. Por cada ponto M da curva traça-se um segmento MM’ com o mesmo comprimento de AA’, paralelo e com o mesmo sentido. Qual é o lugar dos pontos M’?
Aqui fica resolvido.

Lugares geométricos parecidos

Na lista de exercícios sobre lugares geométricos básicos é apresentado o seguinte:

Qual é o lugar geométrico dos pontos G de intersecção das medianas de um triângulo cujo lado BC é fixo e cuja mediana AM_a tem um dado comprimento l?

que pode ser associado ao resultado apresentado antes, nas entradas intervalo para esclarecimentos sobre lugares geométricos e notas sobre lugares geométricos que tratavam, entre outros do lugar geométrico dos baricentros dos triângulos com um mesmo circuncírculo em que dois vértices são fixos e outro ocupa qualquer posição sobre o circuncírculo.

Tem algum interesse ver que conjecturas se fazem para o primeiro resultado e para este novo lugar geométrico.

Nesta entrada, tratamos da generalização.

Pode parar a animação e pode mudar o comprimento da mediana.

Circunferência, recta e mediatriz - soluções.

Quando publicámos o problema interativo que consistia em determinar dois pontos - um C sobre uma circunferência c e outro S sobre a reta s - de tal maneira que a reta r fosse a mediatriz do segmento CS, esperávamos que a solução fosse encontrada de uma única maneira usando as rectas. Assim:





Rapidamente chegámos à conclusão que havia solucionadores que partiam da circunferência. Determinavam em primeiro lugar o simétrico O' de O relativamente a r e com centro em O' a refletida c' da circunferência c. Para concluir que as interseções de s com c' e os seus simétricos em relação a r dão as soluções.




(seguindo o Acordo Ortográfico)

Lugares geométricos básicos

Perguntas simples para respostas simples:

1. Qual é o lugar geométrico dos centros das circunferências que passam por um ponto dado A e têm um raio dado r.
2. Qual é o lugar geométrico dos pontos G de intersecção das medianas de um triângulo cujo lado BC é fixo e cuja mediana AM_a tem um dado comprimento l?
3. São dados uma circunferência c um segmento de reta AA’. Por cada ponto M da curva traça-se um segmento MM’ com o mesmo comprimento de AA’, paralelo e com o mesmo sentido. Qual é o lugar dos pontos M’?
4. Qual é o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos definidos por um ponto A e os pontos de uma circunferência c.
5. São dadas duas circunferências de centros O e O’ e raios r e r’. Traçamos dois raios r e r’ paralelos e com o mesmo sentido. Qual é o lugar geométrico dos pontos médios M dos segmentos AA’ quando A e A’ se deslocam sobre as circunferências?
6. Qual é o lugar geométricos dos pontos médios das cordas de uma circunferência que têm um comprimento dado l?

Circunferência e recta; distância e direcção

Na construção dinâmica, considere a circunferência c e a recta s.
Determine os pontos M da circunferência c e N da recta s tais que a distância entre eles seja igual à dada (MN) e segundo a direcção de r.

A circunferência, a recta e a mediatriz

No 9º ano de escolaridade, são abordados os lugares geométricos. A recta e a circunferência são o ponto de partida para o que pode ser uma aventura de pensamento e descobertas, tão simples quanto difíceis. Os conceitos podem ser muito simples, mas os problemas podem ser resolvidos por abordagens que nem sempre aparecem de imediato. Por aqui não vamos descobrir coisa alguma, mas vamos propor problemas de construção elementares que alimentem o fascínio sobre lugares geométricos básicos.

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Na figura que se segue representam-se duas rectas r e s e uma circunferência.

Propomos a determinação, por construção, de pares de pontos (C, S) em que C esteja sobre a circunferência e S sobre a recta s sendo r a mediatriz do segmento CS.

O computador dirá quando o(s) tiver bem determinado(s).

Notas sobre lugares geométricos

A procura dos lugares geométricos (ver publicação de 24/09/2010) do ortocentro, baricentro e incentro de um triângulo inscrito numa circunferência dada, quando B e C permanecem fixos, e a sua justificação, levou-nos a outras perguntas:
Qual será o lugar geométrico dos pontos X₁, X₂ e X₃ resultantes das somas vectoriais OA+OB+OC=OX₁ , GA+GB+GC=GX₂ e IA+IB+IC=IX₃?




Foi interessante verificar que se X₁=H e X₂ =G e como tal os lugares geométricos são os já encontrados para o ortocentro e baricentro, nas condições referidas, já o lugar geométrico de X₃ é ... um lugar estranho - há alguém que queira dar uma ajuda - que curva é esta?

Nota sobre a mediana e a área do trapézio

A dedução de uma fórmula da área do trapézio é feita nas folhas de experimentação do ensino básico usando um triângulo equivalente ao trapézio. Também poderia ser feita a partir da soma de dois triângulos que compõem o trapézio como vimos. Mas outra forma será passando do trapézio para um rectângulo em que uma das dimensões é o segmento MN (segmento de extremos nos pontos médios dos lados não paralelos a que chamamos mediana e cujo comprimento é semi-soma dos comprimentos das bases do trapézio). A propriedade dos pontos médios dos lados não paralelos que também dividem a meio a altura do trapézio e da mediana do trapézio também merecem referência especial. Propomos uma construção dinâmica que ilustra bem a equivalência entre o trapézio ABCD e o rectângulo EFGH em que podemos apreciar a congruência e equivalência dos pares de triângulos (acrescentados/subtraídos) e relação das bases do trapézio com a mediana MN. Pode fazer variar a figura deslocando A, B C ou D ou o ponto auxiliar a azul (este para fazer variar a altura do trapézio). Os botões servem para ocultar ou mostrar cada uma das figuras (trapézio ABCD, rectângulo EFGH, triângulo a triângulo...)



Nenhuma destas abordagens pode ser considerada inibida ou excluída na leccionação e é razoável pensar que cada estudante pode decidir por qualquer delas para chegar à fórmula da área ou para calcular a área se não se lembrar da fórmula.

Nota sobre a área do trapézio

Nas folhas de trabalho do novo programa, para chegar a uma fórmula da área de um trapézio qualquer optou-se pela construção de um triângulo equivalente ao trapézio.
Como se pode ver na figura, tomando CE que passa pelo ponto M médio de AD, os triângulos AEM e CDM são congruentes (ALA) e logo equivalentes. E o triângulo BCE tem a mesma área do trapézio e a mesma altura (distância entre as bases paralelas) sendo a base BE deste triângulo a soma das bases do trapézio BE=BA+CD, já que CD=AE.



Convém, no entanto, ter presente que pode ser mais fácil para os estudantes compreender o resultado a partir da soma das áreas dos dois triângulos em que se decompõe o trapézio: ABC e CDA, em que o primeiro para a base AB (maior do trapézio) e o segundo para CD (base menor do trapézio) têm a mesma altura- distância entre as paralelas AB e CD.

Do pentágono ao decágono

Considere-se um pentágono inscrito [ABCDE] numa circunferência de que é dado o centro.
Determine os vértices e os lados de um decágono circunscrito do qual é apontado como alvo um vértice P.

Intervalo para esclarecimentos sobre lugares geométricos

Cassius Almada Ramos escreveu:
Meu nome é Cassius e sou estudante de matemática. Antes de mais nada, parabéns pelo BLOG
Poderia me tirar 1 duvida?
— Crie uma circunferência K e sobre ela, os pontos A, B e C. Considere B e C fixos.
Qual é o lugar geométrico do incentro do triângulo ABC quando o ponto A varia em K.
Quando o Ponto A anda sobre a circunferência, o incentro desenha a figura que está em vermelho. Que lugar geométrico é esse? (acompanhada de figura dinâmica em Cabri)
Tenho esses 2 problemas tb, que percebi que o rastro é de uma circunferência. Mas não consegui identificar qual o LG.
— Crie uma circunferência K e sobre ela, os pontos A, B e C. Considere B e C fixos. Qual é o lugar geométrico do ortocentro do triângulo ABC quando o ponto A varia em K.
— Crie uma circunferência K e sobre ela, os pontos A, B e C. Considere B e C fixos. Qual é o lugar geométrico do baricentro do triângulo ABC quando o ponto A varia em K.

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Estes problemas foram colocados no "Geometrias" em Agosto de 2009: entrada e ementa. A Mariana preparou construções e esclarecimentos sobre os lugares geométricos que ocupam o Cassius. Em Agosto de 2009, propunhamos a escolha de referenciais e o trabalho com equações sobre esses lugares geométricos. Aqui, Mariana Sacchetti trata tão só das suas construções (em GeoGebra) com elementos definidores dos lugares geométricos.




O lugar geométrico dos incentros dos triãngulos quando A se desloca sobre a circunferência em que B e se mantêm fixos é formado por arcos BC um para cada uma das duas circunferências com centros nos extremos do diâmetro ou intersecções da mediatriz de BC com o circuncirculo (que são também  pontos de intersecção da bissectriz de  com a mediatriz de BC)




Neste caso, trata-se de uma circunferência com centro no ponto da mediatriz de BC simétrico de O e que passa por B e C




E finalmente no caso do baricentro, trata-se de uma circunferência com centro no ponto da mediatriz de BC que dista de Ma (ponto médio de BC) 1/3 da sua distância a O. Esta circunferência passa pelos pontos que dividem BC em 3 partes iguais.

Hexágono circunscrito

Determinar os vértices B, C, D, E e  F e lados do hexágono regular de que se conhece um vértice A e a circunferência que circunscreve.

Polígono inscrito, polígono circunscrito

Num círculo dado, está inscrito um polígono. Determine o polígono circunscrito de lados paralelos ao inscrito (homotetia de razão positiva).

Trapézio inscrito

Determinar os vértices C e D e os lados AD, BC e CD do trapézio inscrito de que é dada a base AB e o comprimento da mediana.




O curioso é que assim como acontece para os trapézios circunscritos, qualquer trapézio inscrito é isósceles. Verifique que assim é.

Trapézio circunscrito (a partir de outros dados)

Determinar o trapézio ABCD, circunscrito à circunferência de centro O, de que se conhece o vértice A(zul)

Tapézio circunscrito (o mesmo problema, outro)

Outros dados, outro problema?
Trata-se de construir o trapézio ABCD, circunscrito à circunferência de centro O da figura, de que são dados os pontos de tangência E, do lado AB, e F do lado BC.

Trapézio circunscrito

O primeiro problema é da construção básica (9º ano) de um trapézio ABCD, circunscrito a uma circunferência, conhecidos que são os pontos de tangência de cada um dos seus lados E, F, G, H.
O segundo problema será demonstrar que tal trapézio ABCD é forçosamente isósceles.

Paralelogramo circunscrito

Com os resultados que temos vindo a utilizar, demonstre que um paralelogramo circunscrito numa circunferência é obrigatoriamente um losango.





Deixamos-lhe a construção dinâmica com ferramentas para que possa fazer as construções auxiliares que lhe permitam criar e acompanhar a demonstração.