Relações métricas no triângulo retângulo

Seja ABC um triângulo retângulo em A. Do ponto D, qualquer, da hipotenusa tira-se DE perpendicular
a AB e DF perpendicular a AC. Verifica-se que:

DB.DC=EA.EB+FA.FC

Relações métricas no triângulo retângulo

O triângulo ABC é retângulo em A.
Seja M o ponto médio de AB. Verifica-se que a diferença dos quadrados dos segmentos CP e PB é igual ao quadrado de AC.






Para demonstrar esta proposição, consideram-se os triângulos retângulos CPM, MPB, MAC.

Relações métricas no triângulo retângulo - a divisão da hipotenusa

Num triângulo retângulo, se um cateto é o dobro do outro, então o pé da altura relativa à hipotenusa divide-a em dois segmentos, sendo o maior quádruplo do menor.






Os triângulos ABC,ACD e ABD são semelhantes. Da semelhança entre estes últimos:AC/AB=CD/AD=AD/BD. Como AB=2.AC, AD=2.CD então BD=2.AD=4.CD

Relações métricas no triângulo - o ovo

Há problemas assim:
Do triângulo ABC, prolongue-se BC e tome-se F tal que BF=4.BC. Una-se F com o ponto médio D de AB, obtendo uma recta que divide por E o lado AC. E saiba que, e não só na Páscoa, que

4.AC=7.AE





A pergunta não é Qual é o interesse disso?", mas antes Porque será?
Bom domingo para pensar nisso.

Relações métricas no triângulo - lados e medianas

De um triângulo qualquer ABC, consideremos os seus lados a, b, c e as suas medianas m,n,p. Conjecturamos que
9(a⁴+b⁴+c⁴) = 16(m⁴+n⁴+p⁴) .
Demonstre.





Nas deambulações pelos velhos livros em busca de resultados métricos sobre triângulos (para exemplos de novos exercícios e problemas a propor) sempre vamos encontrando aqueles que nos deixam espantados e nos comprovam como era e é possível apresentar propostas hilariantes. Estas propostas são tanto mais hilariantes quanto é certo que muitas delas apareceram em provas de exame. Para o resultado apresentado era pedida a demonstração duma prova de exame dos cursos técnicos franceses aplicados a aspirantes a marinheiro. Há muitos exemplos semelhantes que podem ser retirados de antigos exames portugueses (de exames de admissão à universidade, ou finais dos cursos complementares liceal e técnico, dos exames do propedêutico ou dos exames do 12º ano). Não é preciso melhor exemplo para provar que à época havia poucas bolsas para o curso em causa. Nem para as outras coisas que sempre há quem finja não terem existido no tempo em que é que era bom.
(Problèmes d'examens. Bourse des Écoles de navigation de la Marine marchande
Cluzel, Robert. La Géométrie et ses applications. Enseignement Téchnique. Librairie Delagrave. Paris:1964. )

Relações métricas no triângulo - bissetriz

1. (19/4) No triângulo ABC, sejam A', B', C' os pés das perpendiculares tiradas de um ponto P qualquer respetivamente para os lados BC, AC, AB. Verifica-se que:

AB'² +BC'²+CA'² = AC'²+CB'² +BA'²






Para a demonstração, tomam-se os segmentos PA. PB e PC e os triângulos rectângulos PAB', PCB', PBA'. etc a que se aplicam o Teorema de Pitágoras., para obter, por exemplo AB'² = PA²-PB'²....

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2.(20/4)
Num triângulo ABC, tiram-se as perpendiculares BB' e CC' à bissetriz AD do ângulo Â. Os pontos A e D são separados harmonicamente pelos pontos B' e C'.



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Relações métricas no triângulo - alturas, ortocentro

De um triângulo qualquer ABC, as alturas encontram-se no ortocentro H, ficando cada uma delas dividida em dois segmentos, por exemplo, AH e HH_a. Verifica-se que

AH.HH_a=BH.HH_b =CH.HH_c

Relações métricas num triângulo equilátero

As alturas de um triângulo equilátero têm comprimentos iguais. Tomado um ponto P variável dentro de um triângulo equilátero ABC, as distâncias de P aos lados AB, BC e CA têm soma constante igual à altura de ABC.





O que aconteceria se o triângulo fosse simplesmente isósceles?

Relações métricas no triângulo isósceles

Num triângulo isósceles ABC em que AC=BC, as distâncias de um ponto P de AB aos lados AC e BC têm soma constante.






Porquê? Constante igual a quê?

Relações métricas nos triângulos

No triângulo ABC, sejam:

• a, b, c os comprimentos dos lados
• a', b', c' as distâncias do ortocentro H respetivamente a A, B, C
• R o raio do circuncírculo
.

Verifica-se que:

a²+a'² = b²+b'² = c²+c'² = 4 R²

Relações métricas no triângulo

Num triângulo ABC, tomemos um ponto P sobre o lado BC. Os raios das circunferências definidas por ABP e ACP são proporcionais respetivamente aos lados AB e AC.

Relações métricas no triângulo - lados e pés das alturas

Num triângulo qualquer ABC, tirem-se as alturas e considerem-se os seus pés nos lados opostos a cada um dos vértices, A' pé da altura tirada de A, B' de B e C' de C. Verificam-se as seguintes relações
AB.AC'=AC.AB'

AB'.BC'.CA' = AC'.CB'.BA'




Claro que estas relações não são mais do que representantes de cada uma das famílias de relações que se obtém de outra por permutação.

Relações métricas no triângulo isósceles inscrito.

O triângulo isósceles ABC está inscrito numa circunferência.Tome-se uma corda AE que intersecte o lado BC em D
AB² = AD.AE.



A demonstração deste facto baseia-se na semelhança entre ABD e ABE que têm um ângulo comum e dois outros iguais porque inscritos em arcos iguais.
Esta relação não é mais que um caso particular da relação da entrada anterior quando o triângulo ABC então considerado é um triângulo isósceles (quando B' coincide com C').

Relações métricas - triângulos inscritos com um lado paralelo

O triângulo ABC está inscrito numa circunferência. A corda B'C' é paralela ao lado BC. AC' interseta BC em D. Verifica-se a seguinte relação:
AB.AC = AB'.AD.



A demonstração deste facto baseia-se na semelhança entre ABB' e ADC.

Relações métricas - Recta e circunferência

Dada uma reta r e uma circunferência de centro O, sendo AC a perpendicular a r que corta a circunferência em B (AB é um diâmetro). Tomada qualquer reta AM que corta circunferência em M e a reta em M', verifica-se que AM.AM'=AB.AC invariante



A demonstração deste facto baseia-se na semelhança entre AMB e AM'C, retângulos em M e C e com o ângulo A comum.

Relações métricas - triângulo, bissetriz e circunscritas

Tomemos um triângulo ABC e a bissetriz interna do ângulo A. Seja D o pé da bissetriz no lado BC. Cada uma das circunferências circunscritas aos triângulos ABD e ACD intersectam os lados AB e AC nos pontos E e F. E o interessante é que se verifica BE = CF


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Borboleta, de novo

Na entrada A borboleta de 25 de Junho do ano passado, escrevia-se:

Tomem-se A,B,C e D sobre uma circunferência de centro O e de tal modo que AC intersecte BD num ponto P. A perpendicular a OP tirada por P intersecta BC e AD em M e N, respectivamente.
Porque é que |MP|=|NP|?

A Mariana reencontrou o problema durante a leitura de um livro de divulgação (Ruelle; O cérebro do matemático. Ciência Aberta. Gradiva), retomou a pergunta e procurou uma resposta diferente da indicada no livro. Aqui fica:

Relações métricas na circunferência - as secantes

Se por um ponto A, conduzirmos duas rectas a cortar uma circunferência, uma delas em B e C e a outra em D e E, verifica-se a igualdade
AB.AC=AD.AE
Pode deslocar A, para tomar diferentes pontos de partida (dentro, sobre e fora da circunferência) e B ou D para tomar diversas secantes a passar por A.


Claro que, para a demonstração, basta constatar a igualdade dos ângulos cada um a cada um dos triângulos ADC e ABE, como a figura bem mostra e saber que em triângulos semelhantes a razão entre lados opostos a ângulos iguais é constante.
Esta demonstração pode ser um bom exercício para os estudantes do 9º ano de escolaridade.

O resultado com A no exterior da circunferência já foi abordado em antigas entradas. Terá interesse específico abordar o recíproco: Se AB.AC=AD.AE , então B,C, D, E são pontos da mesma circunferência?

Outra forma de olhar para a reta como lugar geométrico

Os vértices P dos triângulos ABP, tais que AP²-BP² é constante, estão sobre uma reta. Dito de outro modo, é uma reta o lugar geométrico dos pontos P para os quais é contante a diferença dos quadrados das suas distâncias a dois pontos fixos A e B.




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Outra forma de olhar para a circunferência como lugar geométrico

Os vértices P dos triângulos ABP, tais que AP²+BP² é constante, estão sobre uma circunferência. Dito de outro modo, é uma circunferência o lugar geométrico dos pontos P para os quais é contante a soma dos quadrados das suas distância a dois pontos fixos A e B.




Com o ponto O pode controlar o valor da constante. Para cada constante, há uma circunferência.

Quadrados dos lados e ângulos

Com a construção interactiva que se segue, pode verificar que para haver triângulo e sempre que há triângulo se verifica que um qualquer dos lados do triângulos é menor que a soma dos outros dois. E que, num triângulo qualquer, ao lado de maior comprimento se opôe o ângulo de maior amplitude. E que se um ângulo, por exemplo  é reto se verifica que a² =b²+c² (Teorema de Pitágoras). Mas aqui está para que possa verificar o que tem a ver com a entrada anterior. Se  for obtuso (Â>90º), a² > b²+c² e se  for agudo (90º>Â), b²+c²>a². Os resultados recíprocos são obviamente verdadeiros.



Pode deslocar A,B ou C. Procure deslocar A de modo a que  seja agudo, obtuso e reto e veja as mudanças de texto. Muito difícil é acertar no  reto.

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Num triângulo agudo o quadrado desenhado sobre um dos lados tem sempre menor área que a soma das áreas dos dois desenhados sobre os outros lados.
Já no triãngulo obtusângulo, o quadrado desenhado sobre o lado oposto ao ângulo obtuso tem sempre área maior que a soma das áreas dos desenhados sobre os outros lados.
Quando o triãngulo for retângulo, ....

Relações métricas no triângulo - de entre alturas e lados à fórmula de Heron

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Relações métricas envolvendo triângulos inscritos num triângulo

Dado um triângulo ABC, qualquer triângulo DEF inscrito em ABC tem um perímetro maior ou igual ao perímetro do triângulo de vértices nos pés das alturas do triângulo ABC

Na construção dinâmica que se segue, pode deslocar os vértices do triângulo ABC bem como os vértices do triângulo DEF inscrito em ABC, para confirmar que essa relação se mantém com diversos triângulos ABC e respetivos órticos, ou com os diversos triângulos DEF inscritos num mesmo triângulo ABC

Relações métricas no triângulo - os raios das circunferências circunscrita e inscrita

Para um triângulo ABC há uma circunferência a ele circunscrita (a passar pelos seus vértices ) e uma outra nele inscrita (tangente aos seus três lados). O raio da circunscrita é no mínimo duplo do raio da inscrita.

Na construção dinâmica que se segue, pode deslocar os vértices do triângulo, para confirmar que essa relação se mantém e para ver em que condições o circun-raio é dobro do in-raio.




Sobre esta construção pode ainda confirmar e relembrar outras relações métricas que já foram , de um modo ou doutro, referidas em antigas entradas e que ligam os raios das circunferências inscrita e circunscrita com a área e o perímetro do triângulo ou com a distância entre o incentro e o circuncentro. Todas as relações aqui referidas estão relacionadas e são mobilizadas na demonstração do resultado em destaque nesta entrada.

Relações métricas num triângulo - uma desigualdade de Erdös

Em 1935, no nº 42 da American Mathematical Monthly, era publicado o problema 3740, proposto por Paul Erdös:
De um ponto O do interior de um triângulo ABC tiram-se perpendiculares OP, OQ e OR aos seus lados. Provar que
OA+OB+OC ≥2(OP+OQ+OR)
O problema foi resolvido de muitas maneiras diferentes e é isso que lhe dá uma importância redobrada para quem ensina. O problema pode ser resolvido só com matemática básica, só com trigonometria básica e secundária, com recurso a outros teoremas mais ou menso conhecidos (Ptolomeu, por exemplo). Claro que resolver o problema só com resultados básicos exige uma disciplina especial para ver que passos dar e por que ordem, que resultados se aplicam a cada passo, etc.

A primeira solução é atribuída a Mordell(mentor de Erdòs) e é por isso que o problema (ou a conjectura) de Erdös passou para a história como Teorema de Erdös-Mordell.

O outro encanto do problema tem a ver com imaginar o trabalho de desenho e medidas de muitos e muitos triângulos que Erdös deve ter feito para chegar ao enunciado da sua conjectura.
Aqui, apresentamos uma construção dinâmica que lhe permite trabalhar com centenas de triângulos (deslocando os seus vértices) e com muitos pontos do interior de cada triângulo deslocando O. Pode ver também em que condições há igualdade, etc

Relações métricas num paralelogramo - lados e diagonais

A soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados das suas diagonais.

Na construção dinâmica, pode deslocar os vértices do paralelogramo para verificar que as relações métricas se mantêmo.

Relações métricas - distância de um ponto aos vértices de um retângulo

A soma dos quadrados das distâncias de um ponto P a dois vértices opostos de um retângulo é igual à soma dos quadrados das distâncias de P aos outros dois vértices.

Na construção dinâmica, pode deslocar P e vértices do retângulo para verificar que as relações métricas se mantêm, mesmo quando P está no exterior do retângulo.

Relações métricas envolvendo triângulos e circunferências - áreas

No ensino básico são abordados vários resultados com áreas de triângulos e como é óbvia a semelhança entre os triângulos equiláteros inscrito e circunscrito na mesma circunferência, deve ser posta à consideração dos alunos a relação entre as áreas desses triângulos.
O resultado que hoje aqui apresentamos pode também ser abordado no ensino básico, envolvendo o hexágono convexo regular inscrito e as razões entre as áreas dos triângulos inscrito e circunscrito e a área do hexágono:
A área do hexágono inscrito numa circunferência é o meio proporcional entre as áreas dos triângulos inscrito e circunscrito na mesma circunferência.

Na construção dinâmica, pode deslocar F e O para verificar que as relações métricas se mantêm qualquer que seja o raio da circunferência e os lados dos triângulos e hexágono.

Relações métricas no triângulo - da circunferência definida por A, Ma e pé da bissetriz de Â

Num triângulo ABC,  a circunferência que passa pelos vértice A, ponto médio de BC e pé em BC da bissetriz interior do ângulo A  corta os lados AB e AC em dois pontos E e F. Verifica-se que BE=CF.

Relações métricas no triângulo - Medianas do triângulo retângulo

Num triângulo ABC, retângulo em A, a soma dos quadrados das medianas relativas aos catetos é quíntupla do quadrado da mediana relativa à hipotenusa.

Relações métricas no triângulo - lados e medianas

Num triângulo ABC, o triplo da soma dos quadrados dos seus lados é quádrupla da soma dos quadrados das suas medianas.




Pode deslocar A, B ou C para verificar que esta relação métrica se mantém.

Relações métricas no triângulo - lados e distâncias dos vértices ao baricentro

Num triângulo ABC, a soma dos quadrados dos seus lados é tripla da soma dos quadrados das distâncias de cada vértice ao ponto G de encontro das suas medianas.






Pode deslocar A, B ou C para verificar que esta relação métrica se mantém.

Relações métricas no triângulo - circuncírculo e incírculo

Num triângulo acutângulo ABC, a soma dos raios das circunferências circunscrita e inscrita é igual à soma das distâncias do circuncentro aos lados do triângulo.

Desloque A, B ou C até que o ângulo C seja obtuso para verificar se o resultado se mantém ou não quando o triângulo é obtusângulo. Também pode relacionar a altura de um triângulo equilátero com a soma desses raios do circuncírculo e do incírculo.





(Teorema de Carnot)

Relações métricas no triângulo -lados, uma mediana e uma altura

Num triângulo ABC, a diferença dos quadrados de dois dos lados é igual ao dobro do produto do terceiro lado pela distância dos pés das mediana e altura respectivas.

Relações métricas no triângulo - os lados e uma mediana

Num triângulo ABC, a soma dos quadrados de dois lados é igual a metade do quadrado do terceiro lado adicionado do dobro do quadrado da respectiva mediana.

Relação métrica nos triângulos - generalização do Teorema de Pitágoras

Num triângulo ABC, de lados a, b, c, sendo c' a projecção ortogonal de c sobre a,

• se o ângulo B não é reto, então b²=a²+c²±2ac', conforme B é obtuso ou agudo,
• se o ângulo B é reto, então b²=a²+c² (Pitágoras), já que c'=0.

Esta relação é geral para todos os triângulos e quaisquer que sejam os lados que consideremos.

Arraste A para verificar o que se passa com os diversos tipos de triângulos.

Lados de um triângulos e suas projeções ortogonais.

As alturas AA', BB' e CC' de triângulo ABC determinam sobre os lados AB, BC e AC segmentos que verificam a seguinte relação métrica AB'.BC'.CA'= AC'.BA'.CB'.

A bissetriz e os lados do triângulo

A bissetriz do ângulo  do triângulo ABC divide o lado BC em dois segmentos BD e DC. Prova-se a seguinte relação métrica BD.AC=CD.AB já usada na anterior entrada:relação de Stewart aplicada à bissetriz.

Relação de Stewart no caso da bissetriz

Para um triângulo ABC, no caso de tomarmos a bissetriz AD=β do ângulo  a dividir o lado a=BC em dois segmentos m=BD e n=DC, a relação de Stewart pode ser escrita assim:b²m+c²n=β²a+mna
e, sendo também verdade que                                  cn=bm,
bc=mn+β²

Na construção interativa que se apresenta a seguir, pode deslocar A, B, C fazendo variar a, b, c, m, n, β e verificar que aquelas igualdades se mantêm.

Relação de Stewart

Dado um triângulo ABC e uma ceviana, por exemplo BD (do vértice B para o lado AC), Os comprimentos dos lados AB, BC e AC, dos segmentos AD e CD determinados sobre AC pela ceviana e BD estão relacionados. Essa relação é conhecida como relação de Stewart que pode ser usada para determinar comprimentos de bissectrizes e medianas.

Operações sobre binómios, casos notáveis

Na construção pode fazer variar a, b, c, d.



Se ao quadrado ABCD, de área a², tirarmos o quadrado CHIJ, de área b², ficamos com o polígono ABJIHDA. Mas GIHD tem a mesma área de BEFJ. Logo podemos substituir ABJIHDA por AEFG cuja área é (a+b).(a-b). Em conclusão, a²-b²=(a-b)(a+b).

Equação x2=c

Para resolver geometricamente a equação x²=c, em ordem a x, basta tomar um triângulo retângulo ABC de hipotenusa 1+c (AB). A altura AH relativa à hipotenusa AB é meio proporcional entre 1 e c. Ver a semelhança dos triângulos rectângulos ACH e BCH em que ABC fica dividido pela altura.
Na construção que se segue, pode fazer variar c.

A equação ax+x2=b2

Para resolver geometricamente a equação ax+x²=b², em ordem a x, basta tomar um triângulo retângulo BCQ de catetos a/2 e b. O quadrado sobre a hipotenusa CQ tem área b²+a²/4. Se tomarmos x tal que .5a+x=CQ, temos a equação resolvida.
Na construção que se segue, pode fazer variar a e b.


De facto, CQ²=(.5a+x)² =b²+(.5a)² ou seja a área b² do quadrado de lado b é igual a 2(.5ax)+x², área do retângulo de dimensões x e a+x (como bem mostra a figura) ou da soma do retângulo ax com o quadrado x².

A equação ax=b2

Um problema simples e interessante a resolver geometricamente é o que consiste em determinar a dimensão x de um rectângulo ax equivalente a um quadrado b², ou seja resolver a equação ax=b², em que a e b são números quaisquer. A construção geométrica que se apresenta a seguir dá a solução para todos os valores de a e b. Pode variar os comprimentos a e b e encontra uma solução para cada par (a,b).




A construção parte de um quadrado ABCD de lado b que é aumentado do seguinte modo:
Prolonga-se AB até AE de tal modo que BE=a e constrói-se o retângulo AEFD de dimensões a+b e a. O retângulo GLFD é obtido a partir da determinação de G como interseção da recta DA com FB.
Este retângulo DGLF (a+b)(b+x) é dividido pela sua diagonal FG em dois triângulos retângulos iguais.
O triângulo retângulo DFG é decomponível em b² + (ab/2)+(bx)/2 enquanto que FLG é a soma de ax+(ab/2)+(bx)/2. O que permite concluir que ax=b².

A partir de Revisitando uma velha conhecida de João Bosco Pitombeira, de que recomendamos a leitura.

Na antiguidade, não havia procedimentos algébricos para resolver equações. Tudo era resolvido usando comprimentos de segmentos, operações sobre eles e áreas de polígonos. No 9º ano, ao introduzir as equações do 2º grau, convém referir problemas históricos do 2º grau acompanhados de referência ao pensamento geométrico que permitia solucionar tais problemas. Por exemplo a equação que modernamente escrevemos sob a forma x²+6x=27, viria de um enunciado em que jogam um quadrado de lado desconhecido e um retângulo com uma dimensão igual ao lado do quadrado e outra 6. A soma das áreas destes polígonos seria 27.

Para começar, tomemos um quadrado x por x e um rectângulo 6 por x. A construção que se segue parte destas duas figuras que juntas ocupam uma área de 27. E, clicando sobre

podem ver-se a sucessão de procedimentos geométricos utilizados na resolução. Começa por dividir o retângulo 6 por x em quatro retângulos iguais 1,5 por x que podem juntar-se ao quadrado x por x, sobre cada um dos seus lados.




Completamos a figura com os quatro quadrados amarelos de lado 1,5. Obtemos assim um quadrado que:
- tem área 36, logo a medida do lado é 6;
- tem lado 1,5+x+1,5 ou x+3

Então tem de ser x+3 = 6, logo x=3.

Nota: hoje sabemos que existe uma solução negativa, -9; mas na Antiguidade estas equações destinavam-se a resolver problemas concretos em que não havia lugar para soluções negativas.

Lugar dos pontos distantes proporcionalmente a um ponto e a uma reta

Determinar o lugar geométrico dos pontos M cuja razão das distâncias a um ponto P e a uma reta r é igual à razão entre AB e BC dados.




NO fundo, este lugar geométrico é uma cónica de que se conhece a directriz, o foco e a excentricidade. Valerá a pena deslocar o ponto B de modo a que AB=BC e AB-BC=AC e ver que cónicas se obtêm.

Lugar dos pontos distantes proporcionalmente a um ponto e a uma circunferência

Determinar o lugar geométrico dos pontos M cuja razão das distâncias a um ponto P e a uma circunferência c é igual à razão entre AB e BC dados.

Tangentes, secantes, triângulos equiláteros

São dadas duas circunferências tangentes em A. Por A faz-se passar a secante MM'. Determinar o lugar geométrico dos vértices P e Q dos dois triângulos equiláteros de lado MM'.

Envolvente de círculos de Euler-Feuerbach

Sobre a circunferência de centro O tomam-se dois pontos fixos A e B e um ponto variável C. Determinar a envolvente dos círculos de Euler-Feuerbach do triângulo ABC

Lugar da interseção de lados opostos de um quadrilátero de diagonal variável

Duas circunferências são tangentes em A e têm diâmetros AB e AC. Por A fazemos passar uma reta de direção variável que interseta a primeira circunferência em B' e a segunda em C'. Qual o lugar geométrico dos pontos P de interseção de BC' com CB'?