Plano inversivo. A inversão é uma involução do plano inversivo:-)

Notas: noção e notação de inversão e determinação do inverso com recurso ao teorema de Thales

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Temos vindo a utilizar a inversão em várias ocasiões. Muitas vezes para resolver problemas em que a passagem de circunferências para retas ou viceversa ajuda a encontrar as soluções.De passagem, já nos referimos várias vezes à definição e a propriedades da inversão e a métodos geométricos de encontrar o inverso de ponto, reta ou círcunferência, caso a caso, e, em várias ilustrações, já recorremos ao modo de transformação (ou macros) do Cinderella ou do Geogebra. Não nos preocupámos com o domínio da inversão como transformação, embora tenhamos tido alguns cuidados e referido restrições, em especial, para as construções só com compasso (ou só com circunferências).
Voltemos à definição.
Se $P$ não é o centro $O$ de uma dada circunferência de raio $r$, o inverso de $P$ em, ou relativamente a essa circunferência, é um ponto $P'$ da reta $OP$ tal que $$\overline{OP}\times \overline{OP'}=r^2\; .$$ À circunferência de centro $O$ e raio $r$ chama-se circunferência de inversão, ao ponto $O$ chama-se centro de inversão, a $r$ chama-se raio de inversão e a $r^2$ chama-se potência de inversão. Para a inversão de centro $O$ e potência $k>0$ usamos a notação $I(O,k)$.
Desta definição de $I(O,r)$, decorre que a cada ponto $P$ do plano, distinto de $O$, corresponde um único inverso $P'$ e que, se $P'$ é o inverso de $P$ também $P$ é o inverso de $P'$. Como não há correspondente do centro $O$ de inversão, $I(O,r)$ não é uma transformação do conjunto de todos os pontos do plano em si mesmo.
Também é verdade que fica estabelecida uma correspondência, um a um, entre os pontos do interior da circunferência (distintos de $O$) e os pontos do exterior da circunferência de inversão; que cada ponto da circunferência de inversão é inverso de si mesmo e que o conjunto dos pontos (distintos de $O$) de uma reta que passe por $O$ é imagem de si mesmo (no seu todo e não ponto a ponto, só os pontos da circunferência são inversos de si mesmos).
A construção que se segue, da inversão $I(O,9)$, pretende ilustrar isso mesmo. Pode deslocar $P$, assumindo qualquer posição do plano para acompanhar o que acontece nas diferentes posições.

Nesta construção, determinamos os inversos dos pontos $P$ por $I(O,9)$, com recurso ao teorema de Thales (ou a triângulos semelhantes)

1. Começámos por tomar a reta $OP$ que interseta a circunferência em $A$ — $\overline{OA}=3$
2. Tiramos pelo ponto $O$ uma outra reta qualquer, distinta de $OP$, e chamámos $B$ ao seu ponto sobre a circunferência de inversão — $\overline{OB}=3$
3. Traçada a reta $PB$, por $A$ tirámos uma paralela a $PB$ e chamámos $C$ à interseção desta com $OB$. Resulta, da semelhança dos triângulos $[OPB]$ e $[OAC]$, $$\frac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\frac{\overline{OA}}{\overline{OC}} \;\;\; \mbox{ou}\; \;\; \overline{OP}\times \overline{OC} = \overline{OA} \times \overline{OB}=9$$.
4. $P'$ será o ponto de $OP$ tal que $\overline{OP'}=\overline{OC}$

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Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

Inversão (e diversão)

Pedido de ajuda:
Temos tido problemas com a visualização de "applets" construídos com geogebra. Agradecemos que nos informem quando vêem e quando não vêem as ilustrações animadas.

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Na construção abaixo, pretendemos ilustrar que, por uma inversão relativa a uma circunferência,seu centro e respetivo raio, a imagem de um ponto no interior da circunferência é um ponto do seu exterior (e reciprocamente) e que a imagem da circunferência de inversão é ela mesma. Para isso, determinamos as imagens, relativamente à circunferência vermelha, das circunferências concêntricas com a circunferência de inversão.

E se invertermos circunferências não concêntricas com a circunferência de inversão? Experimente. No caso da ilustração abaixo, pus-me a bordar invertendo circunferências não concêntricas com a circunferência de inversão.

Inscrever um losango de área dada num paralelogramo dado

Apresentamos mais uma resolução de problema que recorre à inversão:
Dado um paralelogramo $\;[ABCD]$, determinar um losango $\;[MNPQ]\;$ nele inscrito e com uma área dada.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
No caso da nossa construção procurámos um losango de área $72$.

1. No paralelogramo $[ABCD]$ as diagonais — $AC, BD$ — intersetam-se num ponto $O$. Qualquer outro paralelogramo $[MNPQ]$ em que $M \in AB, N \in BC, P\in CD, Q \in DA$ tem o mesmo centro $O$, ou seja, $MP.NQ={O}$
2. A área de tal losango é dada pelo semiproduto das suas diagonais $$\frac{MP \times NQ}{2} = \frac{2OP \times 2OQ}{2} =2\times OP \times OQ$$
3. Já que a área é 72, $OP \times OQ =36$. Sabemos que uma circunferência de raio $6$ e centro $O$ define uma inversão e, para ela, o ponto $E$ de $[AD]$ tem um correspondente $E'$, sendo $OE \times OE'=36$. Como as diagonais do losango são perpendiculares, escolhemos $E$ como pé da perpendicular a $AD$ tirada por $O$.
4. Determinado $E'$ sobre $OE$, bastará efetuar uma rotação, de centro $O$ e um ângulo reto de amplitude, da circunferência de diâmetro $[OE']$ que deve intersetar o lado $CD$ em um ou dois pontos. Escolhemos um deles para o vértice $P$ do losango
5. Conhecido $P$, ${M}=AB.OP$ e tirando por $O$ uma perpendicular a $OP$ esta interseta $AD$ e em $BC$ nos pontos $Q$ e $N$, respetivamente.

Determinar circunferências que passam por P e são tangentes a duas circunferências dadas

Apresentamos mais uma resolução de problema que recorre à inversão:
Dados um ponto P e duas circunferências que não passam por ele (a preto), determinar uma circunferência que passe por P e seja tangente às duas circunferêncnias dadas.
As etapas da resolução do problema podem ser seguidas na ilustração dinâmica (em Cinderella) que se apresenta abaixo.

1. Tomamos uma circunferência auxiliar (violeta) centrada em P, em relação à qual se considera uma inversão.
2. Das duas circunferências dadas (a preto na ilustração) determinam-se as correspondentes, pela inversão de centro P, circunferências (a verde).
3. Determinamos as retas tangentes comuns a estas circunferências verdes: exteriores a vermelho, interiores a azul.
4. A cada uma destas retas tangentes comuns às duas circunferências verdes, imagens por inversão das circunferências dadas, corresponderá pela mesma inversão uma circunferência tangente às duas circunferências dadas que passa por P (centro da inversão correspondente do ponto impróprio da reta) . Determinamos, por isso, as imagens por inversão das retas tangentes.
5. O problema tem, portanto, quatro soluções: duas circunferências azuis correspondentes às retas azuis (tangentes interiores) e duas circunferências vermelhas correspondentes às tangentes vermelhas exteriores.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

De um triângulo qualquer para um equilátero: que inversão?

Inversão dos círculos de Apolónio (de um triângulo); propriedades

Com recuso à inversão, demonstrar o Teorema de Ptolomeu.

Usando a inversão para determinar a circunferência que passa por um ponto e é tangente a duas circunferências dadas

Apresentámos exemplos de problemas que se resolvem com recurso à inversão. A construção desta entrada ilustra a
determinação da(s) circunferência(s) tangente(s) a duas circunferências dadas e passa(m) por um ponto dado.
Como se pode ver, pelo caso apresentado, recorrer à inversão torna tudo mais fácil. Se eu quero uma circunferência tangente a outras duas, bastar-me-á passar às imagens por alguma inversão dessas circunferências e qualquer das retas tangentes comuns às duas circunferências imagens será correspondente, pela mesma inversão, a uma circunferência tangente às duas circunferências dadas.Se quero que essa circunferência passe por um dado ponto P, basta-me tomar a circunferência de inversão centrada em P.

1. São dados P e circunferências de centros A e B.
2. Começo por tomar uma circunferência auxiliar centrada em P e, por comodidade, a cortar as duas circunferências originalmente dadas. Se assim fizermos, as imagens por inversão dessas circunferências serão circunferências definidas, para cada uma, por dois pontos de intersecção com a circunferência auxiliar e pelo centro A ou pelo centro B.
3. Definidas essas circunferências (imagens), basta-nos tirar alguma tangente comum às duas. Lembramos que há 4 tangentes comuns às duas (duas interiores e duas exteriores). No caso da nossa construção, determinámos as duas tangentes exteriores.
4. Pela inversão, que definimos inicialmente, a cada reta tangente às imagens das circunferências originalmente dadss corresponde uma circunferência a elas tangentes e a passar por P

Determinar a circunferência que passa por dois pontos e corta uma reta segundo um ângulo dado.

Há um grande número de construções geométricas, de régua e compasso, que são feitas recorrendo à transformação de inversão relativamente a uma circunferência. Vamos apresentar um problema em que se usa a inversão:
Determinar a circunferência que passa por dois pontos — A e B — dados, e corta uma reta — r — dada, segundo um ângulo — α — dado.

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Para ajudar:

Diz-se que uma reta corta uma circunferência segundo um dado ângulo quando a corda determinada pela reta e a tangente em cada um dos seus extremos formam um ângulo igual ao dado.

Vale a pena lembrar que a envolvente das retas que cortam uma circunferência segundo um dado ângulo é uma nova circunferência concêntrica da anterior. Isso mesmo está ilustrado na construção ao lado. Esse resultado é importante para resolver o problema proposto. Clique no botão > ao fundo à esquerda para ver a circunferência que é tangente a todas as retas que cortam a circunferência segundo o ângulo dado. Depois, quando quiser obter uma reta que corte a circunferência original obtida num ponto qualquer, basta tirar a tangente por esse ponto à envolvente.

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Sigamos agora as etapas de resolução do problema proposto, acompanhando-as na ilustração abaixo

1. Começamos com os dados iniciais — α, A, B e r — para construirmos a circunferência que passa por A e B e é cortada por r segundo o ângulo α
Vamos criar as condições para determinarmos uma circunferência relacionada com r (por inversão) e uma reta que a corte segundo o ângulo α (isso já sabemos fazer, não é?). Claro que, pela mesma inversão, esta última reta será transformada na circunferência que cortará a reta r segundo α.
Para isso, teremos de tomar uma circunferência auxiliar, em relação à qual se façam as inversões. No nosso caso, tomamos, para facilitar, a circunferência de centro em A e que passa por B e que, nas condições da nossa figura, corta a reta r em F e G
2. Em relação a esta circunferência auxiliar, a imagem de r é uma circunferência que passa por F=F', G=G' e A=∞'_r. Claro que pode tomar qualquer circunferência para auxiliar e calcular as imagens de quaisquer dois pontos de r que com o centro da circunferência de inversão definem a imagem de r.
3. Para determinar uma reta que corta a imagem de r segundo um ângulo α,tomamos uma tangente num ponto qualquer da circunferência imagem de r, no caso usámos A, e marcámos o ângulo α em A e a partir dele a circunferência envolvente das retas que cortam a circunferência imagem de r segundo o ângulo α
4. Tirámos, por B, a tangente à circunferência envolvente, que corta a circunferência imagem de r segundo α
5. Finalmente a imagem desta reta BN, pela inversão relativamente à circunferência auxiliar de centro A é a circunferência que passa por A, B e N (Tomámos N=N' da reta e da circunferência de inversão) que corta a reta r segundo α, como podemos verificar na etapa final da construção.

Teorema de Mohr-Mascheroni

As construções geométricas com régua e compasso trabalham com dois tipos de figuras: as circunferências (compasso) e as retas (régua). Estas figuras ficam determinadas por dois pontos — a reta — e por três pontos — a circunferência. Nas últimas entradas, vimos que, só com compasso, podemos determinar o centro de uma circunferência dada por três pontos e também vimos como determinar, só com compasso, os pontos de intersecção de quaisquer duas dessas figuras definidas unicamente pelos seus pontos. Para isso, usámos a inversão relativamente a uma ou várias circunferências.
Assim demonstrámos que
Todas as construções de régua e compasso podem ser feitas só com recurso a compasso (ou só com circunferências)
Este resultado é conhecido como teorema de Mohr-Mascheroni.

Exercícios interativos: Soluções (VII)

Na entrada do dia 5 de Junho, propomos que, com compasso e ponto a ponto, para quatro pontos A, B, C e D dados, determine o ponto de interseção das retas AB e CD.
Ilustramos a seguir as etapas da resolução desse problema:




Para determinarmos a intersecção da reta (A,B) com a reta (C,D) recorrendo exclusivamente à circunferência, precisamos transformar, por inversão, essas retas em circunferências.

1. Para definir uma inversão, basta tomar, como auxiliares, um ponto P e uma circunferência nele centrada.
2. Por inversão, relativamente a P e à circunferência nele centrada, determinamos
   • A' e B'
   • a circunferência que passa por A', B', P é o transformado de AB pela inversão
   • C' e D'
   • a circunferência que passa por C', D', P é o transformado de CD pela inversão
   • as circunferências (A',B',P) e (C',D', P) intersetam-se em P e em I' sendo este a imagem, pela inversão definida, do ponto de intersecção I de (A,B) com (C,D)
3. Determinar I é feito usando a mesma inversão auxiliar, relativamente à qual determinamos o correspondente de I'

Este processo pode ser utilizado para determinar a intersecção de duas figuras — retas com circunferências, circunferências com circunferências, etc.

Exercícios interativos - Soluções (VI)

Na entrada de 30 de Maio, propomos ao leitor que,
com compasso e ponto a ponto, desenhe a circunferência que passa pelos três pontos I, J e K dados
Para realizar esse exercício, disponibilizávamos a ferramenta "compasso" que permite transferir comprimentos, embora tal possa ser feito com recurso a circunferências.
A construção dinâmica, a seguir apresentada, ilustra as etapas de uma resolução possível desse problema:

1. A primeira etapa consiste na construção de três circunferências: uma de centro I e raio JK - chamemos-lhe i - , outra de centro J e raio IK — j — e a terceira de centro K e raio IJ — k —; duas destas circunferências intersetam a terceira em pontos equidistantes do centro da terceira. No caso tomámos C₁ de k.ie C₂ de j.i que são pontos da circunferência que passa por I, J e K, circunscrita ao triângulo [IJK] e também aos triângulos [C₁ KI] e [C₂ JI] com ele congruentes. Repare-se, para exemplo, que C₁ K = IJ , C₁ I = KJ e IK=IK para ver que [C₁ KI] = [JKI].
2. Como já vimos em entradas anteriores, o centro desta circunferência que passa por C₁ e C₂ terá a sua imagem, por inversão relativamente a I e i, na interseção das circunferências centradas em C₁ e C₂ (de i) e a passar por I. Por isso, a segunda etapa da nossa resolução consiste nesta determinação de C'.
3. Finalmente, determina-se o correspondente C de C' por inversão relativamente a I e i.
4. E com centro em C traça-se a circunferência que passa por C₁, C₂, I, J e K.

Exercícios interativos: Soluções (V)

Na entrada de 28 de Maio, propomos ao leitor a determinação do centro de uma dada circunferência com recurso exclusivamente a circunferências
A construção dinâmica, que se apresenta a seguir, ilustra as etapas da resolução desse problema:

1. Toma-se um ponto P qualquer sobre a circunferência original e uma circunferência, a azul, de centro P que intersete a original em dois pontos A e B, a roxo;
2. Com centros em A e B traçam-se as circunferências a roxo que passam por P e também se intersetam em C', a castanho;
3. Com centro em C' traça-se a circunferência, a castanho, que passa por P e interseta a circunferência a azul nos pontos D e E, amarelos;
4. Finalmente as circunferências centradas em D e E, a amarelo, que passam por P, intersetam-se ainda no ponto C, a vermelho.

A entrada anterior que tratava da construção da imagem de um ponto qualquer por inversão relativamente a uma circunferência de centro C, mostra que a imagem de C, C', por uma inversão de centro em P é a interseção das circunferências centradas em A e B que passam por P. Assim, obtido C', resta-nos obter C como imagem de C' pela inversão relativamente à circunferência azul e seu centro P. O ponto C é o centro da circunferência original.

Exercícios interativos: Soluções (IV)

Exercícios interativos: Soluções(III)

A entrada de 24 de Maio mostrava um quadro para construção, com Cinderella, em que eram dados um círculo e um ponto A e propunha-se ao leitor
a determinação, sem acesso ao centro da circunferência, da sua tangente em A.

Com recurso ao GeoGebra, apresenta-se a seguir uma resolução de que se reproduzem os passos fundamentais:

1. a castanho, determina-se a reta que passa pelo centro não conhecido: uma nova circunferência de centro em A que interseta a original em dois pontos determina os dois vértices da base de um triângulo isósceles; a reta que contém a altura relativa a A passa pelo centro desconhecido;
2. a laranja, escolhem-se dois pontos equidistantes de A, sobre essa reta, e determina-se a perpendicular a ela que é a tangente em A (a vermelho).

Exercícios interativos: Soluções(II)

Estamos a restaurar mal, que os tempos são outros, a solução de um exercício interactivo proposto em 21 de Maio de 2013 que foi "deprecated" até retorcido se ver o texto e nada se ver da construção. Por não termos culpa, não pedimos desculpa.

Exercícios interativos: Soluções (I)

Temos vindo a propor exercícios interativos - problemas para resolver usando construções dinâmicas com o Cinderella - sobre assuntos que já foram tratados (mais ou menos profundamente, há mais ou menos tempo). E prometemos que escreveríamos sobre a sua resolução ao fim de algum tempo. É o que vamos começar hoje mesmo a fazer.

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A primeira construção (exercício interativo), de 19 de Maio, apresentava um dado quadrilátero ABCD e pedia aos leitores a determinação dos centros de todas as possíveis homologias que transformam ABCD num losango A'B'C'D'



Para este caso basta rever ou reler a entrada determinação de uma homologia que transforma um dado quadrilátero num losango

Exercício interativo: Determinar a interseção de AB com CD, usando circunferências.

Nesta entrada, propomos-lhe que, com compasso e ponto a ponto,
determine o ponto de interseção das retas AB e CD..
Sugerimos que utilize a circunferência p de centro P da figura e a ferramenta "Circunferência por 3 pontos" para substituir o trabalho correspondente ao exercício da entrada anterior.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

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Exercício interativo:Desenhar a circunferência que passa por três pontos dados.

Nesta entrada, propomos-lhe que, com compasso e ponto a ponto,
desenhe a circunferência que passa pelos três pontos I, J e K dados.
Deixamos presente a ferramenta compasso (ícone próprio) que permite transferir comprimentos. Poder-se-ia dispensar, mas desenhar uma circunferência de centro em I e raio JK, por exemplo, acrescentaria demasiadas linhas à construção.

Exercício interativo: Determinar o centro da circunferência, usando compasso

Estamos a publicar uma série de exercícios interativos com as ferramentas escolhidas e disponibilizadas por nós no quadro do Cinderella. Revemos alguns problemas enquanto experimentamos criticamente as potencialidades do Cinderella. Publicaremos mais tarde, ao fim de cada série, as construções que conduzem às soluções.
Nesta entrada, propomos-lhe que, com circunferências e ponto a ponto,
determine o centro da circunferência dada..

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Esta restauração só mostra os passos feitos ao tempo, mas como figuras estáticas: nada interativas estas só servem ara deixar a ideia do que fizemos com o Cinderella para acompanhar professores e alunos......

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). ------Já cá não fica porque não se mostrava.....

Exercício interativo: Com compasso, determinar a imagem de P por inversão relativamente a uma circunferência dada.

O exercício interativo em que, com as ferramentas escolhidas e disponibilizadas por nós no quadro do Cinderella, tem por objetivo
determinar o ponto P' tal que OP . OP' =1, tomando para unidade o raio da circunferência.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Não faço favores.

Exercício Interativo:Determinar a tangente a uma circunferência num dos seus pontos

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A Biblioteca da Escola José Estêvão comemora os seus 150 anos. Muitas das construções apresentadas neste espaço foram sugeridas e estudadas nos velhos livros da nossa biblioteca para aparecerem como reconstruções dinâmicas(como é natural na circunstância em que as retomamos). Esta Biblioteca, nascida no século XIX, chega toda dinâmica ao século XXI. Também aqui, ela mexe.

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Aqui fica(va) um exercício interativo em que,com as ferramentas escolhidas e disponibilizadas por nós no quadro do Cinderella, tinha como objetivo que
determinassem, sem acesso ao centro da circunferência, a sua tangente em A .

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Já era.