Homologia definida por centro, eixo e reta limite: homológico de um pentágono cortado pela reta limite

Seja uma homologia (homografia do plano no plano) definida por centro, eixo e reta limite e seja um pentágono ABCDE de tal modo que a reta limite l corta dois dos seus lados, no caso, AE.l={I} e CD.l={J}
Pretende-se determinar o pentágono A'B'C'D'E' homológico de ABCDE.
Sabemos que dois pontos homólogos são colineares com o centro O e que as retas que contém dois lados homólogos se encontram num ponto do eixo e. Mas sabemos também que o homólogo de um ponto limite (de l) e de um lado (AE, por exemplo) é o ponto no infinito da reta (A'E') homóloga da reta que o contém, que é o mesmo que dizer que a reta A'E' é paralela a AE tirada por M=AE.e; do mesmo modo, C'D' é a paralela a OJ tirada por N=CD.e
Determinadas, desse modo, as retas A'E' e C'D', obtemos A' e E' como interseções da paralela a OI tirada por M com OA e com OE, C' e D' nas interseções da paralela a OJ tirada por N com OC e com OD. Para determinar B', toma-se {Q}=e.AB e {B'}=QA.OB; {C'}=RB'.OC em que {R}= e.BC; {D'}=NC'.OD em que {N}=e.CD
E à semelhança do que fizemos na entrada anterior, os lados da figura homológica de ABCDE são:
A'I'_∞E', homólogo de AIE
C'J'_∞D', homólogo de CJD
A'B' homólogo de AB, B'C' homólogo de BC e D'E' homólogo de DE.

Esta construção da figura homológica de um pentágono é importante para percebermos bem o que se passa com as cónicas (bem determinadas por 5 dos seus pontos, qualquer delas) quando têm ou não têm pontos impróprios. Se, para uma dada homologia, um pentágono tem pontos limite em alguns dos seus lados, o seu homológico tem pontos impróprios nos lados homólogos desses.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Homologia por centro, eixo e reta limite: homológico de um triângulo cortado pela reta limite

Na construção que se apresenta a seguir, temos uma homologia de que conhecemos centro, eixo e reta limite. E, para essa homologia, determinámos o homológico de um triângulo ABC em posição tal que tem a reta limite corta dois dos seus lados AB e BC (como se vê quando se abre a construção).
Pelo procedimento habitual: as retas homólogas AB e A'B' encontram-se num ponto do eixo e, M. Para além de M, para termos a reta A'B', basta considerar a imagem de um dos seus pontos, I, que, por ser ponto limite de AB, tem por imagem o ponto do infinito de A'B', I'_∞=OI.A'B'. Assim A'B' é a reta MI'_∞, paralela a OI tirada por M. Claro que A' é OA.MI'_∞ e B' é OB.MI'_∞
Do mesmo modo, B'C' é a paralela a OJ tiradda por BC.e, K, B'C' é a reta KJ'_∞. E C' é OC.KJ'_∞
Como I é ponto da reta limite l e do lado AB, (o segmento) A'B' terá de conter o ponto do infinito, designamo-lo por I'_∞ isto é, o homólogo do lado AB é A'I'_∞B'. E, do mesmo modo, o homólogo do lado BC será B'J'_∞C'.
Esperamos que a construção apresentada seja uma boa ilustração.

Com alguns cuidados, poderá fazer variar o triângulo e mesmo a homologia (deslocando O, e e J). A figura dinâmica dará boa informação para algumas posições relativas. Foi feita para mostrar o que acontece para o caso de a reta limite cortar os lados AB e BC do triângulo.

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Homologia definida por centro, eixo e reta limite: quadriláteros homológicos (caso 1)

Retomamos homologias definidas pelo centro O, eixo e e reta limite l. Vamos determinar o quadrilátero homológico de um quadrilátero ABCD dado, por uma homologia definida por O, e, l.
Dados O, e, l e os quatro pontos A, B, C, D vamos determinar A', B' C', D' : O, A e A' são colineares; O, B e B' são colineares, etc e AB.A'B' é um ponto de e.... Consideremos os pontos I e K de interseção da reta definida por A e D com a reta limite e com o eixo: AD.l = {I} e AD.e= {K}. Como I é um ponto da reta limite é o ponto limite da reta AD: OI interseta A'D' no seu ponto impróprio e como K é o ponto da reta AD no eixo, A'D' terá de passar por K. Ou seja, a reta A'D' é a paralela a OI tirada por K.
Do mesmo modo, BC.e = {M} e BC.l = {J}, B'C' será a paralela a OJ tirada por M.
Assim ficam determinados: A' e D' como interseções de OA e OD com a paralela a OI tirada por K; B' C' como interseções de OB e OC com a paralela a OJ tirada por M. Confirmámos DC.D'C' ={N} em e, DB.D'B'= {P} de e, AB.A'B'= {L} também no eixo da homologia.

No caso da homologia que se vê ao abrir, a reta limite l não interseta os lados do quadrilátero ABCD e, por isso, o seu homológico não tem pontos impróprios A'B'C'D'.
Na próxima entrada, veremos o caso de polígono em que a reta limite interseta lados do polígono para ver o que acontece com o homológico.

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Homologia definida por centro, eixo e reta limite

Uma homologia do plano transforma pontos em pontos, pontuais em pontuais, feixes em feixes do plano. Para cada homologia, uma pontual de pontos da reta imprópria do plano tem como imagem uma pontual - reta limite l'- que contém o ponto impróprio do eixo e uma pontual de pontos da reta imprópria é imagem de uma pontual - reta limite l - que também contém o ponto impróprio do eixo.
Também já vimos antes que uma homologia do plano fica determinada por:

1. o centro, o eixo e um par de pontos (retas) homólogos , não incidentes no centro nem no eixo.
2. dois pares de pontos (retas) homólogos e um ponto (reta) duplo (homólogo/a de si mesmo).
3. três pares de pontos (retas) homólogos.

Claro que dar uma reta limite equivale a dar um par de retas homólogas: a própria reta limite e a reta imprópria do plano
Nas últimas construções, definimos as homologias dando centro, eixo e um par de pontos homólogos.
Nesta entrada, vamos verificar que uma homologia fica determinada pelo centro O, o eixo e e a reta limite l.

Pode mover O, e, l para ver o que acontece com várias homologias
e também r, para além de A sobre r.

Dado um ponto A, como determinamos A'? Ou dada uma reta r como determinamos r' na homologia de que conhecemos o centro O, o eixo e e a reta limite l?
Por qualquer ponto A, podemos tirar uma reta r que intersete o eixo e (em M) e a reta limite l (em I). I é um ponto limite, original do ponto impróprio de r', R'_∞, por ser, ao mesmo tempo de l e de r. Isso quer dizer que a reta OI do feixe centrado em O interseta r' no seu ponto impróprio (OI//r'). Sabemos além disso que duas retas homólogas se intersetam num ponto do eixo, no caso M: Fica determinada r', paralela a OI tirada por M=r.e

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E, concluindo, obtém-se A'=OA.r'
Na nossa construção também procurámos a reta limite imagem da reta imprópria do plano: Tirámos por O uma paralela a r (que interseta r no seu ponto impróprio R_∞. O ponto onde essa reta interseta r' está a imagem J' do ponto do infinito de r.
A reta limite, imagem da reta imprópria do plano, passa por J' e também pelo ponto impróprio do eixo.
Verificará que O, e, ocupam certas posições relativas com l, l': ou estão ambos entre l e l' ou ambas fora da faixa de fronteiras l e l'

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Homologia plana (memória)

De uma homologia damos o centro O e o eixo e, uma reta r e a sua homóloga r'. No caso da nossa construção tomámos duas retas concorrentes em A e, de acordo com o processo de definição da homologia de centro O, se considerarmos A da pontual de base r, o seu homólogo A'=OA.r' na reta r' só pode ser A'=A (já que a reta tirada por O que passa por A também passa por A' e OA.r=OA'.r'=r.r), o que quer dizer que é um ponto duplo da homologia que sendo diferente de O é um ponto do eixo da homologia. De outro modo: Um ponto B de r tem como correspondente o ponto B'=OB.r' de r' e um ponto C' de r' tem como homólogo o ponto C=OC'.r de r e as duas retas BC.B'C'=r.r'=A, AB.A'B'=A. Se não dermos o eixo, teremos de dar mais um ponto (não incidente em r) e o seu correspondente, para definirmos o eixo da homologia.
Vamos determinar pontos limite e retas limite da homologia. Para exemplo, determinamos a imagem R' do ponto no infinito de r, R_∞: Tiremos por O a reta OR_∞ (paralela a r tirada por O). A imagem de R_∞ é o ponto R'=OR_∞.r', ponto limite.
Quando falamos de reta imprópria do plano estamos a falar da reta que contém todos os pontos no infinito do plano, também o ponto E_∞ impróprio do eixo e. Por isso a imagem pela homologia da reta imprópria do plano é R'E_∞ (paralela a e tirada por R'). Temos assim a reta limite imagem da reta no infinito do plano.
A reta limite que tem como imagem a reta no infinito do plano determina-se de forma análoga: O original do ponto no infinito de r', R'_∞, é O R'_∞.r=R e a reta limite que tem como imagem a reta imprópria do plano é RE_∞. As retas limite (original e imagem) intersetam-se no ponto impróprio de e (também ele ponto da reta imprópria do plano).

Pode movimentar pontos e retas (mudando de homologia, claro)

Experimente deslocar O e veja o que acontece quando ele incidir sobre r ou sobre r' ou sobre o eixo e. E se O coincidir com A?

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Homologia plana (memória)

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Temos vindo a trabalhar com transformações projetivas que relacionam pontuais diferentes (sobre a mesma reta ou não) e feixes distintos (a passar pelo mesmo ponto ou não).
Debruçarmo-nos-emos agora sobre uma transformação projetiva que transforme cada ponto (pontual,feixe) do plano num ponto (pontual, feixe) sobre o mesmo plano: trata-se da homologia (já várias vezes referida) que é uma homografia. Para definir a lei de transformação, bastar-nos-á tomar três pontos A, B, C não colineares e seus correspondentes A', B' e C' de tal modo que AA', BB' e CC' passem por um mesmo ponto O (centro da homologia). Como sabemos, do teorema de Desargues, esta condição de AA', BB' e CC' serem concorrentes num ponto é equivalente a que os pares de retas AB e A'B', AC e A'C', BC e B'C' se intersetem em pontos de uma mesma reta e (eixo da hamologia).
Tomados os pares de pontos correspondentes (A,A') e (B,B'), fica determinado um ponto AA'.BB'={O} e para um terceiro ponto C podemos tomar qualquer ponto C' como correspondente de C, desde que C' incida em CO.
Sendo AB.A'B'={L}, AC.A'C'={K}, LK=e (eixo da homologia), verifica-se que o ponto BC.B'C', J, é um ponto de e.
Vemos que fixados (A,A') (B,B') e (C,C') a respeitar a condição AA'.BB'.CC'={O} (ou a equivalente: AB.A'B', AC.A'C', BC.B'C' a incidir numa mesma reta e), fica determinado o processo para determinar o homólogo (único) de qualquer ponto X do plano: Toma-se, por exemplo, XB.e={I}, IB'.OX={X'} que é equivalente a (XA.e)A'.OX={X'}.....
A construção ilustra essa definição e os procedimentos adotados para determinar o ponto correspondente de qualquer ponto do plano. O mesmo para a pontual correspondente de qualquer pontual. Considere para exemplo a pontual de base c=AB. Um ponto P de s tem correspondente P', assim obtido: (PA.e)A'.OP que é um ponto de A'L ou seja de A'B'=c'.

Chama-se ainda a atenção para o seguinte:

1. A imagem, pela homologia, de um ponto P qualquer de e, é P: (PA.e)A'.OP={P}. Cada um dos pontos da pontual de base no eixo de homologia é imagem de si mesmo pela homologia, isto é, é um ponto duplo no sentido P=P' para a homologia.
2. A imagem do feixe de centro O é o próprio feixe. Um ponto qualquer de um reta que passe por O é um ponto dela mesma (X e X': O∈X). Cada uma das retas do feixe é transformada nela mesma, em que O e a sua intersecção com e são dois pontos duplos
3. Podemos dizer que uma homologia plana é uma transformação projetiva do plano em si mesmo tendo como elementos duplos uma pontual (sobre e) e um feixe (por O)
4. A homologia especial em que o centro O é um ponto do eixo e também toma o nome de elação.
5. O centro O da homologia pode ser um ponto impróprio (AA', BB', CC' são paralelas ou encontram-se num ponto comum que é um ponto no infinito)
6. O eixo e da homologia pode ser uma reta imprópria (Os pares de retas que passam por pontos homólogos são paralelas: AB//A'B', BC//B'C', AC//A'C', …)



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Feixe de segunda ordem (circular)

Atente na figura dinâmica imediatamente abaixo.
Por X, variável sobre a tangente à circunferência em P, passam duas tangentes XP e XT. Por isso, OT=OP e XP=XT e, em consequência, os ângulos POX=XOT. Por X'=XT.QQ', passam duas tangentes à circunferência X'T e X'Q' e são congruentes ângulos Q'OX' e X'OT. Ou, ainda pela mesma razão, QOP=P'OQ'. XOT=(POT)/2 e X'OT=(Q'OT)/2 XOT+X'OT=(POQ')/2=POQ, constante para cada par (P,Q), e, finalmente, XOT+X'OT=XOX'= POQ.

[Pode mover T, P ou Q']? podia.
Quer dizer que, para qualquer tangente por T, variável sobre a circunferência, os pontos de intersecção dela com a tangente em P e com a tangente em Q', X e X', são tais que o ângulo XOX' é constante ou é independente de T. Isto é o mesmo que dizer que as retas do feixe, centrado em O, das retas OX' e OX estão relacionadas por uma rotação de centro O e ângulo de amplitude igual à de POQ. Os feixes assim construídos, x=OX e x'=OX', são congruentes e, portanto, projetivos. O ângulo formado por quaisquer duas retas do feixe x é transformado por rotação de centro O e amplitude POQ num ângulo de duas retas do feixe x', logo igual. As razões duplas de 4 retas do feixe x e das correspondentes do feixes x' são, por isso, iguais. E assim acontecerá para as razões duplas dos pontos correspondentes nas secções por PQ e Q'P'. Pode deslocar T sobre a circunferência e verá assim que, pela projetividade entre as pontuais X e X', quando X=P é X'=P' e que, quando X'=Q' é X=Q. Para além de significar que os pontos P, Q, P', Q' fazem parte das pontuais projetivas, também significa que PQ e P'Q' são posições possíveis das retas XX'.
As pontuais de pontos X sobre PQ e X' sobre Q'P' são secções por PQ e Q'P' dos feixes x e x' centradas em O que são projetivos. E as retas XX' que passam pelos pontos correspondentes das pontuais projetivas têm um só ponto comum com a circunferência.
Este conjunto de retas XX' é um feixe de segunda ordem por ser um conjunto de retas definidas por por pontos homólogos de duas pontuais de primeira ordem projetivas e não perspetivas e de bases distintas. Diz-se que a cónica é a envolvente das retas deste feixe de segunda ordem.
A pontual de segunda ordem é uma curva de segunda ordem (cónica) que contém os vértices V e V' dos feixes projetivos e não perspetivos que a geram por intersecção das retas correspondentes.
O feixe de segunda ordem é envolvido por uma curva de segunda ordem (cónica) que contém as bases das pontuais, projetivas e não perspetivas, que a geram por ligação dos pontos correspondentes
Pode assim definir-se uma cónica como base de uma forma elementar de 2ª ordem (pontual ou feixe).
Chama-se razão dupla de 4 tangentes de um feixe de 2º ordem à razão da pontual que se obtém cortando essas 4 retas tangentes por uma outra tangente qualquer.

Segue-se uma ilustração das pontuais, projetivas não perspetivas, em distintas bases, feixes centrados em O, ângulos e razões duplas calculadas, etc.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode deslocar os pontos de tangência [?: PODIA ]


Finalmente apresentamos uma construção do eixo da projetividade definida pelas pontuais A, B, C e A', B', C' que é a reta PQ' e ilustramos com uma reta XX' em que X é variável sobre PQ e X' é determinado usando o eixo da projetividade definida. Pode animar a figura e verificar como XX' em todas as suas posições mantém um ponto de contato com a circunferência e como o conjunto das retas XX' formam a circunferência.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode controlar a animaçao e mover os pontos P e Q'[? PODIA]
O eixo da projetividade é a reta que passa pelos pontos de tangência das bases das pontuais projetivas. Sabemos que a reta PQ' é a polar do ponto P' ou Q (ponto duplo da projetividade) Se as bases PQ e P'Q' se encontrarem num ponto do infinito, o eixo de projetividade (ou a polar do ponto no infinito das bases) passa pelo centro da circunferência.

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Pontual de segunda ordem (circular)

Na construção que se segue, temos uma circunferência e dois feixes de retas centrados em pontos V e V' da circunferência, abcd a passar por V e a'b'c'd' a passar por V', em que a=VA, b=VB, c=VC, d=VD e a'=V'A, b'=V'B, c'=V'C, d'=V'D, sendo A, B, C, D pontos da circunferência: a.a'=A, b.b'=B, c.c'=C e d.d'=D.
Verifica-se que os ângulos AVC (de vértice V e lados VA=a e VC=c) e AV'C (de vértice V' e lados V'A=a' e V'B=b' são iguais (ou congruentes por estarem inscritos no mesmo arco da mesma circunferência), etc. As igualdades dos ângulos (a,c)=(a',c'), ... ilustradas na construção, garantem que são iguais as razões duplas dos 2 feixes: (abcd)=(a'b'c'd'), ou seja os feixes V(ABCD) e V'(ABCD) são projetivos
De facto, já tínhamos visto que os feixes projetivos V(ABC) e V'(ABC) definem a cónica que passa por V, V', A, B, C. Estamos com esta construção a ilustrar que a projetividade mantém invariantes as razões duplas tanto pelo lado dos ângulos e das retas (abcd)=(a'b'c'd') como pelas pontuais resultantes de secções dos feixes por uma reta r.
Lembramos que a razão dupla de um feixe (abcd) é igual à razão dupla de qualquer pontual retilinea que se obtenha por secção do feixe e que dois feixes abcd e a'b'c'd' são projetivos sse (abcd)=(a'b'c'd').
No caso presente da nossa construção com circunferência, dadas as relações de iguadade ou congruência entre os ângulos correspondentes, diz-se mesmo que os feixes são congruentes.
Transcrevem-se os enunciados de Izquierdo a este respeito:
Os feixes obtidos ao projetar os pontos A, B, C de uma circunferência a partir de vários pontos dela, V, V', ... são congruentes e, por isso projetivos e, reciprocamente,
O lugar geométrico dos pontos de intersecção das retas correspondentes (não paralelas) a.a', b.b',... de dois feixes congruentes centrados em V e V' é uma circunferência que passa pelos vértices dos feixes.
Esse lugar geométrico recebe o nome de pontual circular ou circunferência pontual. Dois feixes de primeira ordem projetivos não perspetivos determinam uma pontual de segunda ordem.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Se pensarmos na reta VV' como reta do feixe centrado em V, a correspondente reta no feixe centrado em V' será a tangente em V' (V' é ponto da pontual circular interseção dessas retas correspondentes). Se pensarmos em VV' como reta do feixe centrado em V' a sua correspondente é a tangente em V. A base da pontual de segunda ordem (circular neste caso) é a circunferência a que pertencem os pontos da pontual.

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Pontuais projetivas sobre uma circunferência: Pontos duplos.

Na construção que se segue, temos uma projetividade entre pontuais definida por 3 pares de pontos correspondentes A→A', B→B' e C→C' todos sobre uma mesma base circular. Isso está feito tomando dois feixes perspetivos V.ABC e V'.A'B'C', de tal modo que os pontos VA.V'A'=A'', VB.V'B'=B'' e VC.V'C'=C'' estão sobre uma mesma reta r''. Para determinar a imagem de um ponto qualquer D por essa projetividade, toma-se D''=VD.r'' e vem D' como interseção de V'D''com a circunferência. Convém reparar que variar r'' é variar a projetividade e, mantendo ABCD, forçosamente varia A'B'C'D', na projetividade de eixo r''.
Como o eixo r'' inicialmente mostrado não interseta a circunferência, deslocando o ponto D ao longo dela, verá que D é sempre diferente de D'. A projetividade com este eixo não admite pontos duplos.
Se deslocar o eixo r'' de modo a ser tangente à circunferência, deslocando D sobre a circunferência verá que no ponto de tangência D=D'. Há um ponto duplo para a projetividade de eixo tangente à circunferência. Se deslocar o eixo r'' de modo que seja secante, deslocando D poderá ver que D=D' nos dois pontos de interseção do eixo r'' com a circunferência. A projetividade de eixo secante tem dois pontos duplos.

Dois feixes perspetivos de centros sobre a circunferência (as retas correspondentes pela perspetividade encontram-se em pontos de uma mesma reta - eixo r'') determinam sobre a circunferência duas pontuais b'=V'B', c'=V'C', d'=V'D'.... é óbvio que se podem deduzir a igualdade entre as razões duplas: (abcd)=(A''B''C''D'')=(a'b'c'd') A perspetividade entre dois feixes mantém a razão dupla. E Izquierdo chama razão dupla (ABCD) de quatro pontos da circunferência à razão dupla dos dos eixos VA, VB, VC, VD sendo V um ponto da circunferência. Assim, sendo perspetivos os feixes que determinam sobre a circunferência {A, B, C, D} e {A', B', C', D'}, então (ABCD)=(A'B'C'D').

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Pontuais projetivas sobre uma mesma reta. Pontos limite.

Na construção que se segue, temos uma projetividade entre pontuais definida por 3 pares de pontos correspondentes A→A', B→B' e C→C' todos sobre uma mesma base.
No caso presente, tomamos um ponto V que não pertence a r e sobre uma reta r₀ paralela a r, tomamos os pontos A₀=A'V.r₀, B₀=B'V.r₀ e C₀=C'V.r₀ (perspetividade entre as pontuais A'B'C' e A₀B₀C₀ ).
A projetividade é composta da perspetividade A'B'C'→^V→ A₀B₀C₀) com a projetividade ABC → A₀B₀C₀ de eixo definido pelas interseções A₀B com AB₀ e A₀C com AC₀. A imagem de um ponto D é obtida do seguinte modo: A₀D interseta o eixo num ponto que com A define uma reta que interseta r₀ em D₀. Finalmente: D'=r.VD₀. Deslocando D sobre r, pode verificar que, pela projetividade, o ponto J é o original do ponto do infinito de r e o ponto K' é a imagem do ponto no infinito de r pela mesma projetividade. Estes pontos tomam o nome de pontos limite para a projetividade ABC→→A'B'C' sobre r.

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Projetividade entre pontuais de uma reta ou de um círculo.

Na construção que se segue, temos uma projetividade entre pontuais definida por 3 pares de pontos correspondentes A→A', B→B' e C→C' todos sobre uma mesma base r. Isso está feito tomando dois feixes perspetivos V.ABC e V'.A'B'C', de tal modo que os pontos VA.V'A'=A'', VB.V'B'=B'' e VC.V'C'=C'' estão sobre uma mesma reta r''. Para determinar a imagem de um ponto qualquer D por essa projetividade, toma-se D''=VD.r'' e vem D'=V'D''.r
Esta projetividade é composta das duas perspetividades centradas em V e V'.
Deslocando D sobre r, pode verificar que há dois pontos de r que são imagens de si mesmos por essa projetividade, a saber o ponto P de intersecção da reta VV' com r e o ponto Q de intersecção de r'' com r (poderia este último ser o ponto do infinito de r). Não há outros pontos duplos.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Fizemos uma construção em tudo similar à anterior para definir uma projetividade entre duas pontuais ABC... e A'B'C'... de uma mesma base circular.
Por razões que se prendem com a boa definição de correspondência um a um, para centros dos feixes perspetivos tomámos dois pontos V e V' sobre a circunferência: As retas correspondentes dos feixes intersetam-se em pontos de r'': A''= VA.V'A', B''=VB.V'B' e C''=VC.V'C'.
Para determinar a imagem de um ponto D qualquer da circunferência, tomo a reta VD e D''=VD.r'', para determinar D' como intersecção de V'D''com a circunferência.
Deslocando D sobre a circunferência poderá verificar que os pontos de intersecção da circunferência com r'' são imagens de si mesmos para essa projetividade. E não há outros pontos duplos para tal projetividade. Fácil é verificar, com esta construção, que podemos determinar projetividades (entre pontuais sobre uma mesma base circular) com 0, 1 ou 2 pontos duplos (conforme r'' corte a circunferência em 0, 1 ou 2 pontos).

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Da pontual retilínea à pontual circular.

Chamámos pontuais ou fileiras de primeira categoria ou ordem a conjuntos de pontos colineares, isto é, pontos de uma mesma reta. À reta dos pontos da pontual chamámos base da pontual. Por ser uma reta a base das pontuais estudadas, usámos frequentemente o nome de pontual retilínea.
Mais recentemente, levantámos a necessidade de designar conjuntos de pontos de base cónica. Notámos que Izquierdo, por exemplo, classifica-as como pontuais de segunda categoria. E que a todas elas chama pontuais elementares (de base retilínea ou base cónica)
Definições, propriedades e processos das transformações projetivas entre pontuais podem ser estendidas da primeira para a segunda ordem.
Nesta entrada, apresentamos a construção da correspondência um para um entre os pontos de uma reta (pontual retilínea) e os pontos de uma circunferência (a palavra círculo é usada muitas vezes com o mesmo sentido e, por isso, pontual circular)
Para estabelecer essa correspondência entre os pontos de um círculo e de uma reta r, tomamos o ponto P do círculo em que a tangente respetiva interseta r no seu ponto do infinito e o feixe elementar de primeira ordem centrado em P {a, b, c, d, ...}. A reta a que interseta a circunferência em A, interseta a reta r em A' correspondente... E a reta p que interseta o círculo em P, interseta a reta r no seu ponto do infinito.

da antiga dinâmica:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura, pode fazer variar as retas do feixe centrado em P.
Para esta correspondência um a um, para centro do feixe da projeção não podemos tomar, como é óbvio, um ponto P exterior nem interior ao círculo.
Por este processo (ou análogo) aqui descrito, podemos sempre fazer corresponder a cada ponto de uma pontual retilínea um ponto de pontual cónica.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

AVISO DE ACIDENTE

Nesta última semana, por algum motivo, os originais corrigidos das publicações (entradas) desapareceram. Estamos a tentar recuperar e repor na medida das nossas possibilidades. Os cuidados de Aurélio Fernandes dão-nos provas de que as reposições são documentos provisórios cheios de gralhas e imprecisões. De facto, nós corrigíamos diretamente sobre o servidor.... de onde deixámos voar os papéis. Mantemos as portas abertas e as publicações (indecentes) porque assim podem ver as construções feitas e isso é o que nos importa mais.
De resto, podemos pedir desculpa pelos inconvenientes e incómodos de alguns leitores, mas..... isto é um blog e já vivemos vários períodos de servidores que fecharam sem aviso, construções degradadas, atualizações de aplicações (java, jar) que afastaram da nossa vista construções feitas, etc. Amadores!!! Pois.
Até logo.
Entretanto, procuramos o que falta e tentamos rever e corrigir as versões dos textos visíveis.
Os (ir)responsáveis (falando geometricamente :-) e não só),
Arsélio, Aurélio e Mariana.

Projetividade entre pontuais. Ponto duplo e pontos limite de uma homografia

Tomemos duas pontuais {A_i ∈ a: i=1, 2, 3,...} e {B_i ∈ b: i=1, 2, 3,...} com a≠b. Uma projetividade entre as duas pontuais fica bem definida por três pares de pontos correspondentes, no caso, (A₁, B₁), (A₂, B₂) e (A₃, B₃). A partir destes dados, tomando dois feixes centrados em
A₁: A₁B₁, A₁B₂, A₁B₃, e
em B₁: B₁A₁, B₁A₂, B₁A₃,
fica determinado o eixo da projetividade a passar pelos pontos (12)=A₁B₂.B₁A₂ e (13)= (12)=A₁B₃.B₁A₃. Uma projetividade é composta de duas perspetividades, precisamente A_i → (1i)= A_iB₁.[(12)(13)]→ B_i=b.[(1i)A₁.
Assim se obtém o transformado de A_∞, K de b: tira-se por B₁ uma reta (paralela) que intersete a no seu ponto do infinito e interseta o eixo de projetividade no ponto ∞1. A reta A₁∞1 interseta b em K. K é um ponto limite da homografia (neste caso, projetividade), imagem de A_∞.
Analogamente, vimos que J=(1∞)B₁.a, em que A₁(1∞) é paralela a b, é um ponto limite da projetividade por ser o original de B_∞.
O ponto a.b é o único ponto duplo dessa homografia.

da antiga dinâmica:
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis.

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Feixes perspetivos. Retas duplas de uma homografia.

Tomemos uma perspetividade entre dois feixes {a_i: i=1, 2, 3,..} e {b_i: i=1, 2, 3,..}, (sendo A∈ a_i e B∈ b_i, ∀ i; A≠B ), projetivos. Sabemos que fica determinada se os pontos a_i.b_i (i=1,2,3) forem colineares.
No caso da nossa construção ∃ r tal que a₁.b₁, a₂.b₂, a₃.b₃ ∈ r.
A imagem de qualquer reta do feixe centrado em A, a_i, é uma reta b_i do feixe centrado em B, obtida como a reta a passar por B e por a_i.r
Dizemos que AB é uma reta dupla já que é simultaneamente original e imagem para a homografia (no caso, perspetividade entre feixes).
A reta a' do feixe centrado em A interseta r no seu ponto do infinito e a sua imagem para a homografia considerada só pode ser b' que interseta r no seu ponto do infinito.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis.

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Pontuais perspetivas. Ponto duplo e ponto limite de uma homografia.

Nesta entrada rememoramos a definição e a determinação de elementos homólogos por uma homografia (perspetividade para começar). Para exemplo, tomamos uma perspetividade entre duas pontuais {A_i ∈ a : i=1, 2, 3,..} e {B_i ∈ b : i=1, 2, 3,..}, sendo a≠b ou de bases diferentes, projetivas. Sabemos que fica determinada se as retas A_iB_i (i=1,2,3) forem concorrentes.
No caso da nossa construção A₁B₁.A₂B₂.A₃B₃={V}.
A imagem de qualquer ponto de a, A_i, é um ponto B_i de b obtido como interseção de V.A_i com b.
Chamamos ainda a atenção para no caso de a e b serem concorrentes, haver um ponto de a que é imagem de si próprio. Chamamos A=B=a.b e a reta VA (do feixe por V) interseta b em B=A. Diz-se que é um ponto duplo já que é simultaneamente original e imagem para essa perspetividade. É o único ponto duplo para essa perspetividade.
Aproveitamos a nossa construção para determinar a imagem do ponto do infinito de a que é a interseção da reta VA_∞ com a reta b, VA_∞.b=A'_∞. Por essa perspetividade, o ponto B'_∞=VB_∞.a é o original do ponto do infinito de b, B_∞.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis.
Aos pontos correspondentes por homografia aos pontos do infinito de cada pontual chamamos pontos limite dessa homografia. Aos pontos que são imagens de si mesmos por uma homografia chamamos pontos duplos dessa homografia.

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Homografias e cónicas

As definições de projetividade eunciadas na entrada anterior são todas equivalentes.
Trabalhámos com projetividades definidas por quatro elementos e seus transformados.
Especialmente trabalhámos com projetividades entre pontuais e entre feixes. A projetividade definida entre duas pontuais {A, B, C, D} e {A', B', C', D'} sobre uma mesma base (reta), pode ter no máximo dois pontos duplos. Se as pontuais projetivas estiverem sobre retas diferentes não poderão ter mais que um ponto duplo que, caso exista, será o ponto comum às duas pontuais, ou seja, será o ponto de interseção das retas base das pontuais projetivas. Também se demonstrou que, dados três pares de pontos correspondentes A e A', B e B, C e C' de duas pontuais projetivas, podemos sempre determinar uma cadeia de projeções e secções para relacionar uma com outra pontual e que qualquer que seja a cadeia utilizada obtemos sempre a mesma projetividade (Teorema Fundamental da Projetividade),o que equivale a dizer que uma projetividade entre pontuais retilíneas fica bem determinada por três pares de pontos correspondentes ou homólogos.
É claro que estes resultados se aplicam tanto a pontuais retilíneas projetivas como a feixes projetivos. À pontual ou conjunto de pontos colineares (sobre uma reta ou base) e ao feixe de retas concorrentes (a passar por um mesmo ponto ou centro) Izquierdo chama formas de primeira categoria ou ordem
Claro que, após todo o trabalho com projetividades usando formas de primeira categoria, acabámos por chegar a definições de outras formas: Por exemplo, chegamos à noção de cónica como lugares geométricos dos pontos de interseção das retas correspondentes de feixes projetivos não perspetivos, como pode ver-se na entrada Definição projetiva de cónicas, onde se pode ver que pontuais perspetivas definem um ponto (o centro da perspetividade que é o centro da projeção ou centro do feixe de que as duas pontuais são secções) e que as retas de dois feixes perspetivos se intersetam em pontos sobre uma reta ou que dois feixes perspetivos definem uma reta.

Nessa entrada, são apresentadas construções de pontos e retas como lugares geométricos de pontos e retas relaciondas por perspetividade, e de cónica como lugares geométricos de pontos e retas relacionados por projetividade não perspetiva.
Retomamos a construção da definição de cónicas usando projetividades
Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis para verificar a variação das diversas razões.
Tomaram-se duas pontuais {A_i: i=1, 2, 3, 4,...} (de a) e {B_i: 1, 2, 3, 4,...} (de b), projetivas não perspetivas, sendo para cada i, A_i → B_i. Cada uma das retas A_iB_i é tangente a uma cónica num dos seus pontos.
Tomámos também os feixes de retas - {a_i =AA_i: i=1, 2, 3, 4,...} (de centro A) e {b_i =BB_i: i=1, 2, 3, 4,...} (de centro B) - projetivos não perspetivos sendo para cada i, a_i→b_i. O lugar geométrico dos pontos a_i.b_i é uma cónica.

Chamamos a atenção para o facto de termos usado em todos os casos, projetividades que relacionam pontuais com pontuais (pontos para pontos) e feixes com feixes (retas com retas), isto é, os elementos homólogos ou correspondentes são da mesma espécie. Estas projetividades chamam-se homografias.
Há projetividades que não são homografias: já estudámos as correlações que fazem corresponder pontos a retas ou retas a pontos ...

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Projetividade e razão dupla

Já abordámos em diversas circunstâncias e por diversos motivos as razões a que chamámos razões cruzadas (cross-ratio) e mais recentemente razões duplas (na terminaologia de Izquierdo) para cada quaterno de pontos colineares que representámos por (A,B;C,D) ou (ABCD), tendo o cuidado de escolher um sentido sobre a (reta dos 4 pontos), por exemplo de A para B.

Verificámos também em várias ocasiões que, sempre que há uma projetividade que transforma pontos A, B, C, D de a respetivamente em A', B', C', D' de a', então (ABCD)=(A'B'C'D'). Verificámos ainda que o mesmo acontece para razões duplas de feixes de retas projetivos.

Na construção que se segue, repetimos a construção relativa à noção de projetividade (como sequência de projeções e secções) definida por Coxeter, apresentada em Projetividade, de modo a ilustrar a invariância da razão cruzada ou dupla de dois quaternos de pontos colineares projetivos.

Pode verificar-se ainda que cada razão simples (ABC) pode não manter-se invariante por projetividade enquanto que a razão dupla (razão de razões simples) se mantém invariante.




Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis para verificar a variação das diversas razões.

Izquierdo, a (ABCD), chama razão dupla ou anarmónica quando (ABCD)≠-1 e razão harmónica quando (ABCD)=-1. Do mesmo modo, chama quaterno anarmónico ou harmónico conforme o valor da razão dupla respetiva. Como vimos a razão dupla de um feixe de 4 retas tem o mesmo valor de qualquer pontual que seja obtida por secção determinada por uma reta que não passe pelo centro ou vértice do feixe.

Conforme Izquierdo, Projetividade pode ser definida como correspondência um a um, que transformando pontos em pontos e retas em retas, mantém invariantes as razões duplas de pontuais ou feixes, i.e, duas formas de primeira categoria são projetivas se estão relacionadas harmónica ou anarmonicamente ou podem deduzir-se por projeções ou secções. Cita, a propósito,
Chasles: Duas formas de primeira categoria (pontuais ou feixes) são projetivas se estão relacionadas anarmonicamente,
von Staudt: duas formas de primeira categoria são projetivas se estão relacionadas harmonicamente e
Poncelet: duas formas de primeira categoria são projetivas se podem obter-se uma da outra por meio de projeções e secções

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