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13.9.14

Círculo "misto" de um triângulo retângulo

circuncírculo, incirculo e círculo misto de um triângulo retângulo
Problema: Tomados 3 pontos que definem um triângulo [ABC] retângulo em C e um círculo (circuncírculo do triângulo), construa-se o círculo tangente interiormente aos dois catetos e ao circuncírculo.

Clicando nos botões de "mostra/esconde" à esquerda, poderá ver os diversos círculos, segmentos e pontos que podem ajudar a perceber a construção e as relações que se estabelecem.
  1. Dados A, B, C, a=BC, b=CA, c=AB tais que BCCA e, em consequência,
    a2+b2 = c2
  2. Clicando no botão "circuncírculo", aparece um círculo de centro O que passa pelos pontos A, B, C de raio R = OA = OB = OC. No triângulo retângulo O é o ponto médio da hipotenusa [AB] e, por isso, de comprimento c / 2. Como sabemos,
    (c / 2)2 = OA2 = OB2 = OC2 = ON2 + OM2 = (a / 2) 2 + (b / 2)2

    © geometrias, 12 de Setembro de 2014, Criado com GeoGebra



  3. Clicando no botão "mista/solução" ficamos com a figura correspondente ao problema já resolvido. Temos o círculo (O, R)= (O, c / 2) e o círculo (O1, r1) tangente a BC, CA, (O, R). Analisar o problema de construção resolvido, esclarece como o resolvemos de facto.
    • Como (O_1, r1) é tangente interiormente a (O, R) = (O, c/2 ),
      OP=R=c / 2 = OO1+ r1 e, em consequência, OO1 = c / 2 - r1
    • O triângulo OO1Z é retângulo em Z, e OO1 2 = O1Z2 + ZO2.
      Ora O1Z = O1V-ON = r1-a / 2 e OZ = OM - MZ = b / 2 - r1
    • Finalmente,
      ( c / 2 - r1)2 =( r1 - a /2)2 + (b / 2 - r1)2
      ( c / 2)2 +(r1 )2 - c.r1 = ( r1)2+ (a / 2)2 -r1.a + ( b / 2)2 +( r1)2 -b.r1
      c2+4.r1 2 -4cr1 = 4r12+a2-4ar1 +b^2+4r12 -4br1
      E, como c2 = a2 + b2, podemos simplificar, obtendo
      -4cr1 =-4ar1-4br1+4r1^2 ou finalmente r1= a+b-c.
    Esta análise feita sobre a figura do problema resolvido permite-nos construir a circunferência mista/solução. Como esta circunferência é tangente a CA e a BC,, o seu centro O1 está à distância r1= a+b-c de cada um dos catetos, é a interseção da perpendicular a CA tirada por um ponto V tal que VC =a+b-c com a perpendicular a BC tirada pelo ponto W tal que WC=a+b-c.
  4. Clique agora no botão "incirculo", para ver o círculo tangente interiormente aos três lados do triângulo. Pode esconder as construções anteriores clicando no botão da direita alta para reiniciar ou usando os botões ocultar "circuncírculo" e "mista/ solução" caso estejam vísiveis. Como sabemos o centro do incírculo é equidistante dos três lados do triângulo, ou seja é o ponto de interseção das três bissetrizes.
  5. Calculemos, em função de a, b, c dados, o comprimento do inraio r = IJ=IK=IL:
    • AC pode ser visto como a tangente a (I, r) tirada pelo ponto A ou tirada por C. Do mesmo modo, AB é tangente ao incírculo tirada por A ou por B. E BC é tangente ao incírculo tirada por B ou por C
      Como os segmentos das duas tangentes tiradas por um ponto são iguais, temos AJ=AL, BK=BL, CJ=CK.
      Por outro lado, temos AL+LB =AB=c, BK+KC=BC=a, CJ+JA=CA=b e AL+LB +BK+KC+CJ+JA= a+b+c. Mais simplesmente 2BK+2CJ+2AL = a+b+c . Designando por 2p o perímetro a+b+c do triângulo, BK+CJ+AL=p, sendo p o semiperímetro do triângulo. E, como CJ+AL = b, BK = BL= p-b. Do mesmo modo, como BK+CJ=BC=a, AL= AJ =p-a. E como BK+AL= BL+AL= c,\ CJ=CK= p-c.
    • Claro que, neste caso do triângulo retângulo em C,
      r= CJ=CK = p-c = (a+b+c)2 - c = (a+b-c)2
  6. Vimos assim que, para qualquer triângulo retângulo, se verifica a seguinte relação: o raio - r1 - da circunferência tangente aos dois catetos e ao circuncírculo do triângulo é o dobro do raio - r - do incírculo, circunferência tangente aos 3 lados do triângulo

Problema de construção, a partir de A collection of 30 Sangaku Problems, de J. Marshall Unger, Ohhio State University.