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28.12.17

Hoje é Dia de Aniversário do GEOMETRIAS


No dia 28 de Dezembro de 2004, publicámos a primeira mensagem neste bloGeometrias, a saber:
A primeira experiência [28/12/04]
Durante estes anos passados, recebemos mais de 1 000 000 de visitas interessadas em construções geométricas e vindas de todo o mundo - brasileiras na sua maioria. Talvez tenhamos servido de ajuda a um ou outro. Pelo nosso lado, fomos estudando geometria básica. Ao longo dos anos trabalhámos com Cinderella, ZuL (CaR), … Geogebra... e fomos sendo abandonados por problemas com servidores, programas e linguagens que a geometria e a teimosia só em parte pôde resolver. Pode ser complicado ver e manipular algumas ou muitas das nossas construções dinâmicas. Não nos é possível rever tudo. Agradecemos agora todas as críticas e sugestões. Outros processos e projectos a que nos ligámos já estão anulados pela passagem do tempo ou abandonados à sua sorte.
OBRIGADO A TODOS OS QUE NOS VISITARAM.
ESPERAMOS TER AJUDADO A PENSAR EM GEOMETRIA BÁSICA DINÂMICA.
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Enunciado do problema (adaptado):

Inscrever numa dada esfera de raio 1 um cilindro de área máxima: que dimensões para o cilindro?

O problema é citado numa carta (10.11.1642)) enviada de Fermat para Mersenne, aqui apresentado como exemplo da potência da notação de Leibniz. Nesta entrada vamos simplesmente ilustrar o problema reduzindo à determinação de um representante dos retângulos de área máxima de entre todos os que podem inscrever-se numa circunferência de raio 1, já que a superfície do cilindro é o varrimento feito pela altura a rodar em torno do eixo a passar pelos centros das bases e, por isso , a sua área é dada por um produto da altura $\;h\;$ pelo perimetro $\;2\pi r\;$ da circunferência base ou seja $\;pi b\;$ se chamarmos $\;b\;$ segunda dimensão da secção do cilindro cortado ao meio longitudinalmente por um plano a passar pelos dois centros das bases.
A 1ª figura( parte superior da janela) apresenta uma esfera de raio 1 e nela inscrito um cano cilíndrico que a atravessa. As bases do cilindro (bocas dos canos) são circunferências de diâmetros variáveis entre zero e dois que é diâmetro da esfera. Apresenta-se também o retângulo - corte longitudinal. E, claro, os valores correspondentes às dimensões de cada retângulo, bem como o valor correspondente à superfície de cada revolução cilindrica - $\; \pi .b .h\;$.

Na parte inferior da janela, apresenta-se a figura de um círculo máximo da esfera e nele inscrito um retângulo (dimensões variáveis) em que uma delas será diâmetro da base e outra a altura do cilindro (variáveis) Sabemos que $\;b: 0 < b < 2\;$ bem como $\;h: 0 < h < 2\;$ e que $\;b^2+ h^2 = 4,\;$ já que cada um dos retângulos inscritos é dividido em dois triângulos retângulos de catetos $\;b,\; h\;$ e hipotenusa igual ao diâmetro do circulo máximo (ou da esfera). Por isso os pontos $\;(b,\; h)\;$ são pontos de uma circunferência de raio $\;2\;$ e os pontos $\;b, bh\;$ são pontos de uma curva de função $$\; b \mapsto b.\sqrt{4-b^2}$$ de domínio$\;]0, 2[,\;$ cuja derivada em ordem a $\;b\;$ é $$b \mapsto \sqrt{4-b^2} - \frac{b^2}{\sqrt{4-b^2}}= \frac{4-2b^2}{\sqrt{4-b^2}}$$ tal que $$\frac{4-2b^2}{\sqrt{4-b^2}}=0 \Leftrightarrow b=-\sqrt{2} \vee b= \sqrt{2}$$ e, por isso, de entre todos os retângulos, o retângulo que tem área máxima $\;2\;$ de dimensões $\;b=h=\sqrt{2}\;$ é um quadrado.
E o cano cilíndrico que atravesssa a esfera de um metro de raio tem área lateral $\;\pi. \sqrt{2}. \sqrt{2}\; m^2 = 2\pi\; m^2\;$ que é quanto precisa de placa de lata
ou seja, de uma placa de dimensões $\;\pi \sqrt{2}\;$ metros por $\;\sqrt{2}\;$ metros □


Alexander Ostermann, Gerhard Wanner. Geometry by its History. Sprnger, p. 195,196
Cylinder with maximal surface area in a sphere.
Problem: Inscribe in a given sphere of radius $\;1\;$ a cylinder with radius $\;y\;$ and height $\;2x\;$ of maximal surface area.

23.1.15

Espiral de Fermat



No Tratado das Curvas, Gomes Teixeira chama espiral de Fermat a uma curva que, em termos de construção, não acrescenta novidade à espiral de Arquimedes da anterior entrada.
A nossa entrada de hoje aborda só uma construção da Espiral, esclarecendo a definição. Para cada $\;Q\;$ existe um ângulo $\;\theta\;$ e ponto $\;D\;$ sobre $\;AB\;$ tal que $$\begin{matrix} & \cal{R} (A, \theta)& \\ D& \mapsto & Q\\ \end{matrix}$$ sendo que para cada $\;D\;$ de $\;AB\;$ haverá um $\; k: \;0 \leq k\leq 1\;$ tal que $\; D=A+k\times(B-A)\;$ (ou $\; \overrightarrow{AD}= k\times \overrightarrow{AB}$):
  • : $\; k=0 \Leftrightarrow D=A, \; k=1 \Leftrightarrow D=B\;$
  • e para sincronizar os dois movimentos $\; k = \displaystyle \frac{\theta}{2\pi}: \;$
    $\theta=0 \Leftrightarrow k=0 \Leftrightarrow Q=D=A, \; \theta=2\pi \Leftrightarrow k=1 \Leftrightarrow Q=D=B\;$
Cada ponto $\;R\;$ é obtido por rotação em torno de $\;A\;$ e ângulo $\;\pi+theta\;$ de um dos pontos D, exatamente $\;D=A+\displaystyle \frac{\theta}{2\pi}(B-A)\;$ que é o mesmo que dizer que $\;R\;$ é obtido como imagem de $\;Q\;$ por meia volta de centro em $\;A\;$

© geometrias: 20 janeiro 2015, Criado com GeoGebra


A espiral construída é o conjunto de pontos $$\;\left\{\;Q: \;AQ = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} \theta\right\}\;$$ e $$\;\left\{\;R: \;AQ = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} (\theta+\pi)\right\}\;$$ em que são dados $\;A, \;B\;$ e $\;\theta\;$ toma valores no intervalo (de radianos) $\;[ 0, \; 2\pi ]. $
Francisco Gomes Teixeira. Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches (Tome II) Obras sobre Mathemática vol V, Imprimérie de l'Université. Coimbra: 1909