tag:blogger.com,1999:blog-98086282012-01-27T20:59:59.204Z<img src="http://geometrias.eu/deposito/homemcadeira.jpg" width="200"><br> <br> <i>Construções com ajuda de:</i> <hr> <a href="http://cinderella.de">Cinderella [U. Kortenkamp]</a><br> <a href="http://renegrothmann.de/car.html"> ZuL ou CaR [R. Grothmann]</a> <br> <a href="http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/index_en.html">CaRmetal [E. Hakenholz]</a> <br> <a href="http://www.geogebra.org/cms/"> GeoGebra [M. Hohenwarter]</a><br>A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.comBlogger7851100tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-86383850067816164132012-01-24T13:21:00.004Z2012-01-24T15:24:26.655Z

Pavimentamos o plano, com ladrilhos todos congruentes não lado com lado, sem simetrias de translação e em que cada ladrilho pode ser dividido num certo número de ladrilhos iguais e semelhantes ao original. À esquerda, uma pavimentação com esfinges congruentes e à direita com triângulos retângulos em que um cateto é dobro do outro e em que cada triângulo pode ser dividido em 5 congruentes a ele

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-81643017267614896042012-01-21T02:39:00.002Z2012-01-21T02:48:47.877Z

Pavimentamos o plano negro, com ladrilhos todos congruentes, mas sem simetrias de translação. À esquerda, uma pavimentação com triângulos isósceles congruentes e simetrias de reflexão e de rotação (D12) e à direita com pentágonos côncavos equiláteros e simetrias de meia volta (C2) (ferramenta de Mariana Sacchetti, rotações e reflexões). Deslocando os pontos a verde, em cada figura

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-40978686250861332342012-01-20T10:49:00.002Z2012-01-20T10:53:43.585Z

Da lista de problemas apresentada por Hilbert durante o segundo Congresso II Congresso INternacional de Matemáticos que se realizou em 1900 (Paris) constava um problema sobre pavimentações: Será verdade que qualquer pavimentação pura (monoedral, composta por polígonos congruentes) também admite que há uma simetria da pavimentação que leva de um ladrilho para qualquer outro? Supostamente, Hilbert

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-76654682809789013482012-01-18T00:23:00.000Z2012-01-18T00:23:38.104Z

As pavimentações do plano construídas até agora são periódicas (admitindo simetrias de translação associadas a dois vetores independentes). Dada uma pavimentação regular ou semi-regular, ao seu grupo de simetrias correspondem pavimentações todas semelhantes a ela. Destas pavimentações periódicas compostas por ladrilhos poligonais regulares em que cada lado de um polígono é comum a dois polígonos

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-21486634888179818912012-01-12T20:33:00.002Z2012-01-20T11:03:39.495Z

Publicamos ilustrações estáticas das pavimentações regulares e semi-regulares, feitas a partir das construções dinâmicas que foram sendo apresentadas nas diversas entradas sobre pavimentações. Pavimentações regulares 3.3.3.3.3.3 4.4.4.4 6.6.6 Pavimentações semi-regulares ou arquimedianas 3.3.3.3.6 3.3.3.4.4 3.3.4.3.4 3.6.3.6 3.4.6.4

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-88576125553687551642012-01-11T16:32:00.166Z2012-01-11T19:07:16.331Z

Nas entradas anteriores, apresentaram-se pavimentações em que todos os ladrilhos são polígonos. Para muitos autores e para efeitos de estudos dos níveis de ensino não superior, algumas delas nem sequer são consideradas ou nomeadas como pavimentações. Para os efeitos do estudo que aqui fazemos não consideramos os casos em que os pares de ladrilhos nunca têm lados comuns. Por esta entrada de hoje,

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-82936132446214164162012-01-04T15:23:00.008Z2012-01-05T15:34:08.424Z

Nesta entrada, apresentamos pavimentações com ladrilhos regulares: quadrangulares e octangulares, sendo os vértices da espécie 4.8.8 ou, dito de outro modo, cada vértice é comum a um quadrado e a dois octógonos (1x90+2x135=360) Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-5314779883664522622012-01-03T23:25:00.002Z2012-01-09T16:42:44.725Z

Nesta entrada, apresentamos pavimentações com ladrilhos regulares, ambas com ladrilhos triangulares, quadrangulares e hexagonais. Cada vértice é vértice de um triângulo, de dois quadrado e de um hexágono (1x60+2x90+1x120=360). Da primeira, todos os vértices são da mesma espécie e, vistos por uma determinada ordem circular, os polígonos aparecem sempre 3.4.6.4 (são do mesmo tipo). Da segunda,

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-2006744643790013412012-01-02T15:47:00.003Z2012-01-03T18:58:48.298Z

Nesta entrada, apresentamos pavimentações de ladrilhos regulares, uma com ladrilhos triangulares e dodecagonais e outra com ladrilhos quadrangulares, hexagonais e dodecagonais regulares e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum. Na primeira das pavimentações, cada vértice é vértice de um triângulo e de dois dodecágonos (

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-72427742064025707222012-01-01T14:43:00.002Z2012-01-03T18:59:27.306Z

Apresentamos, nesta entrada, pavimentações com ladrilhos regulares com ladrilhos triangulares e quadrilaterais regulares e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum. Nestas pavimentações, cada vértice é vértice de três triângulos e de dois quadrados (3x60+2x90=360). Na primeira, todos os vértices são da espécie 3.3.3.4.4.

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-88657940414025645992012-01-01T13:00:00.003Z2012-01-05T16:10:02.985Z

Apresentamos, nesta entrada, pavimentações com ladrilhos regulares, triangulares e hexágonos e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum. Na primeira destas pavimentações, cada vértice é vértice de dois triângulos e de dois hexágonos, e é por isso que dizemos que todos os vértices são da mesma espécie 3.6.3.6 (2x60+2x120=360).

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-2624687764230960822011-12-28T23:42:00.007Z2012-01-05T16:32:20.268Z

Apresentamos, nesta entrada, pavimentações com ladrilhos regulares: triângulos e hexágonos e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum. Na primeira destas pavimentações, há vértices rodeados por dois triângulos e de dois hexágonos (2x60+2x120=360) e vértices rodeados por 3 hexágonos (3x120=360). Na segunda, cada um dos

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-43092941414080831142011-12-28T00:36:00.002Z2011-12-28T15:28:00.102Z

Apresentámos inicialmente pavimentações regulares com um só tipo de ladrilho poligonal e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum. Apresentamos, nesta entrada, pavimentações em que os ladrilhos são polígonos regulares mas em que acontece não haver dois com lados comuns. No caso, geradas usando meias voltas, uma com triângulos

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-26630531281411193182011-12-24T21:09:00.003Z2011-12-24T21:11:11.354Z

... de grandes festas. BOAS FESTAS.

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-28148147678295742792011-12-24T19:05:00.001Z2011-12-24T19:48:35.755Z

De entre as pavimentações apresentados em entradas anteriores, encontram-se vários exemplos de pavimentações, com um só tipo de ladrilhos, uns côncavos outros convexos. De entre estes últimos, destacamos os retângulos que pavimentam. Pavimentações como essa de ladrilhos retangulares tomam o nome de pavimentações irregulares. Qualquer triângulo pavimenta o plano. E também um quadrilátero

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-39827556584905326612011-12-23T12:52:00.003Z2012-01-01T12:28:58.774Z

De entre as pavimentações apresentados nas entradas precedentes, encontram-se vários exemplos de pavimentações (com um só tipo de ladrilhos) de entre os quais destacamos os quadrados (p4m) que pavimentam. Pavimentações como essa de ladrilhos quadrados tomam o nome de pavimentações regulares em que cada vértice é vértice de 4 ângulos retos (4x90=360) ou de 4 quadrados (todos os vértices são da

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-23355256515150504892011-12-19T15:45:00.000Z2011-12-19T15:45:53.369Z

Apresentamos ilustrações dos grupos que admitem simetrias de rotação de grau 6 (e consequentes simetrias de rotação de grau 2 e 3). GRAU 6 p6 Sem eixos de simetria p6m Com eixos de simetria

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-43623565164900731892011-12-15T23:43:00.001Z2011-12-19T15:46:35.580Z

Apresentamos ilustrações dos grupos que admitem simetrias de rotação de grau 3 apenas. GRAU 3 p3 Sem eixos de simetria p3m1 Todos os centros de grau 3 estão em eixos de simetria p31m Um eixo de simetria não passa por quaisquer dos centros de grau 3

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-3914854635964433382011-12-14T16:56:00.004Z2011-12-19T15:47:04.593Z

Apresentamos ilustrações dos grupos que só admitem simetrias de rotação de grau 4 (e consequentes simetrias de meia volta, compostas de rotações de 90º). GRAU 4 p4 Sem eixos de simetria p4m Um eixo de simetria passando por centros de grau 4 p4g Um eixo de simetria não passa por quaisquer dos centros de grau 4

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-64885733658047141362011-12-11T01:04:00.001Z2011-12-11T01:09:35.851Z

Apresentamos ilustrações dos grupos que não admitem simetrias de rotação de grau superior a 2. SÓ CENTROS DE GRAU 2 p2 Sem simetrias de reflexão ou reflexão deslizante cmm Alguns dos centros das meias voltas não estão sobre eixos de simetria pmm Todos dos centros das meias voltas estão sobre eixos de simetria pmg Os eixos de simetria são todos paralelos pgg Não há eixos de

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-17355435778700912552011-12-10T00:48:00.003Z2011-12-19T15:47:48.176Z

Como podemos facilmente verificar uma parte das ilustrações dos grupos de simetrias do plano apresentadas como padrões de papel de parede ilustram diferentes pavimentações do plano (para a definição feita na entrada anterior). Para além de outras, assim acontece com as últimas ilustrações dos exercícios de identificação (tendo F como motivo mínimo), publicados recentemente. Em Martin, G.

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Chamamos região poligonal(referida como polígono) a uma região contendo a sua própria fronteira, sendo esta uma linha poligonal fechada ou conjunto de segmentos de reta em que cada um dos extremos de um dos seus segmentos é extremo de outro segmento do conjunto. Dizemos que um conjunto P de polígonos {Pn: n ∈N} é uma pavimentação do plano quando, para cada ponto do plano existe pelo menos um

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-7668066924822091942011-12-03T18:50:00.004Z2011-12-19T16:04:52.170Z

(exercícios propostos em Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982) Pensamos ter resolvido bem estes exercícios, mas, ... quem sabe?

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(exercícios propostos em Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982)

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-26218651747463776662011-11-29T09:44:00.002Z2011-11-29T09:44:57.688Z

(exercícios propostos em Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982)

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-16307794324974981772011-11-27T22:09:00.000Z2011-11-27T22:09:52.335Z

(exercícios propostos em Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982)

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-89129308364907561262011-11-25T23:13:00.000Z2011-11-25T23:13:16.396Z

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A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-54944191927731673572011-11-21T15:58:00.000Z2011-11-21T15:58:23.940Z

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-50098252431671161152011-11-17T13:24:00.001Z2011-11-17T13:25:04.076Z

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A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-43346021554207626302011-11-08T18:13:00.003Z2011-11-10T11:55:58.344Z

Vamos apresentar algumas ilustrações e esperar que consigam identificar as simetrias dos grupos a elas associados, bem como a classificação do padrão em jogo.

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Algumas fontes sobre isometrias e simetrias do plano Algumas ligações úteis Symmetries of Culture- Donald Crowe http://euler.slu.edu/escher/index.php/Wallpaper_Patterns#Wallpaper_Patterns http://www.oswego.edu/~baloglou/103/seventeen.html http://clowder.net/hop/17walppr/17walppr.html Atractor - Simetrias Eduardo Veloso - GSP Eduardo Veloso Lopes, Isabel Cristina da Silva; GRUPOS CRISTALOGRÁFICOS

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Há 17 padrões cristalográficos do plano. Em cada uma das 17 entradas (artigos) anteriores ilustrámos cada um deles com construções dinâmicas feitas em Geogebra, aplicação (de uso livre e livre de custos) recomendada no programa do ensino básico de matemática. Esta entrada tem por objetivo único apresentar uma lista (tabela classificativa) que nos permita enumerar (distinguindo cada um) todos os

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Na ilustração que se segue, mostramos a região fundamental (com todos os seus elementos) do trabalho para a nossa última das ilustrações dos 17 padrões cristalográficos do plano. Neste caso, o motivo mínimo é o triângulo com um vértice assinalado a verde e todos os tipos de simetrias do padrão estão no losango cinzento: as diagonais a cheio são os espelhos perpendiculares, os lados não

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No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração de um grupo de simetrias do plano em que, para além de simetrias de translação associadas a combinações lineares de dois vetores (v e w) de diferentes direções e de comprimentos iguais - losango, usámos a reflexão relativa à diagonal menor e uma reflexão deslizante com a mesma direção da diagonal menor (no caso paralela

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MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração de um grupo de simetrias do plano em que, para além de simetrias de translação associadas a combinações lineares de dois vetores de diferentes direções e de comprimentos iguais - losango de dois triângulos equiláteros, usámos reflexões relativas

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-79674490326314908242011-10-19T11:51:00.002+01:002011-10-21T19:03:14.237+01:00

MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração de um grupo de simetrias do plano em que, para além de simetrias de translação associadas a combinações lineares de dois vetores de diferentes direções e de comprimentos iguais - losango de dois triângulos equiláteros, usámos rotações de $120^o$

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-806643735349559772011-10-17T21:34:00.001+01:002011-10-19T10:18:53.855+01:00

MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração de um grupo de simetrias do plano em que, para além de simetrias de translação associadas a combinações lineares de dois vetores de diferentes direções e de comprimentos iguais - losango de dois triângulos equiláteros, usámos rotações de $60^o$

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-22420908848599439082011-10-12T18:44:00.002+01:002011-10-12T18:48:49.146+01:00

MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração de um grupo de simetrias do plano em que, para além de simetrias de translação associadas a combinações lineares de dois vetores perpendiculares e de comprimentos iguais - quadrado, usámos rotações de $90^o$ com centro nos vértices do quadrado e

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-83728863300385133662011-10-11T01:51:00.000+01:002011-10-11T01:51:50.233+01:00

MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m.\vec{u}+n.\vec{2v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), há simetrias de reflexão deslizante associada ao vetor $\vec{v}$ e reflexões associadas a

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-9109349044698323342011-10-06T11:39:00.004+01:002011-10-09T13:44:18.616+01:00

MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m.\vec{u}+n.\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), há simetrias de reflexão associadas a espelhos perpendiculares, aliás com as direções de $\vec{u}$ e

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-69308273269287151292011-10-05T15:39:00.004+01:002011-10-09T14:50:11.475+01:00

MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m.2\vec{u}+n.2\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), temos simetrias de reflexões deslizantes associadas aos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ ortogonais.

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-80734716401439466302011-09-21T10:35:00.005+01:002011-10-09T14:50:53.310+01:00

MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m\vec{u}+n\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), temos simetrias de rotação associadas a um ângulo de $60^o$ de amplitude. O motivo mínimo é Clicando

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-76638966955749005142011-09-20T23:35:00.009+01:002011-10-09T14:51:26.858+01:00

MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m\vec{u}+n\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), temos simetrias de rotação associadas a um ângulo de $90^o$ de amplitude. O motivo mínimo é Clicando

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-72717084236666789872011-09-20T17:31:00.006+01:002011-10-09T14:52:22.518+01:00

MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m\vec{u}+n\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), temos simetrias de rotação associadas a um ângulo de $120^o$ de amplitude. O motivo mínimo é Clicando

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-14039716471866318642011-09-14T23:24:00.011+01:002011-10-09T14:52:56.415+01:00

MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano que para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m\vec{u}+n\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$) temos simetria de reflexão associada a um espelho(mirror)ou outros com a mesma direção. O motivo mínimo é

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-75315241681964620682011-09-10T11:16:00.006+01:002011-10-09T14:53:29.390+01:00

MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); Nesta entrada, ilustramos um padrão plano que, para além das translações associadas a dois vetores independentes, tem simetria de reflexão deslizante. No caso, a um vetor $\vec{u}$ associámos uma reflexão deslizante ($g$ de glide) e já sabemos que $g \circ g= g^2=t_{2u}$. A outro vetor $\vec{v}$ está associada a

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-62879119072532400612011-09-05T02:03:00.008+01:002011-10-09T14:54:36.335+01:00

MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); Na entrada anterior, o motivo mínimo era o raminho de carvalho e o papel de parede era gerado por duas translações associadas a vetores não paralelos. O grupo de simetrias ilustrado nesse papel de parede era um conjunto de translações munido da composição de transformações, a saber: $(\left\{t_{m.\vec{u}+n.\vec{v}} :

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-46069369124749221302011-08-24T14:20:00.075+01:002011-10-09T14:55:41.574+01:00

MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); Tome-se o friso da entrada anterior. Por translações associadas a $\vec{u}\quad$ e $\vec{v}\quad$ (independentes) aplicadas à figura (motivo mínimo, "primitive(?)"), obtém-se o padrão plano que se ilustra a seguir. As translações associadas a $\vec{u}\quad$ e $\vec{v}\quad$ constituem simetrias da figura. Clicando

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MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); 1. Rosáceas Os chamados grupos de simetria de Leonardo (rosáceas) constituem-se como grupo de transformações do plano - finito, discreto, de rotações, reflexões e suas compostas - em que os eixos das reflexões passam pelo centro das rotações e, por isso, é um grupo de transformações em que há um ponto que é

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As notações convencionadas para classificar cada padrão de friso consistem em quatro símbolos ordenados da esquerda para a direita. Na primeira posição há sempre um p a indicar que o padrão se repete de forma periódica numa direcção horizontal. Na segunda posição pode aparecer m ou 1: mirror (espelho), caso haja uma simetria de reflexão com eixo vertical; 1 em caso contrário. Na terceira

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Na construção dinâmica que se segue, clicando nos botões de navegação ao fundo, pode seguir a construção passo a passo de um friso gerado por reflexões s1 e s2 respectivamente relativas aos eixos e1 e e2 paralelos (verticais) e uma outra reflexão s3 relativamente a um eixo horizontal h. A partir de um objeto inicial -(d)- verá sucessivamente s1(d), s2(d), s1(s2(d)), (d)), s2(s1(d)), s1(s2(s1(d))

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Temos vindo a apresentar diversos tipos de frisos que vamos classificando de acordo com as transformações usadas para os gerar - translações, rotações de meia volta, reflexões relativas um eixo e reflexões deslizantes (tomamos a horizontal como direcção de desenvolvimento do friso). Vamos indicando, para cada um, a classificação generalizadamente considerada, que se associa a cada tipo de friso

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Na abordagem de grupos de simetrias infinitos que são ilustrados por repetições periódicas de algum motivo numa direção (horizontal, por facilidade), temos apresentado diferentes ilustrações (ou composições), as transformações geométricas geradoras de cada grupo de simetrias e mesmo o conjunto dessas transformações. Antes do friso que ora apresentamos, as transformações geométricas mobilizadas

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Na construção que apresentamos a seguir, o friso de duas filas de RRR(erres) corresponde a um grupo de simetrias gerado por uma reflexão deslizante g, associada ao eixo de reflexão a e ao vector v. Clicando no botão 'reflexão deslizante' pode ver o espelho (a) e o vetor (v) a ela associados. Clique depois em 'deslocar para ver a simetria' (por translação e ver a composição que a simetria

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Na construção se se segue partimos de um friso de RRRR (erres) com simetria de translação (correspondente ao primeiro grupo infinito de simetrias aqui apresentado). Clicando sobre o botão 'reflexão' obtém-se, por reflexão um novo friso correspondente a um grupo de simetrias gerado por uma translação t associada a um vector u e uma reflexão h de eixo a (com a mesma direção de u). O conjunto de

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Partimos de um elemento figurativo que, por uma translação associada a vetores u e -u, decora uma fita com infinitas pequenas figuras todas iguais (seguindo uma mesma direção e um mesmo sentido) tal como se mostrou na primeira ilustração de friso. Neste novo friso, acontece que a cada uma das figuras corresponde uma outra obtida por rotação r de 180 graus (meia volta) em torno de um ponto sobre

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Do mesmo modo que apresentámos uma rosácea com repetições segundo direções diferentes em torno de um ponto e igualmente espaçadas de uma amplitude angular, na construção seguinte apresentamos uma figura onde podemos observar um padrão de repetições segundo uma determinada direção. Um determinado vetor dá-nos a direção das repetições e o espaçamento (em comprimento) entre as repetições. Clique

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Abordámos antes as rosáceas ou grupos de simetria de Leonardo: com um número finito de elementos ou isometrias: reflexões, rotações e suas compostas (ou produtos). Temos claro que duas isometrias do plano são a mesma quando cada ponto do plano tem a mesma imagem para as duas isometrias. Por exemplo, a imagem de um ponto A do plano por uma rotação de centro O e amplitude 45 graus é a mesma que se

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A figura da construção seguinte ilustra um grupo de simetrias do tipo D4, composta por um octógono e um dodecágono estrelado concêntricos e com alguns eixos alinhados. Vistos separadamente, teríamos um D8 e um D12. O número de simetrias da figura é 4=MDC(8,12), como pode confirmar, clicando em "rodar para ver" e deslocando o ponto verde no sentido positivo. Gerado por uma reflexão axial s e uma

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Na construção seguinte, a rosácea é constituída por quatro braços vermelhos (sobre as diagonais de um quadrado) e três braços azuis (a partir do centro de um triângulo equilátero para os seus vértices) a partir de um mesmo centro. Poderá clicar no "rodar para ver" e confirmar que há um só eixo de simetria da figura e só uma rotação de volta inteira fará corresponder a figura a si mesma. Tal como

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A construção seguinte ilustra o caso de uma rosácea de tipo D4. A figura é constituída por um octógono com 8 eixos de simetria e 8 simetrias rotacionais geradas por uma rotação de 45 graus e por um quadrado interior com 4 eixos de simetria e 4 simetrias rotacionais geradas por uma rotação de 90 graus. Por terem 4 eixos coincidentes e as 4 rotações do quadrado serem quatro das rotações que

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Consideremos um conjunto de isometrias do plano, munido da operação produto (ou composição) assim definida: Para cada ponto A, f.g(A)= g(f(A)). Este conjunto constitui-se em grupo se se verificar que (a) o produto de duas quaisquer das isometrias do conjunto é uma iosmetria do conjunto; (b) o produto é associativo; (c) a identidade ou elemento neutro para o produto é isometria do conjunto; e

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O conjunto das isometrias (translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes) do plano, munido da composição de funções, é um grupo. Vimos que a composta de duas isometrias é ainda uma isometria, que a composição é comutativa, associativa, tem elemento neutro (identidade) e que para cada isometria há uma outra que, por composição, a neutraliza. Na abordagem que fizemos antes (de 30/10/

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A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-27298146868145431322011-05-17T02:06:00.001+01:002011-05-17T02:07:21.022+01:00

Dado um paralelogramo ABCD, por C traça-se uma reta r que divida a diagonal BD em duas partes, EB e ED, tais que EB=4.ED. Seja F o ponto de interseção de r com AD. Verifica-se que FA=3.FD. Uma recta tirada pelo vértice C de um paralelogramo que determina na diagonal oposta BD a sua quinta parte determinará no lado AD a sua quarta parte. Este resultado pode generalizar-se obviamente e a sua

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-49915500170960040462011-05-15T19:51:00.000+01:002011-05-15T19:51:59.778+01:00

Tomemos um paralelogramo ABCD e uma reta r passando por A que não corte o paralelogramo. Para os segmentos BB', CC' e DD', das perpendiculares a r tiradas por B, C e D, verifica-se que CC'= BB' + DD' se C for o vértice do paralelogramo oposto a A. Demonstre esse resultado. O que acontece se r cortar o paralelogramo?

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-22271219679695834752011-05-13T22:07:00.002+01:002011-05-13T22:09:29.333+01:00

Num paralelogramo ABCD, tomemos os pontos médios de AB e CD, M e N respectivamente. DM e BN cortam a diagonal AC em dois pontos R e S que a cortam em três segmentos iguais Na construção dinâmica que se apresenta a seguir pode verificar que assim parece. Desloque os vértices do quadrilátero livremente para ver o que se passa. Pode provar o resultado?

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-60906323383941637832011-05-11T15:02:00.002+01:002011-05-11T15:02:19.222+01:00

A soma das diagonais de um quadrilátero convexo está entre os seus semiperímetro e perímetro. Na construção dinâmica que se apresenta a seguir pode verificar que assim é. E também que assim não é para quadriláteross côncavos. Desloque os vértices do quadrilátero livremente para ver o que se passa. Depois, pode pensar em justificar esse resultado.

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-73432876468928725442011-05-05T16:02:00.013+01:002011-05-05T16:59:28.009+01:00

Pelo vértice A do paralelogramo ABCD traça-se uma secante que intersete a diagonal BD no ponto E, o lado BC em F e o lado CD em F. Verifica-se que: EA2 = EF.EG

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-53314924566168084712011-05-03T16:03:00.000+01:002011-05-03T16:03:56.381+01:00

Num trapézio ABCD, a bissetriz do ângulo formado pelos lados, AD e BC, não paralelos divide cada uma das bases, AB e CD, em segmentos proporcionais aos lados não paralelos que lhe são adjacentes: MA / MB = ND / NC = AD / BC

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-20097409478054197842011-04-28T15:47:00.001+01:002011-04-28T15:50:07.902+01:00

Seja ABC um triângulo retângulo em que b=AC, c=AB; D é o pé da bissetriz do ângulo em A; k=AD. Verifica-se que: √2/k=1/b+1/c

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-72692513421867129162011-04-27T15:40:00.001+01:002011-04-28T15:51:07.321+01:00

Seja ABC um triângulo retângulo em A. Do ponto D, qualquer, da hipotenusa tira-se DE perpendicular a AB e DF perpendicular a AC. Verifica-se que: DB.DC=EA.EB+FA.FC

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-71149146905936131172011-04-26T15:55:00.003+01:002011-04-28T15:51:36.433+01:00

O triângulo ABC é retângulo em A. Seja M o ponto médio de AB. Verifica-se que a diferença dos quadrados dos segmentos CP e PB é igual ao quadrado de AC. Para demonstrar esta proposição, consideram-se os triângulos retângulos CPM, MPB, MAC.

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-89489320022630648242011-04-25T11:45:00.005+01:002011-04-29T19:42:48.464+01:00

Num triângulo retângulo, se um cateto é o dobro do outro, então o pé da altura relativa à hipotenusa divide-a em dois segmentos, sendo o maior quádruplo do menor. Os triângulos ABC,ACD e ABD são semelhantes. Da semelhança entre estes últimos:AC/AB=CD/AD=AD/BD. Como AB=2.AC, AD=2.CD então BD=2.AD=4.CD

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-87523389990483206932011-04-23T18:16:00.001+01:002011-04-28T15:52:36.971+01:00

Há problemas assim: Do triângulo ABC, prolongue-se BC e tome-se F tal que BF=4.BC. Una-se F com o ponto médio D de AB, obtendo uma recta que divide por E o lado AC. E saiba que, e não só na Páscoa, que 4.AC=7.AE A pergunta não é Qual é o interesse disso?", mas antes Porque será? Bom domingo para pensar nisso.

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-32439389520679728672011-04-21T17:25:00.001+01:002011-04-21T17:28:15.710+01:00

De um triângulo qualquer ABC, consideremos os seus lados a, b, c e as suas medianas m,n,p. Conjecturamos que 9(a4+b4+c4) = 16(m4+n4+p4) . Demonstre. Nas deambulações pelos velhos livros em busca de resultados métricos sobre triângulos (para exemplos de novos exercícios e problemas a propor) sempre vamos encontrando aqueles que nos deixam espantados e nos comprovam como era e é possível

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-27640144366856552802011-04-20T15:03:00.000+01:002011-04-20T15:03:27.827+01:00

Num triângulo ABC, tiram-se as perpendiculares BB' e CC' à bissetriz AD do ângulo Â. Os pontos A e D são separados harmonicamente pelos pontos B' e C'.

Aurelio Fernandeshttp://www.blogger.com/profile/08131618003324660381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-56028187029161161642011-04-19T15:31:00.001+01:002011-04-28T15:53:15.091+01:00

De um triângulo qualquer ABC, as alturas encontram-se no ortocentro H, ficando cada uma delas dividida em dois segmentos, por exemplo, AH e HHa. Verifica-se que AH.HHa=BH.HHb =CH.HHc

Aurelio Fernandeshttp://www.blogger.com/profile/08131618003324660381noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-20742755748628460912011-04-18T15:09:00.012+01:002011-04-18T16:30:29.843+01:00

No triângulo ABC, sejam A', B', C' os pés das perpendiculares tiradas de um ponto P qualquer respetivamente para os lados BC, AC, AB. Verifica-se que: AB'2 +BC'2+CA'2 = AC'2+CB'2 +BA'2 Para a demonstração, tomam-se os segmentos PA. PB e PC e os triângulos rectângulos PAB', PCB', PBA'. etc a que se aplicam o Teorema de Pitágoras., para obter, por exemplo AB'2 = PA2-PB'2....

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-47181255345183264082011-04-17T17:19:00.000+01:002011-04-17T17:19:43.562+01:00

As alturas de um triângulo equilátero têm comprimentos iguais. Tomado um ponto P variável dentro de um triângulo equilátero ABC, as distâncias de P aos lados AB, BC e CA têm soma constante igual à altura de ABC. O que aconteceria se o triângulo fosse simplesmente isósceles?

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-72023563736905366472011-04-16T17:35:00.001+01:002011-04-16T17:39:52.397+01:00

Num triângulo isósceles ABC em que AC=BC, as distâncias de um ponto P de AB aos lados AC e BC têm soma constante. Porquê? Constante igual a quê?

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-83559442719103210172011-04-15T16:16:00.004+01:002011-04-28T15:54:14.203+01:00

No triângulo ABC, sejam: a, b, c os comprimentos dos lados a', b', c' as distâncias do ortocentro H respetivamente a A, B, C R o raio do circuncírculo . Verifica-se que: a2+a'2 = b2+b'2 = c2+c'2 = 4 R2

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-79530358605424528562011-04-10T19:58:00.000+01:002011-04-10T19:58:24.165+01:00

Num triângulo ABC, tomemos um ponto P sobre o lado BC. Os raios das circunferências definidas por ABP e ACP são proporcionais respetivamente aos lados AB e AC.

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-36822420676391679602011-04-06T11:57:00.002+01:002011-04-06T11:58:51.458+01:00

Num triângulo qualquer ABC, tirem-se as alturas e considerem-se os seus pés nos lados opostos a cada um dos vértices, A' pé da altura tirada de A, B' de B e C' de C. Verificam-se as seguintes relações AB.AC'=AC.AB' AB'.BC'.CA' = AC'.CB'.BA' Claro que estas relações não são mais do que representantes de cada uma das famílias de relações que se obtém de outra por permutação.

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-35714214581256257542011-04-05T11:05:00.002+01:002011-04-05T15:29:45.692+01:00

O triângulo isósceles ABC está inscrito numa circunferência.Tome-se uma corda AE que intersecte o lado BC em D AB2 = AD.AE. A demonstração deste facto baseia-se na semelhança entre ABD e ABE que têm um ângulo comum e dois outros iguais porque inscritos em arcos iguais. Esta relação não é mais que um caso particular da relação da entrada anterior quando o triângulo ABC então considerado é um

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-1953522040315936872011-03-31T16:39:00.001+01:002011-03-31T16:40:50.560+01:00

O triângulo ABC está inscrito numa circunferência. A corda B'C' é paralela ao lado BC. AC' interseta BC em D. Verifica-se a seguinte relação: AB.AC = AB'.AD. A demonstração deste facto baseia-se na semelhança entre ABB' e ADC.

A. Martinshttp://www.blogger.com/profile/17708676938992724116noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9808628.post-9958324193873023062011-03-30T11:08:00.001+01:002011-03-30T11:27:11.454+01:00

Dada uma reta r e uma circunferência de centro O, sendo AC a perpendicular a r que corta a circunferência em B (AB é um diâmetro). Tomada qualquer reta AM que corta circunferência em M e a reta em M', verifica-se que AM.AM'=AB.AC invariante A demonstração deste facto baseia-se na semelhança entre AMB e AM'C, retângulos em M e C e com o ângulo A comum.

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Tomemos um triângulo ABC e a bissetriz interna do ângulo A. Seja D o pé da bissetriz no lado BC. Cada uma das circunferências circunscritas aos triângulos ABD e ACD intersectam os lados AB e AC nos pontos E e F. E o interessante é que se verifica BE = CF

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Na entrada A borboleta de 25 de Junho do ano passado, escrevia-se: Tomem-se A,B,C e D sobre uma circunferência de centro O e de tal modo que AC intersecte BD num ponto P. A perpendicular a OP tirada por P intersecta BC e AD em M e N, respectivamente. Porque é que |MP|=|NP|? A Mariana reencontrou o problema durante a leitura de um livro de divulgação (Ruelle; O cérebro do matemático. Ciência

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Se por um ponto A, conduzirmos duas rectas a cortar uma circunferência, uma delas em B e C e a outra em D e E, verifica-se a igualdade AB.AC=AD.AE Pode deslocar A, para tomar diferentes pontos de partida (dentro, sobre e fora da circunferência) e B ou D para tomar diversas secantes a passar por A. Claro que, para a demonstração, basta constatar a igualdade dos ângulos cada um a cada um dos

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Os vértices P dos triângulos ABP, tais que AP2-BP2 é constante, estão sobre uma reta. Dito de outro modo, é uma reta o lugar geométrico dos pontos P para os quais é contante a diferença dos quadrados das suas distâncias a dois pontos fixos A e B. .

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Os vértices P dos triângulos ABP, tais que AP2+BP2 é constante, estão sobre uma circunferência. Dito de outro modo, é uma circunferência o lugar geométrico dos pontos P para os quais é contante a soma dos quadrados das suas distância a dois pontos fixos A e B. Com o ponto O pode controlar o valor da constante. Para cada constante, há uma circunferência.

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