24.4.15

elementos: triângulo isósceles com ângulos da base duplos do terceiro.


As últimas entradas com publicações de alguns teoremas e problemas (acompanhados das construções dinâmicas auxiliares) de "Os Elementos" procuram chamar a atenção para a forma como Euclides organizou "Os Elementos". Procuramos fazer isso, seguindo resultados dos livros I a IV necessários para a inscrição de um pentágono regular num círculo dado. Vamos, nesta entrada, olhar para um problema de construção do Livro IV que mobiliza, entre outras proposições, as seguintes:
PROP. XI. PROB. do Livro II: Dividir uma linha reta de sorte que o retângulo da toda e de uma parte seja igual ao quadrado da outra parte
e
PROP. XXXVII. TEOR. do Livro III: Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem duas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra chegue somente até a circunferência; e se o retângulo compreendido pela reta inteira que corta o círculo e pela parte dela que fica entre o dito ponto e a parte convexa da circunferência, fôr igual ao quadrado da reta incidente sôbre a circunferência, será a reta incidente tangente do círculo
que aqui foram apresentadas anteriormente.
Livro IV - PROP.X. PROB.

Construir um triângulo isósceles de maneira que cada um dos ângulos, que estão sobre a base, seja o dobro do ângulo do vértice.

Dados dois pontos $\;A, \;B\;$, procuramos determinar, por construção com régua e compasso, um ponto $\;P\;$ tal que $\;AP=AB\;$ e que $\;\angle A\hat{B}P = \angle B\hat{P}A= 2\times \angle P\hat{A}B \;$. A primeira daquelas condições - $\;AP=AB\;$ - é verificada por qualquer ponto $\;P\;$ de uma das circunferências $ \; (A, \;AB)\;$ de centro $\;A\;$ e raio $\;AB.\;$ (ou de $\;(B, \;BA)\;$).
A segunda daquelas condições exige a verificação das proposições citadas acima e aproveitamos para chamar a atenção para a distinção entre o que são passos de uma construção da totalidade dos passos necessários para as determinações e demonstrações das propriedades e que pode agora comparar.
As regras para contar passos de uma construção são simples:
— cada utilização da régua para traçar uma reta de um ponto a outro ou passando por eles para além deles conta-se como um passo;
— cada utilização do compasso para traçar uma circunferência considerado um ponto ($\;A\;$ - centro) e um intervalo $\;AB\;$ dados conta-se como um passo;
— As interseções de retas, de reta com circunferência ou de circunferências construídas consideram-se definidas pelas retas e circunferências e não contam como passos.

Nas demonstrações dessas proposições apresentadas, que pode ver, há muitos passos que obviamente não vão constar agora:
Os primeiros nove passos chegam para determinar um ponto $\;K:\; AB\times KB = AK^2\;$ (11.2)
Os cinco passos seguintes chegam para determinar o ponto $\;P:\; AP=AB \wedge AP=AK\;$ que, seguindo (37.3) garante que por ser $\;BP^2= AB\times BK\;$ $\;BP\;$ é tangente ao círculo $\;AKB\;$
Finalmente realçamos o triângulo $\;ABP\;$ e figuras de apoio para a demonstração final com relações entre ângulos de um triângulo isósceles e inscritos e com vértices numa circunferência.


© geometrias. 22 de Abril de 2015, Criado com GeoGebra

Fazendo variar os valores de n no cursor ao fundo, pode seguir os passos da construção. Para n=15 pode ver a figura construída e os elementos que apoiam a demonstração.

Determinação de $\;K\;$ conforme (11.2)

$\fbox{n=1}$     Traça-se a reta $\;AB\;$ com régua (Postulado I)
$\fbox{n=2}$     Traça-se a circunferência $\;(A, \; AB)\;$ com compasso (Post. II) e fica definido o ponto $\;C\;$ para além dos dados
$\fbox{n=3}$     $\;(B, \;BC)\;$
$\fbox{n=4}$     $\;(C, \;CB)\;$ e ficam definidos mais dois pontos dos quais tomamos $\;D\;$
$\fbox{n=5}$     $\;DA\;$ (perpendicular a $\;AB\; $ em $\;A$ ) e ficam definidos mais dois pontos comuns a $\;AD\;$ e $\;(A, \; AB)$
$\fbox{n=6}$     $\;(E, \;EA)\;$ e ficam definidos mais dois pontos $\;F,\;G\;$ comuns a $\;(E, \;EA)\;$ e $\;(A, \; AB)\;$
$\fbox{n=7}$     $\;FG\;$ e ficam definidos outros pontos de intersecção dos quais tomamos o ponto $\;H,\;$ médio de $\;AE\;$
$\fbox{n=8}$     $\;(H, \;HB)\;$ e ficam definidos outros pontos, dos quais tomamos $\;J\;$ um dos pontos comuns a $\;(H, \;HB)\;$ e $\;DA\;$
$\fbox{n=9}$     $\;(A, \; AJ)\;$ e dos novos pontos definidos tomamos $\;K\;$ sobre $\;AB\;$ e tal que $\; AK^2 = AB\times BK\;$

Determinação de $\;P:\; BP = AK $ conforme (2.2) e (1.4)


$\fbox{n=10}$     $\;(K,\; KB)\;$
$\fbox{n=11}$     $\;(B,\; BK)\;$ e ficam definidos $\;M, \;N$
$\fbox{n=12}$     $\;MN\;$ e fica definido $\;O, \;$ ponto médio de $\;KB$
$\fbox{n=13}$     $\;(O, \;OA\;$ e ficam definidos outros pontos dos quais tomamos $\;L, \;$ tal que $\;BL=AK\;$ por ser $ \;OA =OL\;$ ou
                  $\;AK+KO = OB+BL\;$ de que removemos $\;KO\;$ e $\;BO\;$ congruentes
$\fbox{n=14}$     $\;(B, \;BL)\;$ e ficam vários pontos dos quais tomamos $\;P\;$ comum a $\;(B, \;BL)\;$ e $\;(A, \;AB)\;$

Finalmente, o que falta demonstrar:

De toda a construção feita, deixámos o segmento $\;AB\;$ e acrescentámos
  • $BP, \;PA, \;PK\;$ — três passos de construção (régua),
  • a circunferência $\;AKP\;$ (5.4)— sete passos de construção:
    $\;(A, \;AK), \; (K, \;KA), \;(P, \;PK), \; (K, \;KP),\;$ (compasso),
    as duas retas mediatrizes que definem o incentro $\;I\;$ (régua) e, finalmente.
    a circunferência $\;(I, \; IA)\;$ ou $\;(AKP)\;$ (compasso) .
Sabemos que $\;AP=AB\;$ e que, sendo $\;BP =AK, \; BP^2 = AK^2 = BA\times BK$, por (37.3) $\;BP\;$ é tangente à circunferência $\;(AKP)\;$ em $\;P.\;$

Por (32.3) $\;\angle K\hat{P}B=\angle P\hat{A}K\;$.
Acrescentando $\;\angle K\hat{P}A\;$ a cada um daqueles ângulos congruentes, (ax.2) $\;\angle K\hat{P}B+ \angle K\hat{P}A = \angle P\hat{A}K+ \angle K\hat{P}A\;$ ou $\;\angle B\hat{P}A =\angle P\hat{A}K+ \angle K\hat{P}A.\;$
Por ser $\; \angle B\hat{K}P\;$ ângulo externo do triângulo $\;KPA\;$, por (32.1) e (ax. 1), $\; \angle B\hat{K}P= \angle P\hat{A}K + \angle K\hat{P}A =\angle B\hat{P}A.\;$
Sendo por construção $\;AB=AP,\;\;\angle A\hat{P}B = \angle A\hat{B}P\;$, por (5.1).
Como $\; \angle B\hat{K}P =\angle B\hat{P}A.\;$ e $\;\angle A\hat{P}B = \angle A\hat{B}P, \; \angle B\hat{K}P = \angle A\hat{B}P, \;$ podemos dizer que o triângulo $\;BKP\;$ é isósceles $\;BP=KP\;$
Do mesmo modo, como, por construção, $\;BP=AK\;$, também o triângulo $\;KPA\;$ é isósceles e $\;\angle K\hat{P}A= \angle P\hat{A}K\;$
Sabemos agora que $\; \angle P\hat{A}K + \angle K\hat{P}A =\angle B\hat{P}A.\;$ e que que $\;\angle K\hat{P}A= \angle P\hat{A}K= \angle P\hat{A}B\;$ e podemos escrever $$ \; \angle P\hat{A}B + \angle P\hat{A}B =\angle B\hat{P}A =\angle A\hat{B}P, \;$$ como queríamos. □

Livro I
POSTULADO I
Pede-se, como cousa possível, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha reta.
POST III
E que com qualquer centro e qualquer intervalo se descreva um círculo.
AXIOMA I.
As cousas que são iguais a uma terceira, são iguais entre si
AXIOMA II.
Se a coisas iguais se juntarem outras iguais, os todos serão iguais
AXIOMA III.
E se de cousas iguais se retirarem outras iguais, os restos serão igauis
PROP. I. PROB.
Sobre uma linha reta determinar um triângulo equilátero
PROP. II. PROB.
De um ponto dado tirar uma linha reta igual a outra linha reta dada.
PROP. V. TEOR.
Em qualquer triângulo isósceles oa ângulos que estão sobre a base são iguais e produzidos os lados iguais os ângulos que se formam debaixo da base são também iguais
PROP. VI. TEOR.
Se dois ângulos de um triângulo forem iguais, os lados opostos a estes ângulos serão também iguais
PROP. XI. PROB.
De um ponto dado em uma linha reta dada levantar uma perpendicular sobre a mesma reta dada
PROP. XXXII. TEOR.
Em todo o triângulo, produzido um lado qualquer, o ângulo externo é igual aos dois internos e opostos e os três ângulos internos de um triângulo qualquer são iguais a dois retos.
.......................................
Livro II
PROP. I. PROB.
Achar o centro de um círculo dado
PROP.VI. PROB
Se uma linha reta fôr dividida em duas partes iguais, e em direitura com ela se puser outra reta, será o retângulo compreendido pela reta tôda e mais a adjunta, e pela mesma adjunta juntamente com o quadrado da metade da primeiro igual ao quadrado da reta, que se compõe da mesma metade, e da outra reta adjunta.
.......................................
LIVRO III
DEFINIÇÂO VI.
Segmento de círculo é uma figura compreendida por uma linha reta e por uma porção da circunferência do círculo
DEFINIÇÂO VII.
O ângulo do segmento é aquele que é formado pela reta e pela porção de circunferência
DEFINIÇÂO VIII.
Um ângulo se diz estar ou existir no segmento quando é formado pelas que de um ponto qualquer, tomado na circunferência do segmento, se tiram para os extremos da reta que é a base do segmento.
PROP. XXXII. TEOR.
Se uma linha reta fora tangnete de um círculo e se do ponto do contacto se tirar outra reta que divida o círculo em dois segmentos, os ângulos que esta reta fizerem com a tangnete serão iguais aos ângulo que existem nos segmentos alternos
PROP. XXXVII. TEOR.
Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem duas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra chegue somente até a circunferência; e se o retângulo compreendido pela reta inteira que corta o círculo e pela parte dela que fica entre o dito ponto e a parte convexa da circunferência, fôr igual ao quadrado da reta incidente sôbre a circunferência, será a reta incidente tangente do círculo
Livro IV
DEFINIÇÃO III.
Uma figura retilínea se diz inscrita em um círculo quando cada um dos ângulos dela toca a circunferência do circulo
DEFINIÇÃO VII
Uma linha reta se diz inscrita em um círculo quando as extremidades dela estão na circunferência
PROP. I. TEOR.
Em um círculo dado inscrever uma linha reta igual a outra dada, e não maior que o diâmetro do círculo dado. PROP. V. PROB.
Circunscrever um círculo a um triângulo dado.


  1. Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
  2. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000

11.4.15

Retas tiradas de um ponto para um círculo: igualdade de áreas de retângulos (secantes) e quadrados (tangentes)


Da PROP. XXXVI. TEOR. (Livro III ) da anterior entrada
Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem duas linhas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra o toque; será o retângulo compreendido por tôda a reta, que corta o círculo, e pela parte dela, que fica entre o dito ponto e a circunferência convexa do círculo, igual ao quadrado da tangente

é considerado n'Os Elementos' um corolário assim enunciado
Disto se segue que, se de um ponto qualquer A fora de um círculo se tirarem duas retas que cortem o círculo, os retângulos compreendidos pelas retas inteiras e pelas partes delas, que ficam entre o dito ponto e a parte convexa da circunferência, serão iguais entre si; isto é, será o retângulo das retas BA, AE igual ao retângulo das retas CA, AF. E a razão é porque cada um dêstes retângulos é igual ao quadrado da tangente AD

e o seu recíproco de que, a seguir, apresentamos enunciados e demonstração:
Livro III - PROP. XXXVII. TEOR.

Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem duas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra chegue somente até a circunferência; e se o retângulo compreendido pela reta inteira que corta o círculo e pela parte dela que fica entre o dito ponto e a parte convexa da circunferência, fôr igual ao quadrado da reta incidente sôbre a circunferência, será a reta incidente tangente do círculo (Fig. 55.).
ou, de outro modo,
Do ponto D fora do círculo ABC estejam tiradas as duas retas DCA, DB, das quais DCA corte o círculo, e DB seja incidente sôbre a circunferência. Seja também o retângulo compreendido pelas retas AD, DC igual ao quadrado de DB. Digo que DB é tangente do círculo ABC no ponto B.


São dados uma circunferência azul um ponto $\;D\;$ a ela exterior, duas retas a passar por $\;D\;$ das quais uma corta a circunferência em $\;A\;$ e em $\;C\;$ e outra a incidir em $\;B\;$ ponto da circunferência dada. Mostram-se ainda o quadrado de lado $\;DB\;$ e o retângulo de lados iguais a $\;DA, \;DC\;$ que são iguais em área: $$DB^2=DA\times DC$$



© geometrias. 10 de Abril de 2015, Criado com GeoGebra

Clicando sobre o botão □ Apoio da Prova poderá ver os elementos da figura usados na demonstração


O que se pretende demonstrar é que: Sendo $\;D\;$ um ponto exterior da circunferência e $\;B, \; A, \; C\;$ pontos da circunferência e $\; A, \;C, D\;$ sobre uma mesma reta, se se verificar que o quadrado de lado $\;DB\;$ for igual em área ao retângulo de de lados $\;DA, \;DC$, então $\;DB\;$ é tangente à circunferência.
Usando os processos descritos e demonstrados
em (1.3), determina-se o centro $\;F\;$
em (17.3), tire-se a reta $\;DE\;$ tangente à circunferência de que $\;E\;$ é o ponto de tangência
e tiramos as retas $\;FE, \;FB, \;FD\;$ (Post. I.1).
Como $\;DE\;$ é uma tangente, por (18.3), $\;FE \perp ED\;$ ou $\;\angle FÊD\;$ é reto.
Por (36.3), como $\;DE\;$ é tangente à circunferência e $\;DCA\;$ corta a mesma circunferência em $\;A, \;C,\;$ verifica-se que $\;DE^2 = DA \times DC\;$.
Ora, por hipótese, também $\;DB^2= DA\times DC, \;$ e, por isso, conclui-se que $\;DB = DE\;$.
Podemos concluir, por (8.1), que os triângulos $\;DEF, \;FBD\;$ têm uma base $\;FD\;$ comum, e dois lados iguais a dois lados, cada um a cada um, ( $\;FE=FB\;$ como raios da mesma circunferência, e, como vimos $\;DB = DE,\;$ ) e são iguais os ângulos $\;\angle F\hat{B}D, \; \angle D\hat{E}F\;$ compreendidos pelos lados iguais. Como já vimos, no início, o ângulo $\;\angle D\hat{E}F \;$ é reto e, por isso (ax.1), $\; \angle F\hat{B}D \;$ também é reto. Assim, a reta $\;FB\;$ é um diâmetro e a a reta $\;DB\;$ é tirada perpendicularmente por uma das extremidades do diâmetro sendo, por isso, uma reta que toca o círculo (16.3). Ou seja a reta $\;DB\;$ é tangente ao círculo. □

Livro I
POSTULADO I
Pede-se, como cousa possível, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha reta.
POST III
E que com qualquer centro e qualquer intervalo se descreva um círculo.
AXIOMA I.
As cousas que são iguais a uma terceira, são iguais entre si
PROP. VIII. TEOR. Se dois triângulos tiverem dois lados iguais a dois lados, cada um a cada um, e as bases também iguais; os ângulos, compreendidos pelos lados iguais, serão também iguais
PROP. XII. PROB.
Conduzir uma perpendicular sobre uma linha reta dada de um ponto dado fora dela.
.......................................
Livro II
PROP.VI. PROB
Se uma linha reta fôr dividida em duas partes iguais, e em direitura com ela se puser outra reta, será o retângulo compreendido pela reta tôda e mais a adjunta, e pela mesma adjunta juntamente com o quadrado da metade da primeiro igual ao quadrado da reta, que se compõe da mesma metade, e da outra reta adjunta.
.......................................
LIVRO III
DEFINIÇÃO II
Uma linha reta se diz que toca um círculo, ou que é tangente de um círculo quando, estando no mesmo plano do círculo, encontra a circunferência sem a cortar.
PROP. I. PROB.
Achar o centro em um círculo dado
PROP. XVI. TEOR.
A reta, que de uma extremidade do diâmetro de um círculo se levantar, perpendicularmente, sobre o mesmo diâmetro, cairá toda fora do círculo; e entre esta reta e a circunferência não se poderá tirar outra linha reta alguma; que é o mesmo que dizer, que a circunferência do círculo passará entre a perpendicular ao diâmetro, e a reta que com o diâmetro fizer um ângulo agudo, por grande que seja; ou também que a mesma circunferência passará entre a dita perpendicular e outra reta, que fizer com a mesma perpendicular um ângulo qualquer, por pequeno que seja.
PROP. XVII. PROB.
De um ponto dado, e existente fora de um círculo, ou na circunferência dele, tirar uma linha reta tangente ao mesmo círculo.
PROP. XVIII. TEOR.
Se uma linha reta tocar um círculo, e do centro fôr tirada para o ponto de contacto outra reta, esta cairá perpendicularmente sôbre a tangente.


  1. Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
  2. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000

4.4.15

Elementos: potência de um ponto (Livro III, PROP. XXXVI. TEOR.)


Temos vindo a escolher alguns resultados, construções e demonstrações, para dar uma ideia do conteúdo dos livros I, II que vamos continuar agora com o livro III e mais tarde com o livro IV. Pretende-se dar a ideia de cada livro pelo seu assunto, noções e forma de as introduzir, relação entre construções e demonstrações de Euclides, ao mesmo tempo que se constrói uma cadeia de resultados que são passos necessários para a inscrição de um pentágono equilátero e equiangular num dado círculo (do livro IV)
Do Livro III de "Os Elementos", que trata de círculos e sua relação com retas e derivados, destacamos um teorema e o seu recíproco cujas demonstrações assentam na igualdade de áreas entre figuras. Não fazendo todas as construções e demonstrações anteriores a esta, não deixamos de as referir. Alguns enunciados e notações continuam a ser os transcritos de "Os Elementos" que temos vindo a referir e que na forma, conteúdo e sequência é seguido.

Livro III - PROP. XXXVI. TEOR.

Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem duas linhas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra o toque; será o retângulo compreendido por toda a reta que corta o círculo e pela parte dela que fica entre o dito ponto e a circunferência convexa do círculo, igual ao quadrado da tangente.
ou, de outro modo, Esteja o ponto $\;D\;$ fora do círculo $\;ABC\;$, e deste ponto $\;D\;$ estejam tiradas a reta $\;DCA\;$, que corte o círculo, e a reta $\;DB\;$, que o toque. Digo que o retângulo das retas $\;AD\;$, $\;DC\;$ é igual ao quadrado da tangente $\;DB\;$.
Podemos seguir os passos da nossa construção e demonstração, fazendo variar o valor de n no cursor $\;\fbox{n= …}\;$ ao centro na janela da figura dinâmica

$\fbox{n=1}\; — \;\;\;$São dados uma circunferência azul de que se determinou (1.3) o centro $\;E\;$ e um ponto $\;D\;$ exterior a ela

$\fbox{n=2}\; — \;\;\;$Toma-se a reta a passar por $\;D\;$ pelo centro $\;E\;$ do círculo azul dado e os pontos $\;A\;$ e $\;C\;$ de interseção da circunferência com a reta $\;ED\;$ construída. Começamos por apresentar o problema - PROP.XVII. PROB. - da construção da tangente a uma circunferência $\;(E, EA)\;$ tirada de um ponto $\;D\;$ a ela exterior, isto é, da determinação do ponto $\;B\;$ de tangência da tangente que passa por $\;D\;$.
Desenha-se a circunferência $\;(E, ED)\;$ e a perpendicular a $\;AD\;$ em $\;C\;$ que se intersetam em $\;F\;$. Traça-se a reta $\;FE\;$ que interseta $\;(E, EC)\;$ em $\;B\;$ que é o ponto que procuramos.
$\;FEC\;$ e $\;BED\;$ são congruentes ($FE = ED, \; EC = BE \; \angle FÊC=\angle BÊD$)   comum e, por isso, o ângulo oposto a $\;FE\;$ de $\;FEC\;$ e o ângulo oposto a $\;ED\;$ de $\;BED\;$ são iguais. Sendo $\;CF\;$ perpendicular a $\;AD\;$ (por construção), terá de ser $\;BD\;$ perpendicular a $\;BE\;$ e $\;BD\;$ ser tangente a $\;(E, EC).\;$ □

$\fbox{n=3}\; — \;\;\;$
  • Como o triângulo $\;EBD\;$ é retângulo em $\;B\;$, por (47.1), sabemos que o quadrado de lado $\;EB\;$ acrescentado do quadrado de lado $\; BD\;$ é igual em área ao quadrado de lado $\;ED\;$ $$EB^2+BD^2=ED^2$$
  • Por (6.2: PROP. VI. Liv II), já que $AE = EC$ o paralelogramo de lados iguais a $\;AD, \;DC\;$ acrescentado o quadrado de lado $\;BE\;$ é igual em área ao quadrado de lado $\;ED\;$ $$DA \times DC +BE^2 =ED2$$
Resumindo, o paralelogramo de lados iguais a $\;DA, \; DC\;$ acrescentado do quadrado de lado $\;BE\;$ é igual em área ao quadrado de lado $\;DB\;$ acrescentado do quadrado de lado $\;BE\;$ $$ED^2=DA \times DC +BE^2 =EB^2+BD^2$$ e, se removermos o quadrado de lado $\;BE\;$ da cada uma dessas duas figuras iguais em área, ficamos com os restos iguais, isto é:
o paralelogramo de lados iguais a $\;DA, \; DC\;$ é igual em área ao quadrado de lado $\;BD\;$ $$DA \times DC = BD^2$$ Assim fica provado este resultado para o caso da reta que passa por $\;D\;$ e $\; E\;$ cortando a circunferência em $\;A, \;C\;$ □


© geometrias. 3 de Abril de 2015, Criado com GeoGebra

Variando os valores de n no cursor ao alto, pode ver passos da construção interessantes para seguir a demonstração.


$\fbox{n=4}\; — \;\;\;$ Consideremos agora o caso das retas $\;DCA\;$ que não passam pelo centro $\;E\;$ da circunferência.
  • $\fbox{n=5}\; — \;\;\;$ E, para cada uma dessas retas $\;DCA\;$, consideremos a corda $\;AC\;$ e a perpendicular a ela tirada por $\;E\;$ (12.1) que a corta em $\;F\;$ ao meio (3.3) - $\;AF=FC\;$. E tracemos as retas $\;EC\;$ e $\;ED\;$.
    E sabemos que
    a) $\;\;\;ED^2=DB^2 + EB^2,\;$ porque $\;DBE\;$ é um triângulo retângulo em $\;B \;$ (47.1)
    b) $\;\;\;ED^2 =DB^2 + EC^2, \;$ porque $\;EB = EC\;$
    c)$\;\;\;EF^2 + FC^2 = EC^2, \;$ porque o triângulo $\;EFC\;$ é retângulo em $\;F\;$ (47.1)
    d) $\;\;\;ED^2 = DF^2+FE^2, \;$ porque o triângulo $\;DFE\;$ é retângulo em $\;F\;$ (47.1)
  • $\fbox{n=6}\; — \;\;\;$ Por ser $\;AF=FC\;$ e $\;DA =DC+CF+FA\;$, por (6.2)
    $$DA\times DC + CF^2 = DF^2$$
Acrescentando o quadrado de $\;EF\;$ a ambas as figuras — uma constituída pelo paralelogramo $\;DA, DC\;$ acrescentado do quadrado de lado $\;CF\;$ e a segunda que é o quadrado de lado $\;DF\;$ iguais em área - obtemos duas figuras iguais em área (ax. 2.1): $$DA\times DC + CF^2 +EF^2 = DF^2 +EF^2$$ ou, por c) e d) e (ax.1.1) $$DA \times DC + EC^2 =DE^2 $$ ou, por b) e (ax.1.1) $$DA \times DC + EC^2 = EC^2+DB^2$$ e removendo o quadrado de lado $\;EC\;$ às duas figuras iguais em área, ficamos com restos iguais em área — o paralelogramo $\;DA, DC\;$ e o quadrado de lado igual à tangente $\;DB\;$ (ax 3.1)— $$DA \times DC = DB^2$$ tal como pretendíamos. □

Livro I
POSTULADO I
Pede-se, como cousa possível, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha reta.
POST III
E que com qualquer centro e qualquer intervalo se descreva um círculo.
AXIOMA I.
As cousas que são iguais a uma terceira, são iguais entre si
AXIOMA II.
Se a cousas iguais se juntarem outras iguais, os todos serão iguais.
AXIOMA III
E se de cousas iguais se tirarem outras iguais, os restos serão iguais
PROP. XII. PROB.
Conduzir uma perpendicular sobre uma linha reta dada de um ponto dado fora dela.
PROP. XLVII. TEOR.
Em todo o triângulo retângulo o quadrado feito sôbre o lado oposto ao ângulo reto, é igual aos quadrados formados sôbre os outros lados, que fazem o mesmo ângulo reto
.......................................
Livro II
PROP.VI. PROB
Se uma linha reta fôr dividida em duas partes iguais, e em direitura com ela se puser outra reta, será o retângulo compreendido pela reta tôda e mais a adjunta, e pela mesma adjunta juntamente com o quadrado da metade da primeiro igual ao quadrado da reta, que se compõe da mesma metade, e da outra reta adjunta.
.......................................
LIVRO III
DEFINIÇÃO II
Uma linha reta se diz que toca um círculo, ou que é tangente de um círculo quando, estando no mesmo plano do círculo, encontra a circunferência sem a cortar.
PROP. I. PROB.
Achar o centro em um círculo dado
PROP. III. TEOR.
Se dentro de um círculo uma linha reta, que passa pelo centro, cortar outra que não passa pelo centro, em duas partes iguais também a cortará perpendicularmente. E se a cortar perpendicularmente, também a cortará em duas partes iguais.
PROP. XVI. TEOR.
A reta, que de uma extremidade do diâmetro de um círculo se levantar, perpendicularmente, sobre o mesmo diâmetro, cairá toda fora do círculo; e entre esta reta e a circunferência não se poderá tirar outra linha reta alguma; que é o mesmo que dizer, que a circunferência do círculo passará entre a perpendicular ao diâmetro, e a reta que com o diâmetro fizer um ângulo agudo, por grande que seja; ou também que a mesma circunferência passará entre a dita perpendicular e outra reta, que fizer com a mesma perpendicular um ângulo qualquer, por pequeno que seja.
PROP. XVII. PROB.
De um ponto dado, e existente fora de um círculo, ou na circunferência dele, tirar uma linha reta tangente ao mesmo círculo.


  1. Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
  2. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000