30.1.13

Projetividade entre pontuais de uma reta ou de um círculo.

Na construção que se segue, temos uma projetividade entre pontuais definida por 3 pares de pontos correspondentes A→A', B→B' e C→C' todos sobre uma mesma base r. Isso está feito tomando dois feixes perspetivos V.ABC e V'.A'B'C', de tal modo que os pontos VA.V'A'=A'', VB.V'B'=B'' e VC.V'C'=C'' estão sobre uma mesma reta r''. Para determinar a imagem de um ponto qualquer D por essa projetividade, toma-se D''=VD.r'' e vem D'=V'D''.r
Esta projetividade é composta das duas perspetividades centradas em V e V'.
Deslocando D sobre r, pode verificar que há dois pontos de r que são imagens de si mesmos por essa projetividade, a saber o ponto P de intersecção da reta VV' com r e o ponto Q de intersecção de r'' com r (poderia este último ser o ponto do infinito de r). Não há outros pontos duplos.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Fizemos uma construção em tudo similar à anterior para definir uma projetividade entre duas pontuais ABC... e A'B'C'... de uma mesma base circular.
Por razões que se prendem com a boa definição de correspondência um a um, para centros dos feixes perspetivos tomámos dois pontos V e V' sobre a circunferência: As retas correspondentes dos feixes intersetam-se em pontos de r'': A''= VA.V'A', B''=VB.V'B' e C''=VC.V'C'.
Para determinar a imagem de um ponto D qualquer da circunferência, tomo a reta VD e D''=VD.r'', para determinar D' como intersecção de V'D''com a circunferência.
Deslocando D sobre a circunferência poderá verificar que os pontos de intersecção da circunferência com r'' são imagens de si mesmos para essa projetividade. E não há outros pontos duplos para tal projetividade. Fácil é verificar, com esta construção, que podemos determinar projetividades (entre pontuais sobre uma mesma base circular) com 0, 1 ou 2 pontos duplos (conforme r'' corte a circunferência em 0, 1 ou 2 pontos).

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).


F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

29.1.13

Da pontual retilínea à pontual circular.

Chamámos pontuais ou fileiras de primeira categoria ou ordem a conjuntos de pontos colineares, isto é, pontos de uma mesma reta. À reta dos pontos da pontual chamámos base da pontual. Por ser uma reta a base das pontuais estudadas, usámos frequentemente o nome de pontual retilínea.
Mais recentemente, levantámos a necessidade de designar conjuntos de pontos de base cónica. Notámos que Izquierdo, por exemplo, classifica-as como pontuais de segunda categoria. E que a todas elas chama pontuais elementares (de base retilínea ou base cónica)
Definições, propriedades e processos das transformações projetivas entre pontuais podem ser estendidas da primeira para a segunda ordem.
Nesta entrada, apresentamos a construção da correspondência um para um entre os pontos de uma reta (pontual retilínea) e os pontos de uma circunferência (a palavra círculo é usada muitas vezes com o mesmo sentido e, por isso, pontual circular)
Para estabelecer essa correspondência entre os pontos de um círculo e de uma reta r, tomamos o ponto P do círculo em que a tangente respetiva interseta r no seu ponto do infinito e o feixe elementar de primeira ordem centrado em P {a, b, c, d, ...}. A reta a que interseta a circunferência em A, interseta a reta r em A' correspondente... E a reta p que interseta o círculo em P, interseta a reta r no seu ponto do infinito.
da antiga dinâmica:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura, pode fazer variar as retas do feixe centrado em P.

Para esta correspondência um a um, para centro do feixe da projeção não podemos tomar, como é óbvio, um ponto P exterior nem interior ao círculo.
Por este processo (ou análogo) aqui descrito, podemos sempre fazer corresponder a cada ponto de uma pontual retilínea um ponto de pontual cónica.
F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
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25.1.13

AVISO DE ACIDENTE

Nesta última semana, por algum motivo, os originais corrigidos das publicações (entradas) desapareceram. Estamos a tentar recuperar e repor na medida das nossas possibilidades. Os cuidados de Aurélio Fernandes dão-nos provas de que as reposições são documentos provisórios cheios de gralhas e imprecisões. De facto, nós corrigíamos diretamente sobre o servidor.... de onde deixámos voar os papéis. Mantemos as portas abertas e as publicações (indecentes) porque assim podem ver as construções feitas e isso é o que nos importa mais.
De resto, podemos pedir desculpa pelos inconvenientes e incómodos de alguns leitores, mas..... isto é um blog e já vivemos vários períodos de servidores que fecharam sem aviso, construções degradadas, atualizações de aplicações (java, jar) que afastaram da nossa vista construções feitas, etc. Amadores!!! Pois.
Até logo.
Entretanto, procuramos o que falta e tentamos rever e corrigir as versões dos textos visíveis.
Os (ir)responsáveis (falando geometricamente :-) e não só),
Arsélio, Aurélio e Mariana.

22.1.13

Projetividade entre pontuais. Ponto duplo e pontos limite de uma homografia

Tomemos duas pontuais {Ai ∈ a: i=1, 2, 3,...} e {Bi ∈ b: i=1, 2, 3,...} com a≠b. Uma projetividade entre as duas pontuais fica bem definida por três pares de pontos correspondentes, no caso, (A1, B1), (A2, B2) e (A3, B3). A partir destes dados, tomando dois feixes centrados em
A1: A1B1, A1B2, A1B3, e
em B1: B1A1, B1A2, B1A3,
fica determinado o eixo da projetividade a passar pelos pontos (12)=A1B2.B1A2 e (13)= (12)=A1B3.B1A3. Uma projetividade é composta de duas perspetividades, precisamente Ai → (1i)= AiB1.[(12)(13)]→ Bi=b.[(1i)A1.
Assim se obtém o transformado de A, K de b: tira-se por B1 uma reta (paralela) que intersete a no seu ponto do infinito e interseta o eixo de projetividade no ponto ∞1. A reta A1∞1 interseta b em K. K é um ponto limite da homografia (neste caso, projetividade), imagem de A.
Analogamente, vimos que J=(1∞)B1.a, em que A1(1∞) é paralela a b, é um ponto limite da projetividade por ser o original de B.
O ponto a.b é o único ponto duplo dessa homografia.

da antiga dinâmica:
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis.


F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
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Feixes perspetivos. Retas duplas de uma homografia.

Tomemos uma perspetividade entre dois feixes {ai: i=1, 2, 3,..} e {bi: i=1, 2, 3,..}, (sendo A∈ ai e B∈ bi, ∀ i; A≠B ), projetivos. Sabemos que fica determinada se os pontos ai.bi (i=1,2,3) forem colineares.
No caso da nossa construção ∃ r tal que a1.b1, a2.b2, a3.b3 ∈ r.
A imagem de qualquer reta do feixe centrado em A, ai, é uma reta bi do feixe centrado em B, obtida como a reta a passar por B e por ai.r
Dizemos que AB é uma reta dupla já que é simultaneamente original e imagem para a homografia (no caso, perspetividade entre feixes).
A reta a' do feixe centrado em A interseta r no seu ponto do infinito e a sua imagem para a homografia considerada só pode ser b' que interseta r no seu ponto do infinito.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis.


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18.1.13

Pontuais perspetivas. Ponto duplo e ponto limite de uma homografia.

Nesta entrada rememoramos a definição e a determinação de elementos homólogos por uma homografia (perspetividade para começar). Para exemplo, tomamos uma perspetividade entre duas pontuais {Ai ∈ a : i=1, 2, 3,..} e {Bi ∈ b : i=1, 2, 3,..}, sendo a≠b ou de bases diferentes, projetivas. Sabemos que fica determinada se as retas AiBi (i=1,2,3) forem concorrentes.
No caso da nossa construção A1B1.A2B2.A3B3={V}.
A imagem de qualquer ponto de a, Ai, é um ponto Bi de b obtido como interseção de V.Ai com b.
Chamamos ainda a atenção para no caso de a e b serem concorrentes, haver um ponto de a que é imagem de si próprio. Chamamos A=B=a.b e a reta VA (do feixe por V) interseta b em B=A. Diz-se que é um ponto duplo já que é simultaneamente original e imagem para essa perspetividade. É o único ponto duplo para essa perspetividade.
Aproveitamos a nossa construção para determinar a imagem do ponto do infinito de a que é a interseção da reta VA com a reta b, VA.b=A'. Por essa perspetividade, o ponto B'=VB.a é o original do ponto do infinito de b, B.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis.

Aos pontos correspondentes por homografia aos pontos do infinito de cada pontual chamamos pontos limite dessa homografia. Aos pontos que são imagens de si mesmos por uma homografia chamamos pontos duplos dessa homografia.
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15.1.13

Homografias e cónicas

As definições de projetividade eunciadas na entrada anterior são todas equivalentes.
Trabalhámos com projetividades definidas por quatro elementos e seus transformados.
Especialmente trabalhámos com projetividades entre pontuais e entre feixes. A projetividade definida entre duas pontuais {A, B, C, D} e {A', B', C', D'} sobre uma mesma base (reta), pode ter no máximo dois pontos duplos. Se as pontuais projetivas estiverem sobre retas diferentes não poderão ter mais que um ponto duplo que, caso exista, será o ponto comum às duas pontuais, ou seja, será o ponto de interseção das retas base das pontuais projetivas. Também se demonstrou que, dados três pares de pontos correspondentes A e A', B e B, C e C' de duas pontuais projetivas, podemos sempre determinar uma cadeia de projeções e secções para relacionar uma com outra pontual e que qualquer que seja a cadeia utilizada obtemos sempre a mesma projetividade (Teorema Fundamental da Projetividade),o que equivale a dizer que uma projetividade entre pontuais retilíneas fica bem determinada por três pares de pontos correspondentes ou homólogos.
É claro que estes resultados se aplicam tanto a pontuais retilíneas projetivas como a feixes projetivos. À pontual ou conjunto de pontos colineares (sobre uma reta ou base) e ao feixe de retas concorrentes (a passar por um mesmo ponto ou centro) Izquierdo chama formas de primeira categoria ou ordem
Claro que, após todo o trabalho com projetividades usando formas de primeira categoria, acabámos por chegar a definições de outras formas: Por exemplo, chegamos à noção de cónica como lugares geométricos dos pontos de interseção das retas correspondentes de feixes projetivos não perspetivos, como pode ver-se na entrada Definição projetiva de cónicas, onde se pode ver que pontuais perspetivas definem um ponto (o centro da perspetividade que é o centro da projeção ou centro do feixe de que as duas pontuais são secções) e que as retas de dois feixes perspetivos se intersetam em pontos sobre uma reta ou que dois feixes perspetivos definem uma reta.

Nessa entrada, são apresentadas construções de pontos e retas como lugares geométricos de pontos e retas relaciondas por perspetividade, e de cónica como lugares geométricos de pontos e retas relacionados por projetividade não perspetiva.
Retomamos a construção da definição de cónicas usando projetividades

Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis para verificar a variação das diversas razões.

Tomaram-se duas pontuais {Ai: i=1, 2, 3, 4,...} (de a) e {Bi: 1, 2, 3, 4,...} (de b), projetivas não perspetivas, sendo para cada i, Ai → Bi. Cada uma das retas AiBi é tangente a uma cónica num dos seus pontos.
Tomámos também os feixes de retas - {ai =AAi: i=1, 2, 3, 4,...} (de centro A) e {bi =BBi: i=1, 2, 3, 4,...} (de centro B) - projetivos não perspetivos sendo para cada i, ai→bi. O lugar geométrico dos pontos ai.bi é uma cónica.

Chamamos a atenção para o facto de termos usado em todos os casos, projetividades que relacionam pontuais com pontuais (pontos para pontos) e feixes com feixes (retas com retas), isto é, os elementos homólogos ou correspondentes são da mesma espécie. Estas projetividades chamam-se homografias.
Há projetividades que não são homografias: já estudámos as correlações que fazem corresponder pontos a retas ou retas a pontos ...
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9.1.13

Projetividade e razão dupla


Já abordámos em diversas circunstâncias e por diversos motivos as razões a que chamámos razões cruzadas (cross-ratio) e mais recentemente razões duplas (na terminaologia de Izquierdo) para cada quaterno de pontos colineares que representámos por (A,B;C,D) ou (ABCD), tendo o cuidado de escolher um sentido sobre a (reta dos 4 pontos), por exemplo de A para B.

Verificámos também em várias ocasiões que, sempre que há uma projetividade que transforma pontos A, B, C, D de a respetivamente em A', B', C', D' de a', então (ABCD)=(A'B'C'D'). Verificámos ainda que o mesmo acontece para razões duplas de feixes de retas projetivos.

Na construção que se segue, repetimos a construção relativa à noção de projetividade (como sequência de projeções e secções) definida por Coxeter, apresentada em Projetividade, de modo a ilustrar a invariância da razão cruzada ou dupla de dois quaternos de pontos colineares projetivos.

Pode verificar-se ainda que cada razão simples (ABC) pode não manter-se invariante por projetividade enquanto que a razão dupla (razão de razões simples) se mantém invariante.




Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis para verificar a variação das diversas razões.


Izquierdo, a (ABCD), chama razão dupla ou anarmónica quando (ABCD)≠-1 e razão harmónica quando (ABCD)=-1. Do mesmo modo, chama quaterno anarmónico ou harmónico conforme o valor da razão dupla respetiva. Como vimos a razão dupla de um feixe de 4 retas tem o mesmo valor de qualquer pontual que seja obtida por secção determinada por uma reta que não passe pelo centro ou vértice do feixe.

Conforme Izquierdo, Projetividade pode ser definida como correspondência um a um, que transformando pontos em pontos e retas em retas, mantém invariantes as razões duplas de pontuais ou feixes, i.e, duas formas de primeira categoria são projetivas se estão relacionadas harmónica ou anarmonicamente ou podem deduzir-se por projeções ou secções. Cita, a propósito,
Chasles: Duas formas de primeira categoria (pontuais ou feixes) são projetivas se estão relacionadas anarmonicamente,
von Staudt: duas formas de primeira categoria são projetivas se estão relacionadas harmonicamente e
Poncelet: duas formas de primeira categoria são projetivas se podem obter-se uma da outra por meio de projeções e secções




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