Como sabemos, 5 pontos distintos $A, B, C, D, E$ definem uma cónica (há uma só cónica que neles incide). Com um contra-exemplo, vamos mostrar que os pontos $A', B', C', D', E'$ (obtidos por uma inversão $I(=O,1)$ ) inversos de $A, B, C, D, E$ não definem a inversa da cónica definida por $A, B, C, D, E$.
Para seguir o nosso contra-exemplo, é conveniente não deslocar quaisquer elementos para além de fazer variar $\;\fbox{ n }\;$ no cursor. Se tal acontecer, poderá sempre voltar às nossas posições (pontos) recarregando a página.
Movendo o cursor verde $\;\fbox{ n }\;$ segue, passo a passo, as ilustrações dos resultados:
$\fbox{ n = 1}\;$: Representa-se a vermelho a circunferência da inversão $- \;I(O,1) - $ de equação $x^2+y^2=1$ (em $xOy$)
$\fbox{ n = 2}\;$: Apresentam-se os pontos $A, B, C, D, E$
$\fbox{ n = 3}\;$: No caso dos pontos por nós tomados, há uma elipse que neles incide.
$\fbox{ n = 4}\;$: Apresentam-se os pontos $A', B', C', D', E'$
$\fbox{ n = 5}\;$: Apresenta-se a cónica que passa pelos pontos $A', B', C', D', E'$ e fica evidente que não é a inversa da elipse definida por $A, B, C, D, E$ (para as posições dadas) já que a cónica $A', B', C', D', E'$ não passa pelos pontos de interseção da cónica $A, B, C, D, E$ com a circunferência de inversão (invariantes)
$\fbox{ n = 6}\;$: Finalmente apresenta-se a curva inversa da cónica $A, B, C, D, E$ (a passar pelos tais pontos invariantes)
Claro que pode verificar que, ao deslocar qualquer um ou vários dos pontos $A, B, C, D, E$ obtém um novo conjunto de posições de pontos e, consequentemente, uma nova cónica por eles definida. Pode fazer todas as experiências que achar interessantes, vendo a relação entre as curvas dependentes da definida por cada posição de $A, B, C, D, E$ (que pode mudar posição a posição de cada ponto)
Movendo o cursor verde $\;\fbox{ n }\;$ segue, passo a passo, as ilustrações dos resultados:
$\fbox{ n = 1}\;$: Representa-se a vermelho a circunferência da inversão $- \;I(O,1) - $ de equação $x^2+y^2=1$ (em $xOy$)
$\fbox{ n = 2}\;$: Apresentam-se os pontos $A, B, C, D, E$
$\fbox{ n = 3}\;$: No caso dos pontos por nós tomados, há uma elipse que neles incide.
$\fbox{ n = 4}\;$: Apresentam-se os pontos $A', B', C', D', E'$
$\fbox{ n = 5}\;$: Apresenta-se a cónica que passa pelos pontos $A', B', C', D', E'$ e fica evidente que não é a inversa da elipse definida por $A, B, C, D, E$ (para as posições dadas) já que a cónica $A', B', C', D', E'$ não passa pelos pontos de interseção da cónica $A, B, C, D, E$ com a circunferência de inversão (invariantes)
$\fbox{ n = 6}\;$: Finalmente apresenta-se a curva inversa da cónica $A, B, C, D, E$ (a passar pelos tais pontos invariantes)
© geometrias, 13 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra
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