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30.10.13

Cadeias de Steiner entre circunferências não concêntricas e não concorrentes


Será que quaisquer duas circunferências que não se intersetam admitem uma cadeia de Steiner?.

Numa entrada de 6 de Setembro p.p., provámos que duas circunferências não concorrentes podem inverter-se em circunferências concêntricas. Assim as condições para a existência de uma cadeia de Steiner para duas circunferências que não se intersetam podem ser verificadas a partir das suas inversas concêntricas.
Na nossa construção de hoje, tomamos uma circunferência $(O)$ de um certo raio $R$ e determinamos os raios $r_n, r_n \lneq R$ das circunferências $(O, r_n)$ para cada uma $n=1, \ldots, 13$ das quais, as circunferências $(O, R)$ e $(O, r_n)$ admitem uma cadeia de Steiner com $n$ circunferências.
Na figura inicial apresenta-se uma cadeia de Steiner com 13 circunferências. Esta circunferêncais estão invertidas por uma inversão seguida de uma reflexão.

Este é uma Apliqueta Java criado utilizando o GeoGebra de www.geogebra.org - parece que não tem o Java instalado, aceda a www.java.com

© geometrias, 29 outubro 2013, Criado com GeoGebra

No botão n-seletor pode variar o número de circunferências coloridas tangentes entre si e às duas dadas (de bordo negro). Com o botão de animação (ao fundo à esquerda) pode fazer rodar as circunferências, para perceber como as cadeias se repetem ciclicamente. No botão a vermelho "auxiliares da inversão" acede à reta dos centros, ao centro de inversão e circunferência de inversão, para além reta eixo da reflexão usada.

Escolhemos para circunferência de inversão relativamente a uma circunferência ortogonal à circunferência $(O, R)$ para que a esta seja inversa de si mesma. Desenhámos uma circunferência de raio igual a $(O, R)$ e para centro da inversão a interseção $I$ das tangentes interiores às duas circunferências iguais de tal modo que $(O, R)$, inversa de si mesma, seja imagem por reflexão de eixo perpendicular à reta dos centros das circunferências iguais tirada por $I$. A circunferência de inversão de centro $I$ passa por todos os pontos de tangência das tangentes interiores às duas circunferências. Assim, a cadeia de Steiner das circunferências excêntricas é obtida por inversão relativamente a $(I, IT^2)$ seguida da reflexão relativamente à perpendicular referida tirada por $I$.

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