Agora chamamos a atenção para Eduardo Veloso, Conexões da Geometria - o plano complexo, APM, Lisboa:2016
A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

28.6.13

Determinar a circunferência que passa por dois pontos e corta uma reta segundo um ângulo dado.

Há um grande número de construções geométricas, de régua e compasso, que são feitas recorrendo à transformação de inversão relativamente a uma circunferência. Vamos apresentar um problema em que se usa a inversão:
Determinar a circunferência que passa por dois pontos — $A$ e $B$ — dados, e corta uma reta — $r$ — dada, segundo um ângulo — $\alpha$ — dado.


Para ajudar:


Este é uma Apliqueta Java criado utilizando o GeoGebra de www.geogebra.org - parece que não tem o Java instalado, aceda a www.java.com

Diz-se que uma reta corta uma circunferência segundo um dado ângulo quando a corda determinada pela reta e a tangente em cada um dos seus extremos formam um ângulo igual ao dado.
Vale a pena lembrar que a envolvente das retas que cortam uma circunferência segundo um dado ângulo é uma nova circunferência concêntrica da anterior. Isso mesmo está ilustrado na construção ao lado. Esse resultado é importante para resolver o problema proposto.

Clique no botão > ao fundo à esquerda para ver a circunferência que é tangente a todas as retas que cortam a circunferência segundo o ângulo dado. Depois, quando quiser obter uma reta que corte a circunferência original obtida num ponto qualquer, basta tirar a tangente por esse ponto à envolvente.



Sigamos agora as etapas de resolução do problema proposto, acompanhando-as na ilustração abaixo

Este é uma Apliqueta Java criado utilizando o GeoGebra de www.geogebra.org - parece que não tem o Java instalado, aceda a www.java.com
  1. Começamos com os dados iniciais — $\alpha$, $A$, $B$ e $r$ — para construirmos a circunferência que passa por $A$ e $B$ e é cortada por $r$ segundo o ângulo $\alpha$
  2. Vamos criar as condições para determinarmos uma circunferência relacionada com $r$ (por inversão) e uma reta que a corte segundo o ângulo $\alpha$ (isso já sabemos fazer, não é?). Claro que, pela mesma inversão, esta última reta será transformada na circunferência que cortará a reta $r$ segundo $\alpha$.
    Para isso, teremos de tomar uma circunferência auxiliar, em relação à qual se façam as inversões. No nosso caso, tomamos, para facilitar, a circunferência de centro em $A$ e que passa por $B$ e que, nas condições da nossa figura, corta a reta $r$ em $F$ e $G$
  3. Em relação a esta circunferência auxiliar, a imagem de $r$ é uma circunferência que passa por $F=F'$, $G=G'$ e $A=\infty'_r$. Claro que pode tomar qualquer circunferência para auxiliar e calcular as imagens de quaisquer dois pontos de $r$ que com o centro da circunferência de inversão definem a imagem de $r$.
  4. Para determinar uma reta que corta a imagem de $r$ segundo um ângulo $\alpha$,tomamos uma tangente num ponto qualquer da circunferência imagem de $r$, no caso usámos $A$, e marcámos o ângulo $alpha$ em $A$ e a partir dele a circunferência envolvente das retas que cortam a circunferência imagem de $r$ segundo o ângulo $\alpha$.
  5. Tirámos, por $B$, a tangente à circunferência envolvente, que corta a circunferência imagem de $r$ segundo $\alpha$
  6. Finalmente a imagem desta reta $BN$, pela inversão relativamente à circunferência auxiliar de centro $A$ é a circunferência que passa por $A$, $B$ e $N$ (Tomámos $N=N'$ da reta e da circunferência de inversão) que corta a reta $r$ segundo $\alpha$, como podemos verificar na etapa final da construção.

0 Commentários:

Enviar um comentário

<< Home

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção