29.6.13

Usando a inversão para determinar a circunferência que passa por um ponto e é tangente a duas circunferências dadas

Apresentámos exemplos de problemas que se resolvem com recurso à inversão. A construção desta entrada ilustra a
determinação da(s) circunferência(s) tangente(s) a duas circunferências dadas e passa(m) por um ponto dado.
Como se pode ver, pelo caso apresentado, recorrer à inversão torna tudo mais fácil. Se eu quero uma circunferência tangente a outras duas, bastar-me-á passar às imagens por alguma inversão dessas circunferências e qualquer das retas tangentes comuns às duas circunferências imagens será correspondente, pela mesma inversão, a uma circunferência tangente às duas circunferências dadas.Se quero que essa circunferência passe por um dado ponto P, basta-me tomar a circunferência de inversão centrada em P.
  1. São dados P e circunferências de centros A e B.
  2. Começo por tomar uma circunferência auxiliar centrada em P e, por comodidade, a cortar as duas circunferências originalmente dadas. Se assim fizermos, as imagens por inversão dessas circunferências serão circunferências definidas, para cada uma, por dois pontos de intersecção com a circunferência auxiliar e pelo centro A ou pelo centro B.
  3. Definidas essas circunferências (imagens), basta-nos tirar alguma tangente comum às duas. Lembramos que há 4 tangentes comuns às duas (duas interiores e duas exteriores). No caso da nossa construção, determinámos as duas tangentes exteriores.
  4. Pela inversão, que definimos inicialmente, a cada reta tangente às imagens das circunferências originalmente dadss corresponde uma circunferência a elas tangentes e a passar por P

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28.6.13

Determinar a circunferência que passa por dois pontos e corta uma reta segundo um ângulo dado.

Há um grande número de construções geométricas, de régua e compasso, que são feitas recorrendo à transformação de inversão relativamente a uma circunferência. Vamos apresentar um problema em que se usa a inversão:
Determinar a circunferência que passa por dois pontos — $A$ e $B$ — dados, e corta uma reta — $r$ — dada, segundo um ângulo — $\alpha$ — dado.


Para ajudar:


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Diz-se que uma reta corta uma circunferência segundo um dado ângulo quando a corda determinada pela reta e a tangente em cada um dos seus extremos formam um ângulo igual ao dado.
Vale a pena lembrar que a envolvente das retas que cortam uma circunferência segundo um dado ângulo é uma nova circunferência concêntrica da anterior. Isso mesmo está ilustrado na construção ao lado. Esse resultado é importante para resolver o problema proposto.

Clique no botão > ao fundo à esquerda para ver a circunferência que é tangente a todas as retas que cortam a circunferência segundo o ângulo dado. Depois, quando quiser obter uma reta que corte a circunferência original obtida num ponto qualquer, basta tirar a tangente por esse ponto à envolvente.



Sigamos agora as etapas de resolução do problema proposto, acompanhando-as na ilustração abaixo

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  1. Começamos com os dados iniciais — $\alpha$, $A$, $B$ e $r$ — para construirmos a circunferência que passa por $A$ e $B$ e é cortada por $r$ segundo o ângulo $\alpha$
  2. Vamos criar as condições para determinarmos uma circunferência relacionada com $r$ (por inversão) e uma reta que a corte segundo o ângulo $\alpha$ (isso já sabemos fazer, não é?). Claro que, pela mesma inversão, esta última reta será transformada na circunferência que cortará a reta $r$ segundo $\alpha$.
    Para isso, teremos de tomar uma circunferência auxiliar, em relação à qual se façam as inversões. No nosso caso, tomamos, para facilitar, a circunferência de centro em $A$ e que passa por $B$ e que, nas condições da nossa figura, corta a reta $r$ em $F$ e $G$
  3. Em relação a esta circunferência auxiliar, a imagem de $r$ é uma circunferência que passa por $F=F'$, $G=G'$ e $A=\infty'_r$. Claro que pode tomar qualquer circunferência para auxiliar e calcular as imagens de quaisquer dois pontos de $r$ que com o centro da circunferência de inversão definem a imagem de $r$.
  4. Para determinar uma reta que corta a imagem de $r$ segundo um ângulo $\alpha$,tomamos uma tangente num ponto qualquer da circunferência imagem de $r$, no caso usámos $A$, e marcámos o ângulo $alpha$ em $A$ e a partir dele a circunferência envolvente das retas que cortam a circunferência imagem de $r$ segundo o ângulo $\alpha$.
  5. Tirámos, por $B$, a tangente à circunferência envolvente, que corta a circunferência imagem de $r$ segundo $\alpha$
  6. Finalmente a imagem desta reta $BN$, pela inversão relativamente à circunferência auxiliar de centro $A$ é a circunferência que passa por $A$, $B$ e $N$ (Tomámos $N=N'$ da reta e da circunferência de inversão) que corta a reta $r$ segundo $\alpha$, como podemos verificar na etapa final da construção.

26.6.13

Teorema de Mohr-Mascheroni

As construções geométricas com régua e compasso trabalham com dois tipos de figuras: as circunferências (compasso) e as retas (régua). Estas figuras fica determinadas por dois pontos — a reta — e por três pontos —a circunferência. Nas últimas entradas, vimos que, só com compasso, podemos determinar o centro de uma circunferência dada por três pontos e também vimos como determinar, só com compasso, os pontos de intersecção de quaisquer duas dessas figuras definidas unicamente pelos seus pontos. Para isso, usámos a inversão relativamente a uma ou várias circunferências.
Assim demonstrámos que
Todas as construções de régua e compasso podem ser feitas só com recurso a compasso (ou só com circunferências)
Este resultado é conhecido como teorema de Mohr-Mascheroni.

20.6.13

Exercícios interativos: Soluções (VII)

Na entrada do dia 5 de Junho, propomos que, com compasso e ponto a ponto, para quatro pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ dados, determine o ponto de interseção das retas $AB$ e $CD$.
Ilustramos a seguir as etapas da resolução desse problema:

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Para determinarmos a intersecção da reta $(A,B)$ com a reta $(C,D)$ recorrendo exclusivamente à circunferência, precisamos transformar, por inversão, essas retas em circunferências.
  1. Para definir uma inversão, basta tomar, como auxiliares, um ponto $P$ e uma circunferência nele centrada.
  2. Por inversão, relativamente a $P$ e à circunferência nele centrada, determinamos
    • $A'$ e $B'$
    • a circunferência que passa por $A', B', P$ é o transformado de $AB$ pela inversão
    • $C'$ e $D'$
    • a circunferência que passa por $C', D', P$ é o transformado de $CD$ pela inversão
    • as circunferências $(A',B',P)$ e $(C',D', P)$ intersetam-se em $P$ e em $I'$ sendo este a imagem, pela inversão definida, do ponto de intersecção $I$ de $(A,B)$ com $(C,D)$
  3. Determinar $I$ é feito usando a mesma inversão auxiliar, relativamente à qual determinamos o correspondente de $I'$
Este processo pode ser utilizado para determinar a intersecção de duas figuras — retas com circunferências, circunferências com circunferências, etc.

18.6.13

Exercícios interativos; Soluções (VI)

Na entrada de 30 de Maio, propomos ao leitor que,
com compasso e ponto a ponto, desenhe a circunferência que passa pelos três pontos $I$, $J$ e $K$ dados
Para realizar esse exercício, disponibilizávamos a ferramenta "compasso" que permite transferir comprimentos, embora tal possa ser feito com recurso a circunferências.
A construção dinâmica, a seguir apresentada, ilustra as etapas de uma resolução possível desse problema:
  1. A primeira etapa consiste na construção de três circunferências: uma de centro $I$ e raio $JK$ — chamemos-lhe $i$ — , outra de centro $J$ e raio $IK$ — $j$ — e a terceira de centro $K$ e raio $IJ$ — $k$ —; duas destas circunferências intersetam a terceira em pontos equidistantes do centro da terceira. No caso tomámos $C_1$ de $k.i$ e $C_2$ de $j.i$ que são pontos da circunferência que passa por $I$, $J$ e $K$, circunscrita ao triângulo $[IJK]$ e também aos triângulos $[C_1 KI]$ e $[C_2 JI]$ com ele congruentes. Repare-se, para exemplo, que $C_1 K = IJ$, $C_1 I = KJ$ e $IK=IK$ para ver que $[C_1 KI] = [JKI]$
  2. Como já vimos em entradas anteriores, o centro desta circunferência que passa por $C_1$ e $C_2$ terá a sua imagem, por inversão relativamente a $I$ e $i$, na interseção das circunferências centradas em $C_1$ e $C_2$ (de $i$) e a passar por $I$. Por isso, a segunda etapa da nossa resolução consiste nesta determinação de $C'$.
  3. Finalmente, determina-se o correspondente $C$ de $C'$ por inversão relativamente a $I$ e $i$.
  4. E com centro em $C$ traça-se a circunferência que passa por $C_1$, $C_2$, $I$, $J$ e $K$.

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14.6.13

Exercícios interativos: Soluções (V)

Na entrada de 28 de Maio, propomos ao leitor a determinação do centro de uma dada circunferência com recurso exclusivamente a circunferências
A construção dinâmica, que se apresenta a seguir, ilustra as etapas da resolução desse problema:
  1. Toma-se um ponto $P$ qualquer sobre a circunferência original e uma circunferência, a azul, de centro $P$ que intersete a original em dois pontos $A$ e $B$, a roxo;
  2. Com centros em $A$ e $B$ traçam-se as circunferências a roxo que passam por $P$ e também se intersetam em $C'$, a castanho;
  3. Com centro em $C'$ traça-se a circunferência, a castanho, que passa por $P$ e interseta a circunferência a azul nos pontos $D$ e $E$, amarelos;
  4. Finalmente as circunferências centradas em $D$ e $E$, a amarelo, que passam por $P$, intersetam-se ainda no ponto $C$, a vermelho.

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A entrada anterior que tratava da construção da imagem de um ponto qualquer por inversão relativamente a uma circunferência de centro $C$, mostra que a imagem de $C$, $C'$, por uma inversão de centro em $P$ é a interseção das circunferências centradas em $A$ e $B$ que passam por $P$. Assim, obtido $C'$, resta-nos obter $C$ como imagem de $C'$ pela inversão relativamente à circunferência azul e seu centro $P$. O ponto $C$ é o centro da circunferência original.

13.6.13

Exercícios interativos: Soluções (IV)

Na entrada de 26 de Maio, propomos ao leitor a determinação da imagem de um dado ponto $P$ por inversão relativamente a uma circunferência de centro $O$.
Chamemos $r$ ao raio desta circunferência. A construção dinâmica que se segue ilustra os passos da resolução só com compasso, a saber:
  1. traça-se a circunferência, a azul, centrada em $P$ e de raio $\overline{PO}$ que interseta a circunferência de centro $O$ nos pontos $D$ e $E$: $\overline{PO}=\overline{PD}=\overline{PE}$;
  2. com centros em $D$ e em $E$ traçam-se circunferências, a castanho, a passar por $O$ que se intersetam em $P'$, para além de $O$: $\overline{DO}=\overline{DP'}=\overline{EO}=\overline{EP'}=r$.

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$P'$, a vermelho, é o ponto que procuramos, como demonstramos em seguida:
  1. A construção foi feita para um ponto $P$ de tal modo que $\overline{OP}>\frac{r}{2}$ para que a circunferência de centro $P$ e raio $\overline{PO}$ intersete a circunferência de centro $O$ e raio $r$. $O$, $P$ e $P'$ são colineares, já que são equidistantes de $D$ e $E$ ($\overline{OD}=\overline{OE}=r$, $\overline{PD}=\overline{PE}=\overline{OP}$ e $\overline{P'D}=\overline{P'E}=r$) incidindo na mediatriz de $DE$;
  2. Lembramos que a área de um triângulo qualquer, de lados $a, b, c$, é dada por $\frac{1}{2}ab.sen(\hat{a,b})$ ou $\frac{1}{2}ac.sen(\hat{a,c})$ ou $\frac{1}{2}bc.sen(\hat{b,c})$ (ver adiante).
    Consideremos os triângulos isósceles $ODP$ e $ODP'$ ($\overline{PD}=\overline{PO}$ e $\overline{DO}=\overline{DP'}$) que são semelhantes por terem um ângulo comum $\angle\hat{O}$.
    A área do triângulo $\Delta ODP'$ pode ser calculada $$\frac{1}{2}.\overline{OD}.\overline{DP'}. sen(\angle O\hat{D}P') = \frac{1}{2}.r^2.sen(\angle O\hat{D}P'), $$ porque $\overline{DO}=\overline{DP'}=r$. A mesma área pode ser formulada de outro modo: $$\frac{1}{2}.\overline{OD}.\overline{DP'}. sen(\angle O\hat{D}P')= \frac{1}{2}.\overline{OP}.\overline{OP'}. sen(\angle O\hat{D}P')$$ porque $\overline{OD}=\overline{OP}$ e $\overline{DP'}=\overline{OP'}$.
    Comparando, obtemos $$\frac{1}{2}.r^2.sen(\angle O\hat{D}P')= \frac{1}{2}.\overline{OP}.\overline{OP'}. sen(\angle O\hat{D}P')$$ de onde se tira $$\overline{OP}.\overline{OP'}=r^2,$$ ou seja $$\frac{OP}{r}. \frac{OP'}{r}=1$$ correspondendo a: Tomando para unidade o raio $r$ da circunferência de centro $O$, $\overline{OP}\times \overline{OP'}=1$
Nota à margem sobre a área de um triângulo.
Este é uma Apliqueta Java criado utilizando o GeoGebra de www.geogebra.org - parece que não tem o Java instalado, aceda a www.java.com Observando a figura dinâmica ao lado, pode verficar que a área de $ABC$, $\frac{1}{2}.b.h_b$ pode ser escrita $\frac{1}{2}.b.c.sen(b\hat{,}c)$, por ser $\frac{h_b}{c}=sen \alpha=sen(\pi-\alpha)$

11.6.13

Exercícios interativos: Soluções(III)

A entrada de 24 de Maio mostrava um quadro para construção, com Cinderella, em que eram dados um círculo e um ponto A e propunha-se ao leitor
a determinação, sem acesso ao centro da circunferência, da sua tangente em A.


Agora, com recurso ao GeoGebra, apresenta-se a seguir uma resolução de que se reproduzem os passos fundamentais:
  1. a azul, determina-se a reta que passa pelo centro não conhecido: uma nova circunferência de centro em A que interseta a original em dois pontos determina os dois vértices da base de um triângulo isósceles; a reta que contém a altura relativa a A passa pelo centro desconhecido;
  2. a castanho, escolhem-se dois pontos equidistantes de A, sobre essa reta, e determina-se a perpendicular a ela que é a tangente em A (a vermelho).

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10.6.13

Exercícios interativos: Soluções(II)

Na entrada de 21 de Maio, era proposto um exercício em que se davam quatro pontos $A,A′,B, B′$, colineares e se propunha ao leitor que determinasse um ponto M tal que $$\frac{\overline{MA}}{\overline{MB}}=\frac{\overline{MA'}}{\overline{MB'}}$$
Claro que pode haver mais que uma resolução, mas aqui propomos que se comece por observar que $$\frac{\overline{MA}}{\overline{MB}}=\frac{\overline{MA'}}{\overline{MB'}} \Longleftrightarrow \overline{MA}\times\overline{MB'} = \overline{MA'}\times\overline{MB} $$ e, considerar $M$ o pé da da altura de um triângulo retângulo relativamente à sua hipotenusa $AB'$, isto é, inscrito numa circunferência de diâmetro $AB'$. Qualquer ponto $E$ dessa circunferência é tal que $$ME^2=\overline{MA}\times\overline{MB'}$$.
Para que $$\overline{MA}\times\overline{MB'}= \overline{MA'}\times\overline{MB}$$ é necessário que esse ponto $E$ seja ao mesmo tempo ponto da circunferência de diâmetro $BA'$. A construção seguinte ilustra isso mesmo.
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Pode ver a sucessão dos passos da construção, clicando no botão Reproduzir ou, passo a passo, clicando sucessivamente em &box;{>>} do conjunto dos controles (em baixo, à esquerda)

7.6.13

Exercícios interativos: Soluções (I)

Temos vindo a propor exercícios interativos - problemas para resolver usando construções dinâmicas com o Cinderella - sobre assuntos que já foram tratados (mais ou menos profundamente, há mais ou menos tempo). E prometemos que escreveríamos sobre a sua resolução ao fim de algum tempo. É o que vamos começar hoje mesmo a fazer.
A primeira construção (exercício interativo), de 19 de Maio, apresentava um dado quadrilátero ABCD e pedia aos leitores a determinação dos centros de todas as possíveis homologias que transformam ABCD num losango A'B'C'D'

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Para este caso basta rever ou reler a entrada determinação de uma homologia que transforma um dado quadrilátero num losango

5.6.13

Exercício interativo:
Determinar a interseção de AB com CD, usando circunferências.


2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção