Teorema de Hoehn

---

Como generalizar o teorema de Ceva

---

Projetivamente, o Teorema de Menelaus

[A.A.M.]

---

Seguindo
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry - A guided tour through real and complex geometry. Springer-Verlag. Berlin: 2011

A partir das considerações sobre o Teorema de Ceva

---

Teorema de CEVA

---

Teorema de Armin Saam (segunda parte e respetiva ilustração)

---

Teorema de Armin Saam (primeira parte e respetiva ilustração)

---

Transporte da razão dupla (esquema cíclico)

---

Transporte de razões duplas por perspetividade.

---

Homologia que transforma um quadrilátero num quadrado

---

Centro e reta limite da homologia que transforma um quadrilátero num retângulo

---

Que homologia faz corresponder um losango a um quadrilátero qualquer ?

Como determinar uma homologia que transforme um quadrilátero qualquer num losango?
A construção que se apresenta abaixo ilustra a resposta a essa pergunta.

Seja dado o quadrilátero ABCD. Já vimos que para que a figura homóloga de ABCD, A'B'C'D' seja um paralelogramo, há uma reta limite definida por L₁=AB.CD e L₂=AD.BC a que corresponderão, respetivamente, os pontos impróprios A'B'.C'D' e A'D'.B'C'
O centro O da homologia não pode ser qualquer ponto do plano, porque o losango é um paralelogramo de diagonais perpendiculares. Se tomarmos L₃=BD.L₁L₂ e L₄=AC.L₁L₂, será B'D'//OL₃ e A'C'//OL₄. Para ser B'D'⊥A'C', O terá de ser tal que OL₃⊥ OL₄, ou seja, O terá de ser um ponto da circunferência de diâmetro L₃L₄.

A homologia de que precisamos terá uma reta limite dependente do quadrilátero L₁L₂ e um centro O dependente do diâmetro L₃L₄ (pontos limite das diagonais do quadrilátero).
O eixo é uma qualquer reta paralela à reta limite.

Pode ver 2 bonecos um primeiro dinâmico e um segundo estático. Ou só o segundo....

Entre um quadrilátero qualquer e um paralelogramo, que homologia?

Determinar a figura correspondente de outra por uma determinada transformação geométrica é o tipo de exercício ou atividade que temos vindo a ilustrar. Nas últimas entradas, temos vindo a ilustrar a determinação de figuras homológicas para dadas homologias.

---

Um outro tipo de exercícios consiste em determinar a homologia que transforma uma figura noutra com propriedades específicas. De certo modo, já houve ilustrações que ajudam a resolver problemas deste tipo. Mas, decidimos dar alguns exemplos só para ilustrar esse tipo de problemas.
Nesta entrada, procurámos a homologia que transforma um quadrilátero dado num paralelogramo. Dado um quadrilátero ABCD, determinar uma homologia que o transforme em A'B'C'D' de lados opostos a encontrar-se em pontos da reta imprópria.
Se queremos que A'B'.C'D' e A'D'.B'C' sejam pontos da reta imprópria, AB.CD e AD.BC têm de ser pontos da reta limite. A homologia que procuramos terá de ter como reta limite a reta definida por esses dois pontos, na figura L₁ e L₂.
Tomando um centro O qualquer, OL₁ será a direção das imagens das retas correspondentes às que se intersetam em L₁: A'B'//C'D'//OL₁. Esas paralelas a OL₁ são tiradas pelos pontos de interseção de um eixo com AB e CD. Do mesmo modo, A'D'//B'C'//OL₂ ...
O eixo da homologia poderá ser uma reta qualquer paralela à reta limite porque esta contém o ponto correspondente ao ponto impróprio do eixo pela homologia em estudo.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Assim foi. Já não é aqui.