26.5.12

Polaridade a partir de um triângulo auto-polar


Mais do que uma vez, introduzimos ligações entre as palavras polar, polo e triângulos, de que são exemplos os artigos Polar trilinear de um ponto, Polar trilinear , Da polar trilinear para o pólo , etc. Polaridade trilinear pode já ter sido expressão utilizada. Essas expressões e, em particular, a polaridade trilinear introduzida não é uma polaridade, no sentido de que não é uma correlação projetiva que faz corresponder a cada ponto (reta) uma só reta (ponto), tal que se X tem por polar x, x tem por polo X e preservando a incidência.
Vamos agora provar que
Qualquer correlação projetiva que relacione cada um dos três vértices de um triângulo com o seu lado oposto é uma polaridade
Considere-se a correlação ABCP→abcp, em que a, b, c são os lados de um triângulo ABC e P é um ponto distinto dos vértices do triângulo. E seja p uma reta que não passa por qualquer dos vértices do triângulo.
O ponto P e a reta p determinam 6 pontos sobre os lados do triângulo
Pa=a.AP, Pb=b.BP, Pc=c.CP, Ap=a.p, Bp=b.p, Cp=c.p
A correlação, transformando A,B,C em a,b,c, transforma a=BC em b.c=A, b=AC em a.c=B, c=AB em a.b=C, AP em a.p=Ap, BP em b.p=Bp, CP em c.p=Cp.
Claro que transforma o triângulo (cada vértice no lado oposto, cada lado no vértice oposto) como uma polaridade.
Falta ver que, para além de transformar P em p, também transforma p em P.
A correlação transforma cada ponto X de c numa certa reta que interseta c em Y. Como se trata de uma correlação projetiva, X e Y são projetivos. Quando X é A, Y é B e quando X é B, Y é A. Dito de outro modo a correlação transforma A em B e B em A. Já que a correlação transforma Pc=c.CP em CCp, como vimos para A e B, Pc→Cp e Cp→Pc. A correlação transforma ainda Cp=c.p em CPc=CP. E do mesmo modo, a correlação transforma Ap=a.p em AP e Bp=b.p em BP. Finalmente, podemos concluir que esta correlação transforma p=ApBp=(a.p)(b.p) em AP.BP=P.

Ficou assim provado que a correlação ABCP→abcp é uma polaridade. De futuro, esta polaridade assim definida pode ser representada por (ABC)(Pp)

25.5.12

Triângulo auto-polar.


Lembramos que:
a) Uma polaridade é uma correlação projetiva que, se transforma um ponto A numa reta a', transforma a' em A: A polo de a', a' polar de A. b) Se A é um ponto de b e B, polo de b, é um ponto de a, polar de A, dizemos que A e B são pontos conjugados, e que a e b são retas conjugadas.
c) Um ponto A que incide na sua polar a' é conjugado de si mesmo (auto-conjugado). Dualmente, se uma reta a contem o seu polo, é conjugada de si mesma (auto-conjugada).
No artigo anterior, demonstrámos que Uma reta que passa por 2 pontos conjugados de si mesmos não pode ser conjugada de si mesma
e que
Uma reta não pode inicidir em mais que dois pontos conjugados de si mesmos.
Pode demonstrar-se também que
uma reta auto-conjugada contém um só ponto auto-conjugado.
Uma reta conjugada de si mesma contém o seu polo, que é auto-conjugado (conjugado de si mesmo). A existência sobre a reta auto-conjugada de outro ponto auto-conjugado é absurda já que haveria dois pontos diferentes associadas a uma mesma reta por uma correlação que associa a cada ponto uma só reta e a cada reta um só ponto.
Sejam dois pontos, X e Y, conjugados por uma polaridade sobre uma reta que não seja conjugada de si mesmo. Então há uma correspondência que associa a qualquer ponto de c, não autoconjugado, um outro ponto de c.
De facto, na reta c, não autoconjugada, a projetividade X→Y, em que Y=c.x, transforma qualquer não auto-conjugado ponto B num outro ponto A=b.c, cuja polar é BC=a. A mesma projetividade transforma A em B.
Dualmente, as retas x e CX=y são emparelhadas com retas conjugadas do feixe centrado em C.
Um triângulo como ABC, em que cada vértice é o polo do seu lado oposto (ou em que quaisquer dois vértices são pontos conjugados, ou em quaisquer dois lados são retas conjugadas) é classificado como triângulo auto-polar

24.5.12

Polos e polares. Conjugados e auto-conjugados


Haverá limitações à ocorrência de auto-conjugados?
Demonstramos que
Uma reta que passa por 2 pontos auto-conjugados não pode ser auto-conjugada
Se uma reta a passar por 2 pontos auto-conjugados fosse conjugada de si mesma, teria de conter o seu polo A e pelo menos, um outro ponto B auto-conjugado. A reta polar de B conteria A e B e, por isso, coincidiria com a. Quer dizer que A e B teriam a mesma polar, o que é impossível já que a polaridade é uma correlação que associa a cada reta um só ponto e a cada ponto uma só reta.
E vamos demonstrar que
Uma reta não pode inicidir em mais que dois pontos auto-conjudados
Sejam p e q duas retas, passando por C, polares de 2 pontos auto-conjugados: P e Q. Chamemos c à reta que passa por P e Q, c=PQ.
Sobre p tomemos um ponto R, distinto de P e C. A polar r de R passa por P. E tomemos r.q=S que é o polo de s=QR.
T=r.s é o polo de t=RS.
B=t.c é o polo de CT=b que inerseta c em A, conjugado harmónico de B relativamente a P e Q.
O ponto B não pode coincidir com Q nem com P, pois se fosse B=Q, então teria de ser R=C e se fosse B=P, teria de ser S=C, r=p e R=P o que seria absurdo já que assumimos R distinto de P e de C. Como A≠B por serem conjugados harmónicos, B não é conjugado de si mesmo.

Como as polares de uma pontual formam um feixe de retas projetivamente relacionado com a pontual, cada ponto X em c, determina um conjugado Y em c que não é mais que o ponto em que a polar x de X encontra c
X→x→Y

Quando X=P, x=p e Y=P. P é um ponto invariante desta projetividade. Do mesmo modo, se prova que Q é um ponto invariante. Mas quando X é B, Y é um ponto distinto de A e, por isso, a projetividade não é a identidade. P e Q são os únicos pontos invariantes; ou seja P e Q são os únicos pontos auto-conjugados em c. Fica assim provado que c não pode ter mais que dois pontos auto-conjugados.

22.5.12

Correlação: Polaridade


Chamamos polaridade a uma correlação que transformando cada ponto A numa reta a', transforma esta reta a' no ponto A.
Dizemos de a' que é polar de A e que é o polo de a'.
Por esta correlação projetiva que preserva a incidência, a cada ponto de a' corresponderá como polar uma reta passando por A (polo de A') ou que se A é polo de a', é centro de um feixe das retas polares dos pontos de a'.
Como uma polaridade dualiza as incidências, sempre que A incide numa reta b, a polar a de A passa pelo polo B de b e, neste caso, diremos que A e B são pontos conjugados e que a e b são retas conjugadas. Quando A é um ponto da sua polar a, A é conjugado de si mesmo (ou auto-conjugado); A está sobre a sua polar a e a passa pelo seu polo A.
Haverá limitações à ocorrência de autoconjugados?
Demonstramos que
Uma reta que passa por 2 pontos autoconjugados pode não ser autoconjugada

17.5.12

Correlação projetiva

Neste estudo de geometria projetiva, já considerámos correspondências relacionando um ponto com uma reta e uma reta com um ponto: por exemplo a correspondência elementar que relaciona uma pontual sobre r com um feixe de centro O, em que a pontual é a secção por r do feixe. A projetividade foi definida como uma composta destas correspondências elementares
A extensão deste conceito ao plano, consistirá numa transformação X→x' relacionando cada um dos pontos do plano com uma só reta do plano e a transformação dual x→X' que relaciona cada uma das retas do plano com um só ponto do plano:
∀X ∃1x': X→x'
e, dualmente:
∀x ∃1X': x→X'
Chamamos correlação a qualquer transformação do plano que a cada ponto faz corresponder uma reta e a cada reta faz corresponder um ponto presevando a relação de incidência em conformidade com o princípio da dualidade. De acordo com esta definição, a correlação transforma fileiras (ou pontuais) em feixes, feixes em fileiras, triláteros em trivértices, quadriláteros em quadrivértices, etc.
A correlação é um conceito autodual, a inversa de uma correlação é uma correlação e a composta (ou produto) de duas correlações é uma colineação.

Uma correlação projetiva é a correlação que transforma cada forma unidimensional projetivamente, no sentido de que se um ponto Y sobre uma reta b é transformado numa reta y', esta tem de passar pelo ponto B', imagem de b.
Seguindo a construção acima, provamos que qualquer correlação que transforma uma pontual projetivamente é uma correlação projetiva
Seja a e A' a reta e o ponto correspondentes pela projetividade que relaciona uma pontual de pontos X e um feixe de retas x'. Precisamos de estabelecer a relação entre dois pares , b e B', pela mesma projetividade. Seja Y um ponto de b e O um ponto fixo não incidente em a nem em b. E tomámos a reta OY que interseta a em X. A correlação dada transforma o ponto O numa reta o' fixa que não incida em A' nem em B'. OY é transformada no ponto o'.y' que é ligado a A' pela reta x'. Y e X são perspetivos por O e x' é perpsetivo com y' pelo eixo o'.
Como X e x' estão relacioados por uma projetividade, temos
Y→OX→x'→o'y'
a correlação induz uma projetividade Y→y' entre b e B', como queríamos.
Para obter o resultado dual para um feixe e a correspondente pontual temos de considerar a pontual de pontos Y em b como uma secção do feixe centrado em B' das retas y' .

14.5.12

Colineação perspetiva - elação

ELAÇÃO
Se o centro O da perspetividade incide no eixo o da perspetividade, a colineação perspetiva toma o nome de elação
Uma elação está determinada quando são dados o seu eixo e um par de pontos correspondentes.
Na construção que se segue, são dados o eixo o e o par de correspondentes C e C'. O centro O fica assim determinado O=CC'.o. Para A qualquer, A' estará sobre OA e sobre EC' sendo E=AC.o e para qualquer B, B' está na interseção de OB com DC'.
Os pontos que são imagens de si mesmo (invariantes) por uma elação estão todos sobre o seu eixo.
Qualquer colineação que tenha uma e não mais que uma pontual de pontos invariantes (imagens de si mesmos) é perspetiva.
Se uma colineação tem uma pontual de pontos invariantes, tem certamente um feixe de retas invariantes (imagens de si mesmas).

11.5.12

Colineação perspetiva - homologia

Já vimos no artigo anterior que quaisquer dois triângulos perspetivos estão relacionados por uma colineação perspetiva. Quaisquer dois triângulos perspetivos estão relacionados por uma colineação perspetiva que pode ser uma homologia ou uma elação conforme o centro e o eixo não são ou são incidentes.

HOMOLOGIA
Fizemos construções de triângulos perspetivos em que os centros de perspetividade não incidiam no eixo de perspetividade. Quando isto acontece a colineação perspetiva toma o nome de homologia.
Uma homologia fica determinada quando são dados os centro e eixo e um par de pontos correspondentes colineares com o centro.
Na construção que se segue, tomaram-se o centro O, o eixo o, A e A' (sendo AA' incidente em O). Para um B qualquer, toma-se F=AB.o e B'=OB.FA'. Do mesmo modo, para um C qualquer, toma-se E=AC.o e C'=OC.EA'.



Para a homologia, o centro é único ponto invariante fora do seu eixo.

10.5.12

Colineação perspetiva

Na construção que se segue, os dois triângulos PQR e P'Q'R' estão relacionados por uma perspetividade de centro O.
O Teorema de Desargues garante que esses triângulos são perspetivos em relação a uma reta o.
Será que esta perpetividade de centro O é uma colineaçao?
Usando o resultado sobre colineações projetivas entre dois quadriláteros, vamos provar que isso é verdade.
Como vimos no anterior artigo, há uma só colineação projetiva que transforma o quadrângulo DEPQ em DEP'Q'. Esta colineação projetiva transforma a reta o=DE em si mesma e a reta PQ em P'Q', deixa invariante o ponto o.PQ=F=o.PQ'. E, como aceitámos, se uma projetividade deixa invariantes três pontos de uma reta, então deixa invariantes todos os pontos da reta o. Para essa colineação projetiva, as duas retas PP' e QQ' são invariantes e incidem no ponto O, também ele invariante. O ponto R=DQ.EP é transformado em DQ'.EP'=R'. O dual do segundo axioma do artigo anterior "Se uma projetividade deixa invariantes cada uma de três retas passando por um ponto O, então qualquer reta passando por O é imagem de si mesma por essa projetividade", garante que para a projetividade DEPQ→DEP'Q', são invariantes todas as retas passando por O.
Do mesmo modo, a colineação projetiva que relaciona os quadrângulos EFQR e EFQ'R' para a qual E e F são invariantes transforma QR em Q'R' e a colienação projetiva que relaciona DFPR e DFP'R' transforma PR em P'R' e DF em si mesma.
Fica assim demonstrado que a perspetividade de centro O, a relacionar três retas que se inersetam duas a duas sobre retas do feixe de centro O, é uma colineação.



ilustração estática *.png a partir da construção dinâmica interactiva original realizada com Cinderella


Esta colineação relacionando dois triângulos perspetivos chama-se naturalmente colineação perspetiva.
O ponto O e a reta o, a partir dos quais os triângulos são perspetivos, tomam os nomes de centro e eixo da colineação perspetiva.

7.5.12

Colineações projetivas. Quadriláteros.

(1) A única projetividade que transforma quatro retas lados de um quadriátero completo em si mesmas é a identidade. Do mesmo modo, a identidade é a única colineação projetiva que transforma quatro pontos vértices de um quadrângulo completo em si mesmos.
Para este resultado ( e os outros, claro!) com quadriláteros convém ter presentes os seguintes axiomas
(a) Os três pontos diagonais de um quadrilátero completo nunca são colineares.
e
(b) Se uma projetividade deixa invariantes cada um de três pontos distintos sobre uma reta, então qualquer ponto da reta é imagem de si mesmmo por essa projetividade.

(2)Entre quaiquer dois quadriláteros completos (ou quadrângulos) com os quatro lados (vértices) correspondentes por uma dada ordem, só há uma colineação projetiva que transforma um no outro.
Constrói-se.




ilustração estática *.png a partir da construção dinâmica interactiva original realizada com Cinderella


Notas de demonstração:
a) Exige-se uma dada ordem para os lados correspondentes para só termos 4 pares de pontuais projetivas que poderá verificar conduzem a uma única colineação (e evitar 24 possíveis combinações se não estabelecermos essa ordem).

b) Claro que podemos definir uma projetividade entre as pontuais DAF e D'A'F'e entre DCE e D'C'E' definidas na construção. Do mesmo modo, relacionaríamos CBF com C'B'F' e ABE com A'B'E'.
Tomemos agora uma reta a. E suponhamos que a=XY em que X está em DE e Y ou DF. As projetividades entre DAF e D'A'F' e entre DCE e D'C'E' determinam a'=X'Y', sendo DCEX e D'C'E'X' projetivos, bem assim DAFY e D'A'F'Y'.
Para provar que a correspondência entre a e a' é uma colineação, temos de verificar que relaciona pontos com pontos e de tal modo que a incidência seja preservada. Para isso, considera-se a como reta de um feixe de tal modo que X e Y sejam perspetivos. Por construção de a', temos que X' é imagem de X e Y' é imagem de Y por projetividade. E como D é o invariante para a perspetividade X→Y, D' é o invariante para a perspetividade X'→Y'.
Tal como a, a' também é uma reta de um feixe o que quer dizer que retas concorrentes são transformadas em retas concorrentes. Uma projetividade X→X' chegou para garantir uma transformação reta a reta e ponto a ponto que preserva a incidência: a→a' é uma colineação.

c) Preciso será ainda provar que esta colineação projetiva que leva de ABCDEF para A'B'C'D'E'F' é única, o que se faz por absurdo recorrendo ao resultado enunciado imediatamente antes deste.

3.5.12

Colineações projetivas. Triângulos.

Depois de apresentadas as transformações projetivas básicas (projetividades e perspetividades), referiremos e estudaremos algumas designações e propriedades de transformações projetivas particulares que vão ser utilizadas.

(a) Uma colineação é uma transformação (do plano no plano) de ponto a ponto ou de reta a reta que preserva a relação de incidência. Transforma pontuais em pontuais, feixes em feixes, quadriláteros em quadriláteros, etc.
As translações, rotações, reflexões, dilações são exemplos conhecidos de colineações.
(b) A inversa de uma colineação é uma colineação, a identidade é uma colineação e a composta (ou produto) de duas colineações é uma colineação.

Uma colineação projetiva transforma pontuais (e feixes) projetivamente no sentido de que, se transforma os pontos X de uma reta x em pontos X' de x', a relação entre X e X' é uma projetividade (bem como a relação entre x e x').

(c) Vejamos um exemplo de colineação projetiva

Sejam x e y as retas correspondentes por projetividade. A construção X> → Y dá um processo geral para definir uma projetividade entre os pontos de x e os pontos de y, partir de uma composta de perspetividades, com recurso a uma reta z auxiliar e centros O1 e O2 não incidentes em qualquer dessas retas. Pode deslocar X em x para verificar que
∀ X∈ x, ∃1Y∈y: Y é obtido de X por projetividade.

ilustração estática *.png a partir da construção dinâmica interactiva original realizada com Cinderella


Com recurso à projetividade que relaciona ponto a ponto as retas x e y, pudemos estabelecer ou construir uma relação biunívoca ente os pontos de outras duas quaisquer retas a e a' b e b', c e c', isto é, a projetividade entre x e y induz uma colineação entre dois triângulos (a,b,c) e (a',b',c') (ABC e A'B'C') . Tomámos dois pontos O e O' não incidentes em quaisquer das retas anteriormente consideradas. Seja P um ponto qualquer (variável) da reta a=BC. Determinamos P1 sobre x, P1=PO.x e pela projetividade entre x e y, determinamos o correspondente P2 de P1. Finalmente determinamos P' sobre a', P'=P2O'.a'. Pode deslocar P sobre a para confirmar que P' se desloca sobre a', que quando P=B, P'=B', ... Do mesmo se procede para os pontos das retas b e c

em a=BC, P perspO P1 proj P2 perspO'P' em a'=B'C': P→P' por uma projetividade
em b=AC, Q perspO Q1 proj Q2 perspO'Q' em b'=A'C'
em c=AB, R perspO R1 proj R2 perspO'R' em b'=A'B'
.
Concluindo: uma projetividade de x em y induz uma colineação como uma transformação f ponto a ponto e reta a reta que preserva a incidência transformando projetivamente um triângulo noutro:
∀ (l,l'), ∀ L∈ l., .∃1L'∈l': f(L)=L'. Claro que f-1(L')=L. Repare que A=AB.AC e A'=A'B'.A'C',… como é óbvio