2.3.12

Para escrever sobre quadriláteros (completos)

De forma semelhante à abordagem dos triângulos, usamos a palavra quadrilátero (ou quadrângulo) consagrada para designar
  1. o conjunto formado por quatro pontos {A,B,C,D}, dos quais não há 3 colineares, (vértices) e pelas 6 retas {AB,AC,AD,BC,BD,CD} definidas pelos pares de pontos existentes, a que chamamos lados. Dois lados consideram-se opostos quando se intersetam em pontos que não A, B, C, D, ou seja, em pontos que não são vértices, no caso, E,F,G. Esses 3 pontos tomam o nome de pontos diagonais

  2. o conjunto formado pelas quatro retas {a,b,c,d}, das quais não há 3 incidentes num ponto,(lados) e pelos 6 pontos {a.b,a.c,a.d,b.c,b.d,c.d} definidos pelos 6 pares de retas existentes a que chamamos vértices. Dois vértices consideram-se opostos quando definem uma reta que não é qualquer dos 4 lados a,b,c ou d, a saber, a.d e b.c, a.c e b.d, a.b e c.d. As retas definidas por vértices opostos chamam-se retas diagonais, no caso, e,f,g.
Para distinguir de outros conceitos associados à palavra quadrilátero, falamos de quadriláteros completos para evitar confusão. De um modo geral, em geometria projetiva só consideramos quadriláteros completos e é frequente falarmos de quadriláteros quando nos estamos a referir a quadriláteros completos.


Para escrever sobre triângulos

Escolhemos para base do estudo de geometria projetiva do plano, as noções primitivas de ponto, reta e incidência. O nosso plano foi definido como um conjunto de pontos {A,B,C,...} não vazio e uma família de subconjuntos {a,b,c, ..} não vazia a que chamámos retas. Considerámos a existência de uma reta a e um ponto A não incidente em a, e, assim, podemos sempre considerar o nosso mundo plano composto por todos os pontos que incidem nas retas definidas pelo ponto A e por cada ponto da reta a, bem como por todas as retas que possam ser definidas por quaisquer pares de pontos assim determinados.
E, a partir de agora, falaremos de triângulos (com recurso a palavra já consagrada pelo uso) como um conjunto de três pontos {A, B, C} não colineares (que não incidem todos numa só reta), a que chamamos vértices e das três retas {AB, BC, AC}, a que chamamos lados, determinadas pelos 3 pares de pontos existentes. Que é exata(dual)mente o mesmo que considerar o conjunto de 3 retas {a, b, c} (lados) não incidentes num mesmo ponto e dos três pontos {a.b, b.c, a.c} (vértices) de incidência dos 3 pares de retas existentes. Escrevemos AB para designar a única reta que passa por (comum a) A e B e a.b para designar o ponto único de (comum a) duas retas concorrentes (a.b=a∩b).



29.2.12

Exercício interativo: projetividade entre feixes


28.2.12

Usando perspetividades para determinar projetividades entre pontuais: permutações

A construção seguinte parte de uma pontual ABC. Toma-se um ponto Q, exterior a ABC, e, por ele, o feixe QA,QB cortado por uma reta arbitrária por C que corta o feixe QA,QB em R e S. Ficamos com os feixes (AQ,AS,AC),(BR,BQ,BC). O ponto P de incidência comum a AS e BR define um novo feixe (PQ,PR,PS). O ponto D, colinear com ABC fica determinado univocamente por construção.
Esta construção é muito interessante para ver que compostas de diferentes perspetividades têm o mesmo efeito e serve ainda para resolver vários problemas de projetividades que definem permutações dos pontos das pontuais ABCD, ABC, etc



Por exemplo:
  1. o feixe RA,RB,RC corta ABC e APS e a perspetividade de centro R leva de A para A, B para P e C para S
    e o feixe QA,QB,QC corta APS e ABC e a perspetividade de centro Q leva de A para A, P para D e S para B,
    tendo a sua composta o efeito de levar de ABC para ADB.
    Podemos escrever
    ABC →R APS →Q ADB
  2. O mesmo efeito obteríamos se, tomássemos os feixes SA,SB,SC e respetivas secções ABC e AQR para a perspetividade de centro S e o feixe PA,PQ, PR e respetivas secções AQR e ADB
    ABC →S AQR →P ADB

  3. Para obter a permutação BAC de ABC, podemos tomar uma perspetividade de centro P, seguida de uma perspetividade de centro Q, abreviadamente
    ABC →P SRC →Q BAC

27.2.12

Pontual de 4 pontos: permutações por projetividade

Quaisquer quatro pontos colineares podem ser permutados em pares por projetividade

Nas construções que se seguem, tomam-se quatro pontos colineares (quaisquer) A,B, C, D. Vamos provar que existe uma projetividade tal que A→B e B→A, C→D e D→C.

Sendo R um ponto não colinear com A,B,C,D, uma reta arbitrária incidindo em D corta o feixe RA, RB, RC na pontual T,Q, W. Sendo Z o ponto de incidência comum às retas AQ e RC, podemos concluir que
ABCD → BADC

Assim:

pela perspetividade de centro Q, (feixe verde, cortado por RZWC e ABCD):   ABCD →ZRCW,
seguida da perspetividade de centro A, (feixe azul cortado por RZWC e TQWD):    ZRCW → QTDW
e da perspetividade de centro R, (feixe castanho cortado por TQWD e ABCD):    QTDW→BADC.

Exercicios propostos por Coxeter:
  1. Dados 3 pontos colineares A, B, C, definir duas perspetividades cuja composta tenha o efeito A→B, B→A e C→C
  2. Dadas três retas concorrentes a, b, c, definir duas perspetividades cuja composta tenha o efeito abc →bac
  3. Dados três pontos colineares A,B,C e três retas concorrentes a,b,c definir cinco correspondências elementares (biunívocas) cuja composta tenha o efeito
    ABC→abc.
  4. Dados quatro pontos colineares A,B,C,D, determinar três perspetividades cuja composta tenha o efeito
    ABCD →DCBA

25.2.12

Exercício interativo:
Determinar a imagem de um ponto pela projetividade entre duas pontuais da mesma base


24.2.12

Projetividade entre duas pontuais com a mesma base

Consideremos as pontuais A, B , C e A', B', C',tendo por base a mesma reta. Vamos determinar a projetividade A→A', B→B', C→C', usando feixes de retas e pontuais como secções de feixes.
Comecemos por tomar um ponto V em que não incide a reta dos pontos A, B, C, A', B', C'. E consideremos o feixe VA', VB', VC'.
Tomamos a pontual A1, B1, C1 secção do feixe centrado em V por  s (auxiliar). Obviamente que A',B',C' e A1, B1, C1 são V-perspetivos.
Teremos agora de arranjar uma pontual A2, B2 , C2, que é secção comum aos feixes AA1, AB1, AC1 (por A)  e A1A, A1B, A1C (por A1), seguindo um processo já antes usado.


Assim:
- pela perspetividade centrada em A1,
A→A2, B→B2 ,C→C2;

- pela perspetividade centrada em A,
A2→A1, B2→B1, C2→C1;

- pela perspetividade centrada em V,
A1 →A', B1→B', C1→C'

Concluindo:
A→A', B→B', C→C'.

16.2.12

Outra forma de definir a projetividade entre duas pontuais

Nas últimas entradas, tratámos de determinar a projetividade entre duas pontuais ABC e DEF (ou entre dois feixes abc e def).
Para isso considerámos que A→D, B→E e C→F. Em seguida tomámos os feixes por A: AD, AE, AF e por D: DA,DB,DC. Traçámos a reta que incide nos pontos de interseção de AE com DB e AF com DC. Ficando assim definidas duas perpetividades entre as pontuais ABC e DEF para a secção comum dos feixes por A e por D.
A projetividade entre as pontuais ABC e DEF aparece como a composta das duas perspetividades. Note-se que essa projetividade não é uma perspetividade, já que AD,BE e CF não têm qualquer ponto em comum.
Na figura que se segue, não vamos tomar perspetividades centradas em A e D. Tomamos pontos quaisquer sobre BE (podia ser sobre AD ou sobre CF), a saber: O1 e O2 e os feixes O1A, O1B, O1C e O2D, O2E, O2F, definindo uma reta intermédia incidindo em I=O1A∩ O2D K=O1C∩O2F. Tomamos ainda J na interseção de O1O2 com a reta intermédia.
A projetividade fica definida A→I→D, B→J→E e C→K→F.
Obtivemos assim a projetividade como produto de duas perspetividades. Se mover os pontos O1 ou O2, verá que a projetividade se pode decompor em duas perspetividades de uma infinidade de modos.


14.2.12

Projetividade entre quaisquer dois feixes

Será que entre dois feixes a,b,c por R e d,e,f por S (quaisquer) se pode estabelecer uma correspondência biunívoca que seja uma projetividade?
Pode. Tomemos uma reta que corte a,b,c em A,B,C e outra que corte d,e,f em D,E,F. Usando o processo da anterior entrada (a castanho na figura), determina-se a projetividade entre as pontuais A,B,C e D,E,F como composta de duas perspetividades.
Temos
abc→ABC → DEF →def

Para cada reta x do feixe por R, há uma só reta do feixe por S que é projetiva com x (para a projetividade construída). Fica como exercício a sua determinação usando as ferramentas disponíveis. O computador reconhece a solução.

Fica assim provado que há uma projetividade que transforma o feixe abc noutro def. Ficará por provar que é única.
Será que há sempre uma projectividade entre dois feixes de 4 retas?

13.2.12

Projetividade entre quaisquer duas pontuais?

Será que entre duas pontuais A,B,C de r e D,E,F de s (quaisquer) se pode estabelecer uma correspondência biunívoca que seja uma projetividade?
Pode. Tomemos os feixes de retas AD, AE e AF (por A) e DA, DB e DC (por D) e a reta GH (=o) em que G=AE∩DB e H=AF∩DC. E tomemos I=AD∩GH. Ficam assim construidas duas perspetividades: uma que transforma a pontual A,B,C de r a pontual I,G,H de o (secções por r e o do feixe de retas incidentes em D) e outra que transforma a pontual I,G,H de o na pontual D,E,F de s (secções por o e s do feixe de retas incidentes em A).
A o chamamos eixo da projetividade que transforma a pontual A,B,C de r na pontual D,E,F de s. Escrevemos
ABC → IGH → DEF

Para cada ponto X de r, o correspondente em s, pela projetvidade assim definida, será o ponto X'' de incidência comum a AX' e s, em que X' é o ponto de incidência comuma a DX e o.

Fica assim provado que há sempre uma projetividade que transforma uma pontual ABC noutra DEF (determinada como composta de duas perspetividades). Ficará por provar que é única. Para isso, bastará verificar que qualquer sequência de perspetividades relacionando ABC com DEF terá sempre o mesmo efeito sobre X.
Será que há sempre uma projectividade entre duas pontuais de 4 pontos?

12.2.12

Perspetividades

Tomemos duas pontuais: A, B, C sobre uma reta r e D, E, F sobre outra reta s distinta de r. Claro que podemos estabelecer várias correspondências biunívocas entre os pontos das duas pontuais (ou fileiras). Há, no entanto, correspondências biunívocas especiais. Para exemplo, tomemos A→ D, B→E e C→F. Se as retas AD, BE e CF incidirem num mesmo ponto O, dizemos que as duas fileiras estão relacionadas por uma perspetividade com centro em O (são secções de um mesmo feixe por O) ou são perspetivas.



Dualmente, se tomarmos dois feixes de retas: a, b, c incidindo em R e d, e, f incidindo em S, há várias correspondências biunívocas entre as retas dos dois feixes. Para exemplo tomemos a→d, b→e, c→f. Se as interseções dos pares de retas correspondentes A=a∩d, B=b∩e, C=c∩f incidem numa mesma reta o, dizemos que os feixes estão em perspetividade de eixo o


9.2.12

Projetividade




Na construção acima, tomamos uma transformação obtida pela combinação de três correspondências elementares (introduzidas na mensagem anterior). Para isso, usámos uma sequência de retas e pontos (alternadamente):

o,O, o1, O1, o2, O2,o3, O3, ... , on-1, On-1, on, On

Claro que tomamos os pontos On não incidentes em qualquer das retas on para que as correspondências X(n) para x(n) sejam biunívocas, ligando pontos da fileira de pontos X em o (ou o feixe de retas x passando por O) com o feixe das retas x(n) passando por On (ou a fileira dos pontos X(n) da reta on) . A esta transformação dá-se o nome de projetividade. E em vez de escrever

X→x→X'→x'→X''→x''→X'''→ ... → x(n-1) →X(n)

escrevemos simplesmente

X →X(n) ou x →X(n) ou X→x(n)

8.2.12

Feixes e fileiras

A um conjunto de pontos distintos sobre uma mesma reta r chamamos uma fileira (ou pontual) da reta. A um conjunto de retas distintas que passam por um mesmo ponto R chamamos feixe de retas por R.
Na construção seguinte, temos uma reta r e um ponto R não incidentes. Siga as instruções:
  1. Clique no botão fileira
    • e observe o que acontece
  2. clique de novo no botão fileira para ocultar e, em seguida, clique no botão feixe
    • e observe o que acontece.
  3. Finalmente mantenha os dois botões ativos



Repare que o feixe de retas a,b,c corta a reta r nos pontos A, B, C. E, por isso, podemos dizer que a fileira A,B C é a secção por r do feixe tirado por R. Se r não incide em R, há uma correspondência um a um entre A,B,C e as retas a,b,c do feixe (por A e R passa uma só reta a). A reter: há uma correspondência biunívoca em que para cada X da fileira de r, há uma só reta do feixe por R que passa por X e, em que, para cada reta x do feixe por R há um só ponto X da fileira de r.


Nota: Agradecemos a José Manuel Santos dos Santos (do IGP) que nos livrou de uma intrigante janela algébrica que se sobrepunha à construção.

6.2.12

Nomes da Geometria Projetiva

Nestas entradas de Geometria Projetiva, interessam-nos primordialmente noções, problemas e construções dinâmicas. Não acompanharemos a história da Geometria Projetiva, mas forçosamente aparecerão os nomes dos matemáticos que fizeram história. Por isso, aqui deixamos uma lista de Referências que estabelecem ligações a páginas onde se podem consultar as biografias e os principais resultados a que cada um ficou ligado.
A lista será enriquecida à medida que nos for chamada a atenção para os nomes de outros geómetras.

Do último desta lista, Coxeter, retemos dois livros
The real projective plane (Cambridge: University, 1961) e
Projective geometry (New York:Springe, 1994).

As definições e nomes que vamos seguir são, em larga medida, deste último livro de Coxeter.



weBiografias
Pappus(n.350-f.290AC) Euclides(? -300AC) Arquimedes(287-212AC)
Brunelleschi(1377-1446) Alberti(1404-1472) Kepler(1571-1630)

Desargues (1591-1661)
Georg Mohr(1640-1697) Mascheroni (1750-1800)
Gergonne (1771-1859)
von Staudt (1770-1875)

Poncelet (1788-1788)
Chasles (1793-1880) Karl Feuerbach (1800-1834) Klein (1849-1925)
Coxeter(1907-2003)

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção