28.2.12

Usando perspetividades para determinar projetividades entre pontuais: permutações

A construção seguinte parte de uma pontual ABC. Toma-se um ponto Q, exterior a ABC, e, por ele, o feixe QA,QB cortado por uma reta arbitrária por C que corta o feixe QA,QB em R e S. Ficamos com os feixes (AQ,AS,AC),(BR,BQ,BC). O ponto P de incidência comum a AS e BR define um novo feixe (PQ,PR,PS). O ponto D, colinear com ABC fica determinado univocamente por construção.
Esta construção é muito interessante para ver que compostas de diferentes perspetividades têm o mesmo efeito e serve ainda para resolver vários problemas de projetividades que definem permutações dos pontos das pontuais ABCD, ABC, etc



Por exemplo:
  1. o feixe RA,RB,RC corta ABC e APS e a perspetividade de centro R leva de A para A, B para P e C para S
    e o feixe QA,QB,QC corta APS e ABC e a perspetividade de centro Q leva de A para A, P para D e S para B,
    tendo a sua composta o efeito de levar de ABC para ADB.
    Podemos escrever
    ABC →R APS →Q ADB
  2. O mesmo efeito obteríamos se, tomássemos os feixes SA,SB,SC e respetivas secções ABC e AQR para a perspetividade de centro S e o feixe PA,PQ, PR e respetivas secções AQR e ADB
    ABC →S AQR →P ADB

  3. Para obter a permutação BAC de ABC, podemos tomar uma perspetividade de centro P, seguida de uma perspetividade de centro Q, abreviadamente
    ABC →P SRC →Q BAC

27.2.12

Pontual de 4 pontos: permutações por projetividade

Quaisquer quatro pontos colineares podem ser permutados em pares por projetividade

Nas construções que se seguem, tomam-se quatro pontos colineares (quaisquer) A,B, C, D. Vamos provar que existe uma projetividade tal que A→B e B→A, C→D e D→C.

Sendo R um ponto não colinear com A,B,C,D, uma reta arbitrária incidindo em D corta o feixe RA, RB, RC na pontual T,Q, W. Sendo Z o ponto de incidência comum às retas AQ e RC, podemos concluir que
ABCD → BADC

Assim:

pela perspetividade de centro Q, (feixe verde, cortado por RZWC e ABCD):   ABCD →ZRCW,
seguida da perspetividade de centro A, (feixe azul cortado por RZWC e TQWD):    ZRCW → QTDW
e da perspetividade de centro R, (feixe castanho cortado por TQWD e ABCD):    QTDW→BADC.

Exercicios propostos por Coxeter:
  1. Dados 3 pontos colineares A, B, C, definir duas perspetividades cuja composta tenha o efeito A→B, B→A e C→C
  2. Dadas três retas concorrentes a, b, c, definir duas perspetividades cuja composta tenha o efeito abc →bac
  3. Dados três pontos colineares A,B,C e três retas concorrentes a,b,c definir cinco correspondências elementares (biunívocas) cuja composta tenha o efeito
    ABC→abc.
  4. Dados quatro pontos colineares A,B,C,D, determinar três perspetividades cuja composta tenha o efeito
    ABCD →DCBA

25.2.12

Exercício interativo:
Determinar a imagem de um ponto pela projetividade entre duas pontuais da mesma base


24.2.12

Projetividade entre duas pontuais com a mesma base

Consideremos as pontuais A, B , C e A', B', C',tendo por base a mesma reta. Vamos determinar a projetividade A→A', B→B', C→C', usando feixes de retas e pontuais como secções de feixes.
Comecemos por tomar um ponto V em que não incide a reta dos pontos A, B, C, A', B', C'. E consideremos o feixe VA', VB', VC'.
Tomamos a pontual A1, B1, C1 secção do feixe centrado em V por  s (auxiliar). Obviamente que A',B',C' e A1, B1, C1 são V-perspetivos.
Teremos agora de arranjar uma pontual A2, B2 , C2, que é secção comum aos feixes AA1, AB1, AC1 (por A)  e A1A, A1B, A1C (por A1), seguindo um processo já antes usado.


Assim:
- pela perspetividade centrada em A1,
A→A2, B→B2 ,C→C2;

- pela perspetividade centrada em A,
A2→A1, B2→B1, C2→C1;

- pela perspetividade centrada em V,
A1 →A', B1→B', C1→C'

Concluindo:
A→A', B→B', C→C'.

16.2.12

Outra forma de definir a projetividade entre duas pontuais

Nas últimas entradas, tratámos de determinar a projetividade entre duas pontuais ABC e DEF (ou entre dois feixes abc e def).
Para isso considerámos que A→D, B→E e C→F. Em seguida tomámos os feixes por A: AD, AE, AF e por D: DA,DB,DC. Traçámos a reta que incide nos pontos de interseção de AE com DB e AF com DC. Ficando assim definidas duas perpetividades entre as pontuais ABC e DEF para a secção comum dos feixes por A e por D.
A projetividade entre as pontuais ABC e DEF aparece como a composta das duas perspetividades. Note-se que essa projetividade não é uma perspetividade, já que AD,BE e CF não têm qualquer ponto em comum.
Na figura que se segue, não vamos tomar perspetividades centradas em A e D. Tomamos pontos quaisquer sobre BE (podia ser sobre AD ou sobre CF), a saber: O1 e O2 e os feixes O1A, O1B, O1C e O2D, O2E, O2F, definindo uma reta intermédia incidindo em I=O1A∩ O2D K=O1C∩O2F. Tomamos ainda J na interseção de O1O2 com a reta intermédia.
A projetividade fica definida A→I→D, B→J→E e C→K→F.
Obtivemos assim a projetividade como produto de duas perspetividades. Se mover os pontos O1 ou O2, verá que a projetividade se pode decompor em duas perspetividades de uma infinidade de modos.


14.2.12

Projetividade entre quaisquer dois feixes

Será que entre dois feixes a,b,c por R e d,e,f por S (quaisquer) se pode estabelecer uma correspondência biunívoca que seja uma projetividade?
Pode. Tomemos uma reta que corte a,b,c em A,B,C e outra que corte d,e,f em D,E,F. Usando o processo da anterior entrada (a castanho na figura), determina-se a projetividade entre as pontuais A,B,C e D,E,F como composta de duas perspetividades.
Temos
abc→ABC → DEF →def

Para cada reta x do feixe por R, há uma só reta do feixe por S que é projetiva com x (para a projetividade construída). Fica como exercício a sua determinação usando as ferramentas disponíveis. O computador reconhece a solução.

Fica assim provado que há uma projetividade que transforma o feixe abc noutro def. Ficará por provar que é única.
Será que há sempre uma projectividade entre dois feixes de 4 retas?

13.2.12

Projetividade entre quaisquer duas pontuais?

Será que entre duas pontuais A,B,C de r e D,E,F de s (quaisquer) se pode estabelecer uma correspondência biunívoca que seja uma projetividade?
Pode. Tomemos os feixes de retas AD, AE e AF (por A) e DA, DB e DC (por D) e a reta GH (=o) em que G=AE∩DB e H=AF∩DC. E tomemos I=AD∩GH. Ficam assim construidas duas perspetividades: uma que transforma a pontual A,B,C de r a pontual I,G,H de o (secções por r e o do feixe de retas incidentes em D) e outra que transforma a pontual I,G,H de o na pontual D,E,F de s (secções por o e s do feixe de retas incidentes em A).
A o chamamos eixo da projetividade que transforma a pontual A,B,C de r na pontual D,E,F de s. Escrevemos
ABC → IGH → DEF

Para cada ponto X de r, o correspondente em s, pela projetvidade assim definida, será o ponto X'' de incidência comum a AX' e s, em que X' é o ponto de incidência comuma a DX e o.

Fica assim provado que há sempre uma projetividade que transforma uma pontual ABC noutra DEF (determinada como composta de duas perspetividades). Ficará por provar que é única. Para isso, bastará verificar que qualquer sequência de perspetividades relacionando ABC com DEF terá sempre o mesmo efeito sobre X.
Será que há sempre uma projectividade entre duas pontuais de 4 pontos?

12.2.12

Perspetividades

Tomemos duas pontuais: A, B, C sobre uma reta r e D, E, F sobre outra reta s distinta de r. Claro que podemos estabelecer várias correspondências biunívocas entre os pontos das duas pontuais (ou fileiras). Há, no entanto, correspondências biunívocas especiais. Para exemplo, tomemos A→ D, B→E e C→F. Se as retas AD, BE e CF incidirem num mesmo ponto O, dizemos que as duas fileiras estão relacionadas por uma perspetividade com centro em O (são secções de um mesmo feixe por O) ou são perspetivas.



Dualmente, se tomarmos dois feixes de retas: a, b, c incidindo em R e d, e, f incidindo em S, há várias correspondências biunívocas entre as retas dos dois feixes. Para exemplo tomemos a→d, b→e, c→f. Se as interseções dos pares de retas correspondentes A=a∩d, B=b∩e, C=c∩f incidem numa mesma reta o, dizemos que os feixes estão em perspetividade de eixo o


9.2.12

Projetividade




Na construção acima, tomamos uma transformação obtida pela combinação de três correspondências elementares (introduzidas na mensagem anterior). Para isso, usámos uma sequência de retas e pontos (alternadamente):

o,O, o1, O1, o2, O2,o3, O3, ... , on-1, On-1, on, On

Claro que tomamos os pontos On não incidentes em qualquer das retas on para que as correspondências X(n) para x(n) sejam biunívocas, ligando pontos da fileira de pontos X em o (ou o feixe de retas x passando por O) com o feixe das retas x(n) passando por On (ou a fileira dos pontos X(n) da reta on) . A esta transformação dá-se o nome de projetividade. E em vez de escrever

X→x→X'→x'→X''→x''→X'''→ ... → x(n-1) →X(n)

escrevemos simplesmente

X →X(n) ou x →X(n) ou X→x(n)

8.2.12

Feixes e fileiras

A um conjunto de pontos distintos sobre uma mesma reta r chamamos uma fileira (ou pontual) da reta. A um conjunto de retas distintas que passam por um mesmo ponto R chamamos feixe de retas por R.
Na construção seguinte, temos uma reta r e um ponto R não incidentes. Siga as instruções:
  1. Clique no botão fileira
    • e observe o que acontece
  2. clique de novo no botão fileira para ocultar e, em seguida, clique no botão feixe
    • e observe o que acontece.
  3. Finalmente mantenha os dois botões ativos



Repare que o feixe de retas a,b,c corta a reta r nos pontos A, B, C. E, por isso, podemos dizer que a fileira A,B C é a secção por r do feixe tirado por R. Se r não incide em R, há uma correspondência um a um entre A,B,C e as retas a,b,c do feixe (por A e R passa uma só reta a). A reter: há uma correspondência biunívoca em que para cada X da fileira de r, há uma só reta do feixe por R que passa por X e, em que, para cada reta x do feixe por R há um só ponto X da fileira de r.


Nota: Agradecemos a José Manuel Santos dos Santos (do IGP) que nos livrou de uma intrigante janela algébrica que se sobrepunha à construção.

6.2.12

Nomes da Geometria Projetiva

Nestas entradas de Geometria Projetiva, interessam-nos primordialmente noções, problemas e construções dinâmicas. Não acompanharemos a história da Geometria Projetiva, mas forçosamente aparecerão os nomes dos matemáticos que fizeram história. Por isso, aqui deixamos uma lista de Referências que estabelecem ligações a páginas onde se podem consultar as biografias e os principais resultados a que cada um ficou ligado.
A lista será enriquecida à medida que nos for chamada a atenção para os nomes de outros geómetras.

Do último desta lista, Coxeter, retemos dois livros
The real projective plane (Cambridge: University, 1961) e
Projective geometry (New York:Springe, 1994).

As definições e nomes que vamos seguir são, em larga medida, deste último livro de Coxeter.



weBiografias
Pappus(n.350-f.290AC) Euclides(? -300AC) Arquimedes(287-212AC)
Brunelleschi(1377-1446) Alberti(1404-1472) Kepler(1571-1630)

Desargues (1591-1661)
Georg Mohr(1640-1697) Mascheroni (1750-1800)
Gergonne (1771-1859)
von Staudt (1770-1875)

Poncelet (1788-1788)
Chasles (1793-1880) Karl Feuerbach (1800-1834) Klein (1849-1925)
Coxeter(1907-2003)

31.1.12

Introdução à Geometria Projetiva Plana

  1. Temos realizado construções dinâmicas (ou não) para ilustrar resultados (resolver problemas) da geometria elementar. Recorremos para isso à régua e ao compasso, no fundamental. Na geometria euclideana plana estudamos propriedades dos pontos e retas de um plano que se mantêm invariantes por transformações de semelhança. Começamos hoje a estudar problemas e resultados da geometria projetiva plana que é o estudo das propriedades que se mantêm invariantes pela projeção central.
    Enquanto que na geomeria euclideana plana utilizamos o compasso no transporte de segmentos, o que equivale a dizer que usamos a noção de comprimento de um segmento, na geometria projetiva não considera comprimentos.
    F. Enriques resumia o ponto de vista destas geometrias, dizendo que "o homem normal constituiu a geometria elementar" e que suprimindo "as mãos desse homem, impedindo-o de medir as distâncias, ele é conduzido à geometria projetiva".
    A geometria projetiva é a geometria do que se vê. Quando olhamos para os carris (paralelos) de um caminho de ferro, vemos que eles se encontram num ponto. Quando avançamos, o ponto em que se intersetam avança. O ponto de interseção afasta-se à medida que dele nos aproximamos. Na geometria projetiva não há retas paralelas, há retas que se juntam num ponto do infinito, a que também se chama ponto limite, ponto impróprio, ponto ideal, etc.
  2. Para a geometria projetiva plana, as noções primitivas são as de ponto, reta e incidência. As palavras incidência, incidente, incide, incidem... são substituídas muito frequentemente por outras expressões. Em geral, não dizemos "o ponto P incide na reta r" e antes dizemos que "o ponto P pertence à reta r" ou "P está sobre r" ou "P é um ponto de r", como também não dizemos "a reta r incide no ponto A" e antes dizemos "r passa por A", etc. Para o plano onde trabalhamos, usamos uma letra grega α, por exemplo, para os pontos de α usamos letras maiúsculas A, B, C, ... e para as retas do plano α usamos a, b, c, ...r, s, t,... Claro que também designamos por AB a reta que incide nos pontos A e B. E se três pontos incidirem numa mesma reta, diremos que os pontos são colinerares. Quando duas retas incidem num só ponto comum, dizemos que as retas são concorrentes.
  3. Primeiro esboço de uma axiomática.
    Consideremos um plano α de pontos P e uma família não vazia de subconjuntos próprios não vazios de α a que chamamos retas. Os axiomas de incidência que usamos, são:

    Axiomas de incidência
    Dois pontos distintos de α pertencem a uma só reta Duas retas distintas têm um só ponto em comum
    Existem quatro pontos em α distintos dos quais quaisquer três deles não incidem numa mesma reta Existem quatro retas distintas, das quais quaisquer três delas não incidem num mesmo ponto

    Reparemos que os enunciados dos dois axiomas de cada linha são tais que se num deles substituirmos ponto por reta e reta por ponto obtemos o outro. Dizemos, por isso, que qualquer um dos enuciados é dual do outro (o princípio da dualidade é fundamental na geometria projetiva plana).
    Observemos que, por haver uma família não vazia de retas do plano α, os axiomas da primeira linha garantem que,  no mínimo, há dois pontos e, como as retas são subconjuntos próprios do plano, este tem no mínimmo três pontos.
    Claro que pode ser pouco interessante, o estudo das propriedades de uma geometria tendo por base um conjunto de pontos que não seja infinito. À medida que forem sendo precisas, incluiremos novas noções óbvias: feixe de retas, triângulo, quadrângulo, hexágono, etc.
Referências:
Godeaux, L. As Geometrias, Col. Saber, Pub Europa-América, Lx: 1960
Samuel, P. Projective Geometry, Readings in Mathematics,Springer-Verlag. NY: 1988
Coxeter,H. The real Projective Plane, Cambridge University Press. Cambridge:1961
Coxeter, H. Introduction to Geometry, John Wiley and sons,INC, NY:1969
Coxeter, H. Projective Geometry, Springer-Verlago. NY:1994
Puig Adam, Curso de Geometria Métrica, Gráficas S.A. Rodrigues San Pedro. Madrid:1949
Izquierdo, F. Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Dossat. Madrid:1980
Berzolari L. Enciclopedia delle Matematiche Elementari e Complementi. Ulrico Hoepli. Mlano:1949
Ryos de Sousa, J. Lições de Geometria Projectiva. Porto Editora. Porto:

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção