Ilustrações de todas as pavimentações regulares e semi-regulares

Publicamos ilustrações estáticas das pavimentações regulares e semi-regulares, feitas a partir das construções dinâmicas que foram sendo apresentadas nas diversas entradas sobre pavimentações.

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Pavimentações regulares

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3.3.3.3.3.3

4.4.4.4

6.6.6

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Pavimentações semi-regulares ou arquimedianas

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3.3.3.3.6	3.3.3.4.4	3.3.4.3.4
3.6.3.6	3.4.6.4	3.12.12
4.6.12	4.8.8

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Resumindo:
A menos de semelhanças, há exatamente onze pavimentações cujos ladrilhos são polígonos regulares e em que todos os vértices são do mesmo tipo. (Teorema de Kepler).

As pavimentações do plano construídas até agora são periódicas (admitindo simetrias de translação associadas a dois vetores independentes). Dada uma pavimentação regular ou semi-regular, ao seu grupo de simetrias correspondem pavimentações todas semelhantes a ela.

Nota: Seguimos Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982, sem grandes preocupações de terminologia. As mesmas (ou parte delas) construções estão ilustradas no livro de Eduardo Veloso (Geometria) e na brochura de "Geometria e Medida no Ensino Básico" de Ana Breda (e outros) editada pela DGIDC/ME, em 2011. Os professores seguirão a terminologia dessa brochura, como é óbvio.

Notas sobre pavimentações regulares e semi-regulares

Nas entradas anteriores, apresentaram-se pavimentações em que todos os ladrilhos são polígonos. Para muitos autores e para efeitos de estudos dos níveis de ensino não superior, algumas delas nem sequer são consideradas ou nomeadas como pavimentações. Para os efeitos do estudo que aqui fazemos não consideramos os casos em que os pares de ladrilhos nunca têm lados comuns.
Por esta entrada de hoje, só entram (ou só são consideradas) as pavimentações compostas por polígonos regulares que quando se intersetam o fazem sobre um lado comum a dois polígonos ou sobre um um vértice que é vértice de três ou mais ladrilhos.

1. Pavimentações regulares.
   As pavimentações com ladrilhos que são polígonos regulares todos congruentes (ou geometricamente iguais) tomam o nome de puras pavimentações regulares. Estas resumem-se a três: uma em que os ladrilhos são triângulos, outra formada com quadrados e uma teceira com hexágonos. Nestas pavimentações, cada par de ladrilho tem um lado comum e cada vértice aparece rodeado por por polígonos todos iguais.
   No caso da pavimentação por triângulos cada lado é lado de dois triângulos e cada vértice é vértice de seis triângulos (espécie 3.3.3.3.3.3) - 360/60=6. Dizemos que todos os vértices são da mesma espécie.
   No caso da pavimentação regular por quadrados cada lado de um ladrilho é lado de outro e cada vérice de um quadrado é vértice de 4 quadrados (espécie 4.4.4.4) - 360/90=4 - e todos os vértices são da mesma espécie.
   No caso da pavimentação regular por hexágonos, cada par de ladrilhos tem um lado comum e cada vértice é vértice de 3 ladrilhos (espécie 6.6.6) - 360/120=3 - e todos os vértices são da mesma espécie.
   Ao olharmos para as ilustrações destas pavimentações, vimos bem como as pavimentações regulares por triângulos e por hexágonos admitem simetrias de translação associadas a vetores que fazem um ângulo de 60º (redes isométricas) e são duais uma da outra, no sentido habitual de uma poder ser obtida da outra unindo os pontos médios dos ladrilhos. E é claro que admitem o mesmo grupo de simetrias (p6m).
   A pavimentação por ladrilhos quadrados admite simetrias de translação associadas a vetores perpendiculares (rede quadrada) é é dual de pavimentação por quadrados (p4m).
2. Pavimentações semi-regulares
   Mereceram interesse especial outras pavimentações cujos ladrilhos são polígonos regulares, mas de diversos tipos: por exemplo, triângulos equiláteros e hexágonos regulares numa mesma pavimentação. Interessam-nos as pavimentações em que os triângulos existentes são todos iguais, bem como iguais são todos os hexágonos, havendo um só comprimento para todos os lados, e de tal modo que cada par de polígonos presentes na pavimentação tenham um lado comum. Destes interessam-nos os que têm vértices da mesma espécie.
   Apresentámos exemplos de pavimentações por triângulos e hexágonos regulares que têm todas essas propriedades: triângulos e hexágonos regulares que quando se intersectam o fazem sobre um lado comum e em que todos os vértices são da mesma espécie que tem a ver só com os polígonos regulares que nele se encontram. Mas que são diferentes.
   Apresentámos uma pavimentação em cujos vértices se encontram dois triângulos e dois hexágonos, mas que ao observarmos um vértice seguindo uma ordem circular (olhar em volta do vértice no sentido dos ponteiros do relógio, por exemplo) dizemos que é vérice de um triângulo (3), depois de um hexágono (6), a seguir de um triângulo (3) e finalmente de um hexágono (6) escrevendo que é da espécie 3.6.3.6 que esclarece ele ser diferente daquele que, seguindo uma ordem circular, nos aparece classificado como sendo vértice de um triângulo (3), de outro triângulo (3) e depois de u hexágono(6) seguido de outro hexágono(6) da espécie 3.3.6.6. Dois triãngulos e dois hexágonos a convergir num vértice dá-nos a espécie, A ordem dá-nos mais uma informação, diz-nos que eles podem ser da mesma espécie, sendo de tipos diferentes (Vértices que são do mesmo tipo são da mesma espécie, claro!)
   Estas pavimentações por polígonos regulares de classes diferentes (quadrados todos iguais, triângulos todos iguais, hexágonos todos iguais, por exemplo) com todos os vértices do mesmo tipo tomam o nome de pavimentações semi-regulares ou arquimedianas.
3. Quantas e quais pavimentações regulares e semi-regulares?
   
   • A pavimentação por triângulos equiláteros é aquela em que os ângulos internos dos ladrilhos têm amplitudes iguais a 60 graus, a menor de todas as possíveis amplitudes para ângulos internos de polígonos regulares. E é portanto a pavimentação em que incidem em cada vértice o maior número de ladrilhos regulares, exactamente 6 triângulos. Todos os vértices são da espécie 3.3.3.3.3.3; todas as outras designações de espécie têm menos de 6 números e, claro, têm mais de 2 ou no mínimo 3. Para que um vértice fosse de uma espécie com 2 números, os polígonos da pavimentação teriam ângulos internos de 180 graus. Dito de outro modo, as espécies dos vértices nas pavimentações com polígonos regulares poderão ser n₁.n₂.n₃, n₁.n₂.n₃.n₄, n₁.n₂.n₃.n₄.n₅ e n₁.n₂.n₃.n₄.n₅.n₆
     Como se sabe, qualquer destes n_i tem de ser um natural tal que ,α_i=(n_i-2).180/n_i é no mínimo 60 e inferior a 180 e simultaneamente a soma dos produtos k_i.α_i, em que k_i é o número de polígonos regulares de n_i lados cujos ângulos internos têm amplitudes iguais a α_i , seja exactamente 360 (volta completa em torno de um vértice).
   • As soluções destas condições (ou as espécies possíveis, aritmeticamente falando) serão:
     
     
     

     n1 (α1)	n2 (α2)	n3 (α3)	n4 (α4)	n5 (α5)	n6 (α6)	Σki.αi	espécie
     3 (60)	3 (60)	3 (60)	3 (60)	3 (60)	3 (60)	6×60	3.3.3.3.3.3
     3 (60)	3 (60)	3 (60)	3 (60)	6 (120)		4×60 +1×120	3.3.3.3.6
     3 (60)	3 (60)	3 (60)	4 (90)	4 (90)		3×60+2×90	3.3.3.4.4 ou 3.3.4.3.4
     3 (60)	3 (60)	4 (90)	12 (150)			2×60+1×90+1×150	3.3.4.12 ou 3.4.3.12
     3 (60)	3 (60)	6 (120)	6 (120)			2×60+2×120+	3.3.6.6 ou 3.6.3.6
     3 (60)	4 (90)	4 (90)	6 (120)			2×60+2×90+1× 120	3.4.4.6 ou 3.4.6.4
     4 (90)	4 (90)	4 (90)	4(90)			4×90	4.4.4.4
     3 (60)	7 (5×180/7)	42 (40×180/42)				1×60+(5×180/7)+ 40×180/42)	3.7.42
     3 (60)	9 (140)	18 (160)				1×140+ 1×160	3.9.18
     3 (60)	12 (150)	12 (150)				1×60+ 2×150	3.12.12
     4 (90)	6 (120)	12 (150)				1×90+ 1×120+1×150	4.6.12
     5 (108)	5 (108)	10 (144)				2×108+ 1×144	5.5.10
     3 (60)	8 (135)	24 (165)				1×60+ 1×135+1×165	3.8.24
     3 (60)	10 (144)	15 (156)				1×60+ 1×144+1×156	3.10.15
     4 (90)	5 (108)	20 (162)				1×90+ 1×108+1×162	4.5.20
     4 (90)	8 (135)	8 (135)				1×90+ 2×135	4.8.8
     6 (120)	6 (120)	6 (120)				3×120	6.6.6

   • Será que todas estas soluções aritméticas das condições enunciadas dão pavimentações regulares ou semi-regulares?
     
     • Sem dúvida que as soluções 3.3.3.3.3.3, 4.4.4.4 e 6.6.6 correspondem às únicas pavimentações regulares.
     • Mas nem todas as outras soluções aritméticas correspondem a pavimentações semi-regulares.
       Tomemos uma pavimentação por polígonos regulares dos quais um seja um triângulo e suponhamos que um dos seus vértices é da espécie (3.n₁.n₂). Assim cada um dos três lados do triângulo, além de ser lado do triângulo um deles será lado de um n₁-gono e outro de um n₂-gono. Para que esse triângulo faça parte de uma pavimentação semi-regular é preciso que todos os vértices sejam da espécie (3.n₁.n₂). Em volta, pelos lados: um primeiro lado seria lado do n₁-gono e o segundo seria lado do n₂-gono. O terceiro lado teria de ser lado do n₁-gono para que o 2º vértice fosse da mesma espécie do ângulo definido pelos primeiros lados considerados. Mas então o terceiro vértice seria da espécie (3.n₁.n₁) que só pode ser a mesma dos outros dois se n₁=n₂. Por esta razão, não há pavimentação semi-regulares com vértices da espécie (3.7.42), (3.9.18), (3.8.24) e (3.10.15). O mesmo raciocínio aplica-se para todos os polígonos de número ímpar de lados. Não há pois pavimentações semi-regulares com vértices das espécies (5.5.10) e (4.5.20).
       
     • As soluções aritméticas do tipo (3.n₁.n₂.n₃) serão todas pavimentações semi-regulares possíveis? Se os vértice A e B do triângulo ABC forem do tipo (3.n₁.n₂.n₃), o vértice C seria vértice de dois n₁-gonos ou de dois n₃-gonos. E isso é impossível com vértices dos tipos (3.3.4.12), (3.4.3.12), (3.3.6.6) ou (3.4.4.6).
       
     • Daquelas soluções aritméticas sobram 3 como pavimentações regulares e 8 semi-regulares : 11 assinaladas (a negrito) no quadro geral.